实验8_线性规划.doc

数学实验 张亚清 2010011805实验8 线性规划化工系 分0班 2010011805 张亚清【实验目的】1、掌握用MATLAB优化工具箱解线性规划的方法；2、练习建立实际问题的线性规划模型。【实验内容】1、 题目6某银行经理计划用一笔资金进行证券投资，可供购进的证券以及其信用等级，到期年限、收益如下表所示，按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50的税率纳税，此外还有以下限制：（1） 政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；（2） 所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小，信用程度越高)；（3） 所购证券的平均到期年限不超过5年。证券名称证券种类信用等级到期年限/年到期税前收益/%A市政294.3B代办机构2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5试问：若该经理有1000万元资金，应如何投资？如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？并考虑利率在什么范围内变化时，投资方案不改变？在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%,投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？【问题分析】设购买A、B、C、D、E五种债券金额分别为a、b、c、d、e； 总获利金额为m。根据题意可归纳出约束条件如下：金额为非负数，则有a,b,c,d,e0满足题中条件（1），则有b+c+d400;满足题中条件（2），则有(2a+2b+c+d+5e)/(a+b+c+d+e)1.4满足题中条件（3），则有(9a+15b+4c+3d+2e)/(a+b+c+d+e)5将所有的不等号都变形整理成小于等于号，且不等式中只含加减运算，则约束条件变为如下形式：a,b,c,d,e0-b-c-d-400;0.6a+0.6b-0.4c-0.4d+3.6e04a+10b-c-2d-3e0问题：由题意得m=0.043a+0.045e+0.5*（0.054b+0.050c+0.044d）要求：a+b+c+d+e1000，由于各证券皆赢利，故可将该约束条件改为：a+b+c+d+e=1000-b-c-d-400;0.6a+0.6b-0.4c-0.4d+3.6e04a+10b-c-2d-3e0a,b,c,d,e0问题：设贷款金额为f。则m=0.043a+0.045e+0.5*（0.054b+0.050c+0.044d）-0.0275f约束条件为：-b-c-d-400;0.6a+0.6b-0.4c-0.4d+3.6e 04a+10b-1c-2d-3e0a+b+c+d+e1100a+b+c+d+e-f=10000a,b,c,d,e11000f100问题：改变A的税前收益：m=0.045a+0.045e+0.5*（0.054b+0.050c+0.044d）改变C的税前收益：m=0.043a+0.045e+0.5*（0.054b+0.048c+0.044d）约束条件与问题相同。【问题解答】用MATLAB编程解决上述线性规划问题。问题：如果计决策变量x=（x1，x2，x3，x4，x5），费用向量c=(0.043,0.027,0.025,0.022,0.045)，右端项向量b=(-400,0,0)，约束矩阵A=A2=1,1,1,1,1，b2=1000则该线性规划问题可以表示成： Max z= cxs,t. AxbA2x=b2x0.MATLAB源程序如下：b2=1000;c=0.043,0.027,0.025,0.022,0.045;b=-400,0,0;A=0,-1,-1,-1,0;0.6,0.6,-0.4,-0.4,3.6;4,10,-1,-2,-3;v=0,0,0,0,0;A2=1,1,1,1,1;x,z0,ef,out,lag=linprog(-c,A,b,A2,b2,v)输出结果为：x = 218.1818 0.0000 736.3636 0.0000 45.4545z0 = -29.8364ef = 1out = iterations: 5 algorithm: large-scale: interior point cgiterations: 0 message: Optimization terminated. constrviolation: 4.5475e-013 firstorderopt: 3.5406e-008故得到的最优解为x = 218.1818 0.0000 736.3636 0.0000 45.4545(万元), 最优值为-z0 =29.836（万元）， 即应当分别投资218.18万, 736.36万, 45.45万于A，C，E三种证券才会收益最大。问题：如果计决策变量x=（x1,x2,x3,x4,x5,x6），费用向量c=(0.043,0.027,0.025,0.022,0.045,-0.0275)，右端项向量b=(-400,0,0,1100)，约束矩阵A=A2=1,1,1,1,1,-1,b2=1000则该线性规划问题可以表示成： Max z= cxs,t. AxbA2x=b2x0.MATLAB程序如下：b2=1000;c=0.043,0.027,0.025,0.022,0.045,-0.0275;b=-400,0,0,1100;A=0,-1,-1,-1,0,0;0.6,0.6,-0.4,-0.4,3.6,0;4,10,-1,-2,-3,0;1,1,1,1,1,0;v=0,0,0,0,0,0;A2=1,1,1,1,1,-1;opt=optimset(LargeScale,off,simplex,on);x,z0,ef,out,lag=linprog(-c,A,b,A2,b2,v,opt)得到结果如下：x = 240 0 810 0 50 100z0 = -30.0700ef = 1out = iterations: 2 algorithm: medium scale: simplex cgiterations: message: Optimization terminated. constrviolation: 0 firstorderopt: 3.4694e-018即用于购买A,B,C,D,E 的资金分别为240,0,810,0,50万元，借资金100万元，收益为30.07万元。问题：方法类似问题，源程序略。得到结果如下：若证券A的税前收益增加为4.5%，x =218.1818,0,736.3636,0,45.4545,z0 = -30.2727，即应当分别投资218.18万, 736.36万, 45.45万于A，C，E三种证劵，收益为30.27万元。