高考数学 3.4 导数的综合应用总复习课件.ppt

要点梳理1 曲线的切线方程点p x0 f x0 在曲线y f x 上 且f x 在 x0 f x0 处存在导数 曲线y f x 在点p处的切线方程为 2 函数的单调性 1 用导数的方法研究函数的单调性往往很简便 但要注意规范步骤 求函数单调区间的基本步骤是 基础知识自主学习 3 4导数的综合应用 y f x0 f x0 x x0 确定函数f x 的定义域 求导数f x 由f x 0 或f x 0时 f x 在相应的区间上是 当f x 0 或f x 0 则函数f x 在区间 a b 内为增函数 或减函数 若函数在闭区间 a b 上连续 则单调区间可扩大到闭区间 a b 上 增函数 减函数 3 函数的极值求可导函数极值的步骤求导数f x 求方程 的根 检验f x 在方程根左右值的符号 求出极值 若左正右负 则f x 在这个根处取极大值 若左负右正 则f x 在这个根处取极小值 4 函数的最值求可导函数在 a b 上的最值的步骤求f x 在 a b 内的极值 求f a f b 的值 比较f a f b 的值和 的大小 f x 0 极值 5 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系式y f x 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 比较函数在区间端点和f x 0的点的函数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 基础自测1 已知曲线c y 2x2 x3 点p 0 4 直线l过点p且与曲线c相切于点q 则点q的横坐标为 a 1b 1c 2d 2解析 a 2 函数f x xcosx的导函数f x 在区间 上的图象大致是 解析 f x xcosx f x cosx xsinx f x f x f x 为偶函数 函数图象关于y轴对称 由f 0 1可排除c d选项 而f 1 cos1 sin1 0 从而观察图象即可得到答案为a a 3 已知函数f x xm ax的导数f x 2x 1 则数列 n n 的前n项和为 解析 f x mxm 1 a 2x 1 f x x2 x f n n2 n n n 1 c 4 a b为实数 且b a 2 若多项式函数f x 在区间 a b 上的导函数f x 满足f x f b c f a 1 f b 1 d f a 1 f b 解析因为f x 在区间 a b 上的导函数f x 满足f x f b 故选b b 5 函数y f x 在其定义域内可导 其图象如图所示 记y f x 的导函数为y f x 则不等式f x 0的解集为 解析由函数y f x 在定义域内的图象可得 函数y f x 的大致图象如图所示 由图象可得不等式f x 0的解集为 题型一函数的极值与导数 例1 已知函数f x x3 mx2 nx 2的图象过点 1 6 且函数g x f x 6x的图象关于y轴对称 1 求m n的值及函数y f x 的单调区间 2 若a 0 求函数y f x 在区间 a 1 a 1 内的极值 1 由f x 过点 1 6 及g x 图象关于y轴对称可求m n 由f x 0及f x 0可求单调递增和递减区间 2 先求出函数y f x 的极值点 再根据极值点是否在区间 a 1 a 1 内讨论 题型分类深度剖析 思维启迪 解 1 由函数f x 的图象过点 1 6 得m n 3 由f x x3 mx2 nx 2 得f x 3x2 2mx n 则g x f x 6x 3x2 2m 6 x n 而g x 的图象关于y轴对称 所以所以m 3 代入 得n 0 于是f x 3x2 6x 3x x 2 由f x 0得x 2或x 0 故f x 的单调递增区间是 0 和 2 由f x 0 得0 x 2 故f x 的单调递减区间是 0 2 2 由 1 得f x 3x x 2 令f x 0得x 0或x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由此可得 当0 a 1时 f x 在 a 1 a 1 内有极大值f 0 2 无极小值 当a 1时 f x 在 a 1 a 1 内无极值 当1 a 3时 f x 在 a 1 a 1 内有极小值f 2 6 无极大值 当a 3时 f x 在 a 1 a 1 内无极值 综上得 当0 a 1时 f x 有极大值 2 无极小值 当1 a 3时 f x 有极小值 6 无极大值 当a 1或a 3时 f x 无极值 1 注意体会求函数极值的基本步骤 列表可使解题过程更加清晰规范 2 要求函数f x 在区间 a 1 a 1 内的极值 需对参数a进行讨论 探究提高 知能迁移1已知函数 a为常数 求函数f x 的极值 解由已知得函数f x 的定义域为 x x 1 当a 0时 由f x 0 得当x 1 x1 时 f x 0 f x 单调递增 题型二函数的最值与导数 例2 已知函数f x ax3 6ax2 b 问是否存在实数a b使f x 在 1 2 上取得最大值3 最小值 29 若存在 求出a b的值 若不存在 请说明理由 1 研究函数f x 在 1 2 上的单调性 2 确定f x 在 1 2 上的最大 最小值 3 列方程组求a b 解由f x ax3 6ax2 b得f x 3ax2 12ax 3ax x 4 当a 0时 f x 0 f x b不能使f x 在 1 2 上取最大值3 最小