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例2 如图3 甲站在水库底面上的点a处 乙站在水坝斜面上的点b处 从a b到直线 库底与水坝的交线 的距离ac和bd分别为和 cd的长为 ab的长为 求库底与水坝所成二面角的余弦值 解 如图 化为向量问题 根据向量的加法法则 进行向量运算 于是 得 设向量与的夹角为 就是库底与水坝所成的二面角 因此 所以 回到图形问题 库底与水坝所成二面角的余弦值为 例2 如图3 甲站在水库底面上的点a处 乙站在水坝斜面上的点b处 从a b到直线 库底与水坝的交线 的距离ac和bd分别为和 cd的长为 ab的长为 求库底与水坝所成二面角的余弦值 思考 1 本题中如果夹角可以测出 而ab未知 其他条件不变 可以计算出ab的长吗 分析 可算出ab的长 2 如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长 并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等 那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗 分析 如图 设以顶点为端点的对角线长为 三条棱长分别为各棱间夹角为 3 如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 那么可以确定这个四棱柱相邻两个面夹角的余弦值吗 a1 b1 c1 d1 a b c d 分析 二面角 平面角 向量的夹角 回归图形 解 如图 在平面ab1内过a1作a1e ab于点e e f 在平面ac内作cf ab于f 可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值 练习 1 如图4 60 的二面角的棱上有a b两点 直线ac bd分别在这个二面角的两个半平面内 且都垂直ab 已知ab 4 ac 6 bd 8 求cd的长 2 三棱柱abc a1b1c1中 底面是边长为2的正三角形 a1ab 45 a1ac 60 求二面角b aa1 c的平面角的余弦值 如图6 在棱长为的正方体中 分别是棱上的动点 且 1 求证 2 当三棱锥的体积取最大值时 求二面角的正切值 思考 f1 f2 f3 a c b o 500kg f1 f2 f3 a c b o 500kg z x y f1 f2 f3 a c b o 500kg z x y f1 f2 f3 a c b o 500kg z x y f1 f2 f3 a c b o 500kg z x y 例4如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是正方形 侧棱pd 底面abcd pd dc e是pc的中点 作ef pb交pb于点f 1 求证 pa 平面edb 2 求证 pb 平面efd 3 求二面角c pb d的大小 a b c d p e f a b c d p e f g 解 如图所示建立空间直角坐标系 点d为坐标原点 设dc 1 1 证明 连结ac ac交
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