若证券C的税前收益减少为4.8%， x=360, 0, 0, 648, 16，z0 = -29.42，即用于购买A,B,C,D 的资金分别为360, 0, 0, 648, 16万元，收益为29.42万元。【结果分析与讨论】A,B,C,D,E的投资金额分别为218.18,0,736.37,0,45.45万元，最大收益为29.8364万元。借款金额为100万元，A,B,C,D,E的投资金额分别为240，0,810,0,50万元，最大收益为30.07万元。当A收益变为4.5%时，投资安排不变，但利润增加到30.27万元； 当C收益减少为4.8%时，投资方案变为A,B,C,D,E金额分别为336,0，0，648,16万元，且收益为29.42万元。在设计投资方案时，要综合考虑，选择利益最高的方案。2、 题目9一家糖果商店出售3种不同品牌的果仁糖，每个品牌含有不同比例的杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁，为了维护商店的质量信誉，每个品牌中所含有的果仁的最大、最小比例是必须满足的，如下表所示。品牌含量需求售价/（美元/kg）普通腰果仁不超过20%0.89胡桃仁不低于40%核桃仁不超过25%杏仁没有限制豪华腰果仁不超过35%1.10杏仁不低于40%核桃仁、胡桃仁没有限制蓝带腰果仁含量位于30%50%之间1.80杏仁不低于30%核桃仁、胡桃仁没有限制下表列出了商店从供应商每周能够得到的每类果仁的最大数量和售价。售价/（美元/kg）每周最大供应量/kg杏仁0.452000核桃仁0.554000腰果仁0.705000胡桃仁0.503000商店希望确定每周购进杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁的数量，使周利润最大，建立数学模型，帮助该商店管理人员解决果仁混合的问题。【问题分析】设售出的普通中含杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁的数量依次为a1,b1,c1,d1；售出的豪华中含杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁的数量依次为a2,b2,c2,d2；售出的蓝带中含杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁的数量依次为a3,b3,c3,d3.约束方程为：c10.2*(a1+b1+c1+d1)d10.4*(a1+b1+c1+d1)b10.25*(a1+b1+c1+d1)c20.35*(a2+b2+c2+d2)a20.4*(a2+b2+c2+d2)c30.5*(a3+b3+c3+d3)c30.3*(a3+b3+c3+d3)a30.3*(a3+b3+c3+d3)a1+a2+a32000b1+b2+b34000c1+c2+c35000d1+d2+d33000利润为s=0.89*(a1+b1+c1+d1)+1.10*(a2+b2+c2+d2)+1.80*(a3+b3+c3+d3)-0.45*( a1+a2+a3)-0.55*( b1+b2+b3)-0.70*( c1+c2+c3)-0.50*( d1+d2+d3)【问题解答】用MATLAB编程求解，程序如下：c=0.44,0.34,0.19,0.39,0.65,0.55,0.4,0.6,1.35,1.25,1.1,1.3;b=0 0 0 0 0 0 0 0 2000 4000 5000 3000;A=-0.2,-0.2,0.8,-0.2,0,0,0,0,0,0,0,0;0.4,0.4,0.4,-0.6,0,0,0,0,0,0,0,0;-0.25,0.75,-0.25,-0.25,0,0,0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,-0.35,-0.35,0.65,-0.35,0,0,0,0;0,0,0,0,-0.6,0.4,0.4,0.4,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0,0,0,-0.5,-0.5,0.5,-0.5;0,0,0,0,0,0,0,0,0.3,0.3,-0.7,0.3;0,0,0,0,0,0,0,0,-0.7,0.3,0.3,0.3;1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0;0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0;0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0;0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1;v=0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;x,z0,ef,out,lag=linprog(-c,A,b,v)得到结果为：x = 1.0e+003 * 0.0000 1.3636 1.0909 3.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 2.0000 2.6364 2.0303 0.0000z0 = -1.0070e+004ef = 1out = iterations: 6 algorithm: large-scale: interior point cgiterations: 0 message: Optimization terminated. constrviolation: 0 firstorderopt: 6.7287e-008a1+b1+c1+d1=5454.5a2+b2+c2+d2=0a3+b3+c3+d3=6666.66a1+a2+a3=2000b1+b2+b3=4000c1+c2+c3=3121.2d1+d2+d3=3000【结果分析与讨论】该糖果店的进货和销售最优方案为：每周普通品牌生产5454.5kg，豪华品牌生产0kg，蓝带品牌生产6666.6kg；每周购入杏仁2000kg，核桃仁4000kg，腰果仁3121.21kg，胡桃仁3000kg。其中普通品牌中使用杏仁0kg，核桃仁1363.6kg，腰果仁1090.9kg，胡桃仁3000kg；蓝带品牌中使用杏仁2000kg，核桃仁2636.4kg，腰果仁2030.3kg，胡桃仁0kg。【实验总结】通过此次实验，主要练习了用matlab求解线性规划以及对线性规划问题模型的建立。由matlab的求解过程比较顺利，但