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用二分法求方程的近似解 数学是锻炼思维的体操 加里宁 如果函数 连续不断的一条曲线 并且f a f b 0 那么有零点 即存在 复习引入 1 2 问题 解方程 2 何时停止二分区间 当区间长度小于所给的精确度 精确度为0 1 1 如何确定函数零点所在区间 i 二分法的定义 对于在区间 a b 上连续不断且的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 思考 是否所有存在零点的函数都可以用二分法求得零点 0 08 2 5 中点的函数近似值 符号 中点的值 区间 a b 2 5 2 5625 0 07 2 5625 2 5 2 625 0 22 2 625 2 5 2 75 0 51 2 75 2 5 3 2 3 4 判断是否达到精确度 若新区间的区间长度 两端点之差的绝对值 小于 则达到了精确度 取区间端点之一为零点的近似值即告结束 否则 重复2 4的工作 ii 给定精确度 用二分法求函数f x 零点近似值的步骤 1 选取满足条件的实数 一般取整数 a b 确定区间 a b 2 求区间 a b 的中点 记为c 3 计算f c 并进行判断 1 若f c 0 则c就是函数的零点 结束 2 若 则 令b c 转向4 3 若 则 令a c 转向4 例1 借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解 精确度0 1 取区间 1 2 的中点 得再取 1 1 5 的中点 得同理可得 由于所以 原方程的近似解可取为1 4375 解 原方程即 令作出函数的对应值 得 从而 故函数在区间 1 2 内有零点 1 375 1 4375 0 02 1 4375 1 375 1 5 0 28 1 375 1 25 1 5 0 87 1 25 1 1 5 0 33 1 5 1 2 中点函数的近似值 符号 中点值 区间 a b 利用二分法可列下表 一 二 下列函数图象与x轴均有交点 其中不能用二分法求图中函数零点的图号是 经典练习 借助计算器 用二分法求方程在区间 2 3 内的近似解 精确度为0 1 解 原方程即 令用计算器可算得从而得这个方程在区间 2 3 内有一个解 取区间 2 3 的中点 可得再取区间 2 5 3 的中点 可得同理可得由于所以原方程的近似解可取为2 5625 某方程有一根在区间 0 1 之内 若用二分法求此根的近似值 使用 二分法 n次后 区间长度为 要求精确度为0 1 则至多将要等分的次数为 若区间改为 a b 呢 探究 1 本节内容 1 二分法 的定义 2
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