总复习题复变.doc

复变函数与积分变换总复习题一、填空1. 。2. 。3. 已知虚数，则 。4. ， 。5. 。6. 区域就是 。7. 函数在区域D内解析的充分必要条件是：和在D内任一点可微，而且满足柯西黎曼方程即 。8. 如果函数在及其邻域内处处可导，则称在 。9. 没有重点的连续曲线C，称为 曲线（或若尔当曲线）。10. 复平面加上无穷远点称为 。11. 若在不解析，则称为的 。12. 如果函数在单连通域D内处处解析，那么沿D内的任意一条封闭曲线C的积分 。13. 。14. 如果二元实函数在区域D内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯方程，则称为区域D内的 。15. 复变函数在区域D内解析的充要条件为：在区域D内，的虚部是实部的 。16. 的辐角主值为 。17. 一个解析函数在圆心处的值等于它在 上的平均值。18. 如果函数在单连通域B内处处解析，那么函数沿B内的任何一条封闭曲线C的积分为_。19. 设函数在区域D内解析，且不是常数，则在D内 最大值。20. 在区域D内解析的函数，若其模在D的内点达到最大值，则此函数必恒为 。21. 若在区域D内处处解析，C为D内的任意一条封闭曲线，它的内部完全含于D，为C内任一点，则有柯西积分公式= 。22. 若函数在单连通域B内连续，且对于B内任意一条简单闭曲线c，都有，则函数在B内 。23. 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值，即 。24. 如果幂级数在点收敛，则级数在圆域内 。25. 在的邻域内的泰勒级数展开式为 。26. 孤立奇点可以分为三类，分别是可去奇点，极点和 。 27. 若收敛，则称级数为 。28. 解析函数的虚部是实部的 调和函数。29. 函数在一点解析的充要条件是它在这一点的邻域内可以展开为 。30. 点0是函数的 。31. 如果在的去心邻域内的罗朗级数有的无限多个负幂项，则孤立奇点称为的 。32. 如果为的一阶极点，则 。33. 如果级数在（）收敛，则对满足的z，级数必_。34. 设是的一个孤立奇点，则是的可去奇点的充分必要条件是在的一个邻域内_。35. 设是解析函数的孤立奇点，把在处的洛朗展开式中负一次幂项的系数称为在处的 。36. 若函数在的邻域内有定义，且在具有 ，则称映射在是共形的。 37. 实二元函数在区域D内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程 ，则称 为区域D内的调和函数。38. 如果在的去心邻域内的洛朗级数只有的有限多个负幂项，则孤立奇点称为的 。39. 任何解析函数的泰勒展开式是 。40. 设是区域D内的第一类保角映射，如果当时，有，则称为 。41. 设函数在区域D内解析，且不恒为常数，则像集合是 。42. 若函数 在区域D内除有限个孤立奇点外处处解析，C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则 。 43. 称的辐角为曲线C经过映射后在处的 。44. 傅氏变换具有位移性质，即设为函数的傅氏变换，则的傅氏变换为 。45. 傅氏变换具有相似性质，即设为函数的傅氏变换，则的傅氏变换为 ，其中a是非零常数。46. 函数的傅里叶变换的定义为= 。47. 分别为函数的拉普拉斯变换，则的拉普拉斯变换为 。48. 若，则 。49. 设函数是定义在上的实值函数，如果对于复参数，积分 在复平面的某一域内收敛，则称为的拉普拉斯变换。50. 拉氏变换具有延迟性质，即设为函数的拉氏变换，当时，则对任一非负实数，的拉氏变换为 。二、选择题1. 函数的奇点为（ ）A：0, ；B：0，；C：0，i；D：。2. Ln（1+=（ ） A：； B：；C：； D： 。3. （ ）A：； B：i； C：； D：i。4. 将定义在全平面上的复变函数化为一对二元实变函数为（ ）A：；B：；C：；D：。5. 在复平面内（ ） A：处处解析；B：处处可导但不解析；C：对于解析；D：处处不解析。6. 解析函数的n 阶导数为（ ）A：；B：；C：；D：。7. 在孤立奇点0处的留数为（ ）A：1；B：2；C：0；D：。8. 函数满足柯西黎曼方程是指（ ）A：； B：；C：；D：。9. （ ），n=0，1，2，a，b均为有限复数。A：； B：；C：； D：。10. 设函数在全平面为解析，又对任意，令，则是的（ ）A：单调上升函数；B：单调下降函数；C：常数函数；D：非单调函数。11. 函数在的留数为（ ） A： ； B：； C：； D：。12. 的收敛半径为（ ）A：2；B：；C：0；D：1。13. 设函数在区域D内解析，且不是常数，则在D内（ ）A：能取到最大值；B：是常数；C：没有最大值；D：无界。14. 的收敛半径为（ ）A：1； B：0； C：； D：2。15. 如果是的m阶极点，那么就是的m阶（ ）A：可去奇点；B：零点；C：极点；D：本性奇点。16. =（ ）A：； B：； C： ； D：。17. 所有使点保持不动（即点映成）的分式线性映射的表达式为（ ）A：； B：；C：； D：。18. 是（ ）级数。A：绝对收敛；B：条件收敛；C：不确定；D：发散。19. 是函数的（ ）A：本性奇点；B：可去奇点；C：极点；D：重点。20. 在扩充复平面上，分式线性映射能把圆变为（ ）A：抛物线；B：椭圆；C：圆；D：双曲线。21. 函数的拉氏变换为（ ） A：； B：； C：； D：。22. 在处的泰勒展开式为（ ） A：； B：； C：； D：。23. 函数的拉氏变换为（ ）A：；B：；C：；D：。24. 设，则A：；B：；C：；D：25. 设，则有（ ）A：；B：；C：；D：。三、计算题1. ；2. ， C为从到i的右半圆周。3. ，其中C是从点1到i的直线段。4. 计算，其中C是从点1到0的直线段，再从点0到点i的直线段所连接成的折线段。5. 计算。6. 计算，其中n 为任何整数，C为以为中心，r为半径的圆周。7. 计算。8. 计算积分，其中C是圆周的上半周，走向从0到2 。9. 计算。10. 将在内展开为幂级数。11. 计算；12. 讨论级数的敛散性。13. 计算。14. 求在无穷远点的留数。15. 计算。16. 求的拉氏变换；17. 计算在点ai处的留数。18. 是单位阶跃函数，求的傅氏变换。19. 求把，分别映照成，的分式线性映射。20. 求的傅氏积分变换。21. 求矩形脉冲函数 的傅氏变换。 22. 求函数与的卷积。23. 利用拉氏变换的性质，求的拉氏变换。24. 已知，求。25. 利用延迟性质，求的拉氏逆变换。四、证明题1. 若函数在的邻域内连续，则 2. 证明一对共轭调和函数的乘积仍为调和函数。3. 设在区域D内解析，C为D内任一条正向简单闭曲线，证明对在D内，但不在C上的任一点，下面等式成立： 4. 设与在区域D内处处解析，C为D内的任何一条简单闭曲线，它的内部全含于D。如果=在C上的所有点处成立，试证在C内的所有点处=也成立。5. 设函数在内解析，又，则成立着 （）题目中的映射的内容也要求，不难，看看书和教案就可以知道怎样求解。五、解答题1. 求的拉氏变换；2. 解微分