高考数学第一轮复习 各个知识点攻破55 解斜三角形课件 新人教B版.ppt

第五节解斜三角形 1 正弦定理 余弦定理设 abc的三个内角a b c的对边分别为a b c r是 abc的外接圆半径 1 正弦定理 2 正弦定理的变式 a b c sina sinb sinc a b c 2rsina 2rsinb 2rsinc sina sinb sinc 3 余弦定理1 a2 b2 c2 4 余弦定理的变式cosa cosb cosc b2 c2 2bc cosa c2 a2 2ca cosb a2 b2 2ab cosc 2 解斜三角形的类型 1 已知两角和任一边 求其他两边和一角 2 已知两边和其中一边的对角 求另一边的对角 进而求得其他边 角 3 已知三边 求三个角 4 已知两边和它们的夹角 求第三边和其他两个角 在 abc中 已知a b和a时 解的情况如下 一解 一解 一解 两解 1 在 abc中 a 8 b 60 c 75 则b的值为 答案 c 2 abc的内角a b c的对边分别为a b c 若c b 120 则a等于 答案 d 3 在三角形abc中 a 120 ab 5 bc 7 则的值为 答案 d 4 abc中 内角a b c的对边分别是a b c 已知a b c成等比数列 a c 3 cosb 则等于 答案 b 三角形中的边角关系 例1 在 abc中 已知a 2 b c 15 求角a 分析 先用余弦定理求出c 然后利用正弦定理求出sina 进而求出a 拓展提升 本题易误点为由sina求a时解的情况的判定 应结合图形 或 大边对大角 作出判断 已知在 abc中 a 45 ab bc 2 求其他边和角 b 180 60 45 75 或 b 180 120 45 15 判断三角形的形状 例2 在 abc中 a b c分别表示三个内角a b c的对边 如果 a2 b2 sin a b a2 b2 sin a b 试判断该三角形的形状 分析 利用正 余弦定理进行边角互比 转化为边边关系或角角关系 解 解法1 由已知 a2 b2 sin a b a2 b2 sin a b 得a2 sin a b sin a b b2 sin a b sin a b 2a2cosasinb 2b2cosbsina 由正弦定理得sin2acosasinb sin2bcosbsina 即sin2a sinasinb sin2b sinasinb 0 a 0 b sin2a sin2b 2a 2b或2a 2b 即a b或a b abc是等腰三角形或直角三角形 解法2 同解法1可得2a2cosasinb 2b2cosbsina 由正 余弦定理得 a2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 b2 即 a2 b2 c2 a2 b2 0 a b或c2 a2 b2 abc为等腰三角形或直角三角形 拓展提升 确定三角形的形状主要有两条途径 1 化边为角 2 化角为边 具体有四种方法 通过正弦定理实现边角互化 通过余弦定理实现边角互化 通过三角变换找出角之间的关系 通过三角函数值的符号的判断以及正 余弦函数有界性的讨论 已知 abc中 ab m bc m p m p均为正实数 ac 若m2 n2 p2 试分别对下列三种情况讨论 abc是锐角三角形 直角三角形 还是钝角三角形 1 m2 mp p2 0 2 m2 mp p2 0 3 m2 mp p2 0 正 余弦定理的综合运用 例3 2009 湖北高考 在锐角三角形abc中 a b c分别为角a b c所对的边 且 1 确定角c的大小 分析 1 只要变换关系式a 2csina就可以求出sinc 根据sinc的值确定角c的大小 2 根据第 1 问的结果 利用余弦定理可以得到一个关于a b的方程组 解这个方程组就可以求出a b的值 由余弦定理得a2 b2 2abcos 7 即a2 b2 ab 7 由 变形得 a b 2 3ab 7 将 代入 得 a b 2 25 故a b 5 解法2 前同解法1 联立 得消去b并整理得a4 13a2 36 0 解得a2 4或a2 9 拓展提升 本题的新颖之处是考查方程思想和整体思想 第 1 问实际上是为第 2 问服务的 在解决了第 1 问后 第 2 问中给出的两个条件其目的是让考生列出关于a b的方程组 而结论求a b的值 既可以求出a b后解决 也可以整体解决 考生容易忽视已知条件中的 abc为锐角三角形 得出角c有两个解 导致解题复杂化和解题错误 所以在解题中要仔细审题 把明显的 隐含的已知条件弄清楚 防止出现上面所说的情况 2009 浙江高考 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 且满足 1 求 abc的面积 2 若b c 6 求a的值 正 余弦定理的实际应用 例4 2009 宁夏 海南高考 为了测量两山顶m n间的距离 飞机沿水平方向在a b两点进行测量 a b m n在同一个铅垂平面内 如图1所示 飞机能够测量的数据有俯角和a b间的距离 请设计一个方案 包括 指出需要测量的数据 用字母表示 并在图中标出 用文字和公式写出计算m n间的距离的步骤 图1图2 拓展提升 本题并没有直接给出测量数据让考生直接计算 而是要求考生亲临实际问题的环境里进行具体操作 找到解决问题的方案 并设计出计算步骤 可以说本题是一道真正意义上的应用题 2009 辽宁高考 如图3所示 a b c d都在同一个与水平面垂直的平面内 b d为两岛上的两座灯塔的塔顶 测量船于水面a处测得b点和d点的仰角分别为75 30 于水面c处测得b点和d点的仰角均为60 ac 0 1km 试探究图中b d间距离与另外哪两点间距离相等 然后求b d的距离 计算结果精确到0 01k