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高考14讲数列专题 参考例题1、已知数列的首项，（）求的通项公式；（）证明：对任意的，；（）证明：解法一：（），又，是以为首项，为公比的等比数列，（）由（）知，原不等式成立（）由（）知，对任意的，有取，则原不等式成立解法二：（）同解法一（）设，则，当时，；当时，当时，取得最大值原不等式成立（）同解法一2在平面直角坐标系中，已知、，满足向量与向量共线，且点都在斜率6的同一条直线上. （1）试用与n来表示； （2）设，且12，求数中的最小值的项.3、已知定义在R上的单调函数y=f(x)，当x1，且对任意的实数x、yR，有f(x+y)=f(x)f(y)， （）求f(0)，并写出适合条件的函数f(x)的一个解析式； （）数列an满足, 求通项公式an的表达式； 令， 试比较Sn与Tn的大小，并加以证明.4、已知二次函数满足条件： ； 的最小值为.(1) 求函数的解析式；(2) 设数列的前项积为, 且, 求数列的通项公式；(3) 在(2)的条件下, 若是与的等差中项, 试问数列中第几项的值最小? 求出这个最小值。参考答案2解：（1）点都在斜率为6的同一条直线上，于是数列是等差数列，故3分共线，当n=1时，上式也成立. 所以8分 （2）把代入上式，得，当n=4时，取最小值，最小值为13分3、解：（I）由题意，令y=0，x0，得f(x)1f(0)=0，x1. 1f(0)=0. f(0)=1.2分 适合题意的f(x)的一个解析式为f(x)=()x.4分 （II）由递推关系知f(an+1)f(2an)=1，即f(an+12an)=f(0). f(x)的R上单调，an+1an=2，（nN*），6分 又a1=1，故an=2n1.7分 bn=,Sn=b1+b2+bn=+()3+()2n1 欲比较Sn与的大小，只需比较4n与2n+1的大小. 由=1，2，3代入可知4n2n+1，猜想4n2n+1.10分 下用数学归纳法证明 （i）当n=1时，4121+1成立 （ii）假设当n=k时命题成立，即4k2k+1当n=k+1时，4k+1=44k4(2k+1)=8k+4=2(k+1)+1+6k+12(k+1)+1，说明当n=k+1时命题也成立.由（i）（ii）可知，4n2n+1 对于nN*都成立.故Sn.12分注：证明4n2n+1，除用数学归纳法证明以外，还可用其它方法证明，如：4n=(1+3)n=1+4、解： (1) 由题知: , 解得 , 故. 3分(2) , 5分, 7分又满足上式. 所以. 8分(3) 若是与的等差中项, 则, 9分从而, 得. 10分因为是的减函数, 所以当, 即时, 随的增大而减
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