（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.9 圆锥曲线的综合问题 第1课时 直线与圆锥曲线教师用书 理 苏教版.doc

第九章 平面解析几何 9.9 圆锥曲线的综合问题 第1课时 直线与圆锥曲线教师用书 理 苏教版1直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2bxc0(或ay2byc0)(1)若a0，可考虑一元二次方程的判别式，有0直线与圆锥曲线相交；0直线与圆锥曲线相切；b0)表示的曲线大致是_(填序号)答案解析将方程a2x2b2y21变形为1，ab0，b0，0，即3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆c有两个不重合的公共点(2)当0，即m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆c有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆c有且只有一个公共点(3)当0，即m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆c没有公共点思维升华(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解(2016全国乙卷)在直角坐标系xoy中，直线l：yt(t0)交y轴于点m，交抛物线c：y22px(p0)于点p，m关于点p的对称点为n，连结on并延长交c于点h.(1)求；(2)除h以外，直线mh与c是否有其他公共点？说明理由解(1)由已知得m(0，t)，p，又n为m关于点p的对称点，故n，on的方程为yx，代入y22px整理，得px22t2x0，解得x10，x2，因此h.所以n为oh的中点，即2.(2)直线mh与c除h以外没有其他公共点，理由如下：直线mh的方程为ytx，即x(yt)代入y22px，得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线mh与c只有一个公共点，所以除h以外直线mh与c没有其他公共点题型二弦长问题例2(2016全国甲卷)已知a是椭圆e：1的左顶点，斜率为k(k0)的直线交e于a，m两点，点n在e上，mana.(1)当aman时，求amn的面积(2)当2aman时，证明：k0，由aman及椭圆的对称性知，直线am的倾斜角为.又a(2,0)，因此直线am的方程为yx2.将xy2代入1，得7y212y0，解得y0或y，所以y1.因此amn的面积samn2.(2)证明设直线am的方程为yk(x2)(k0)，代入1，得(34k2)x216k2x16k2120，由x1(2)，得x1，故am|x12|.由题设，直线an的方程为y(x2)，故同理可得an.由2aman，得，即4k36k23k80，设f(t)4t36t23t8，则k是f(t)的零点，f(t)12t212t33(2t1)20，所以f(t)在(0，)上单调递增，又f()15260，因此f(t)在(0，)上有唯一的零点，且零点k在(，2)内，所以kb0)的离心率为，f1，f2是椭圆的两个焦点，p是椭圆上任意一点，且pf1f2的周长是42.(1)求椭圆c1的方程；(2)设椭圆c1的左，右顶点分别为a，b，过椭圆c1上的一点d作x轴的垂线交x轴于点e(点d与点a，b不重合)，若c点满足，连结ac交de于点p，求证：pdpe.(1)解由e，知，所以ca，因为pf1f2的周长是42，所以2a2c42，所以a2，c，所以b2a2c21，所以椭圆c1的方程为y21.(2)证明由(1)得a(2,0)，b(2,0)，设d(x0，y0)，所以e(x0,0)，因为，所以可设c(2，y1)，所以(x02，y0)，(2，y1)，由可得(x02)y12y0，即y1.所以直线ac的方程为，整理得y(x2)又点p在de上，将xx0代入直线ac的方程可得y，即点p的坐标为(x0，)，所以p为de的中点，所以pdpe.题型三中点弦问题命题点1利用中点弦确定直线或曲线方程例3(1)已知椭圆e：1(ab0)的右焦点为f(3,0)，过点f的直线交e于a，b两点若ab的中点坐标为(1，1)，则e的方程为_(2)已知(4,2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，则l的方程是_答案(1)1(2)x2y80解析(1)因为直线ab过点f(3,0)和点(1，1)，所以直线ab的方程为y(x3)，代入椭圆方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，所以ab的中点的横坐标为1，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3，a3.所以e的方程为1.(2)设直线l与椭圆相交于a(x1，y1)，b(x2，y2)，则1，且1，两式相减得.又x1x28，y1y24，所以，故直线l的方程为y2(x4)，即x2y80.命题点2由中点弦解决对称问题例4(2015浙江)已知椭圆y21上两个不同的点a，b关于直线ymx对称(1)求实数m的取值范围；(2)求aob面积的最大值(o为坐标原点)解(1)由题意知m0，可设直线ab的方程为yxb.由消去y，得x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点，所以2b220，将ab中点m代入直线方程ymx，解得b.由得m或m.(2)令t，则ab，且o到直线ab的距离为d.设aob的面积为s(t)，所以s(t)abd ，当且仅当t2时，等号成立故aob面积的最大值为.思维升华处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点a，b关于直线l对称，则l垂直直线ab且a，b的中点在直线l上的应用设抛物线过定点a(1,0)，且以直线x1为准线(1)求抛物线顶点的轨迹c的方程；(2)若直线l与轨迹c交于不同的两点m，n，且线段mn恰被直线x平分，设弦mn的垂直平分线的方程为ykxm，试求m的取值范围解(1)设抛物线顶点为p(x，y)，则焦点f(2x1，y)再根据抛物线的定义得af2，即(2x)2y24，所以轨迹c的方程为x21.(2)设弦mn的中点为p，m(xm，ym)，n(xn，yn)，则由点m，n为椭圆c上的点，可知两式相减，得4(xmxn)(xmxn)(ymyn)(ymyn)0，将xmxn21，ymyn2y0，代入上式，得k.又点p在弦mn的垂直平分线上，所以y0km.所以my0ky0.由点p(，y0)在线段bb上(b，b为直线x与椭圆的交点，如图所示)，所以yby0yb，也即y0.所以m0，b0)的一条渐近线与抛物线yx21只有一个公共点，则双曲线的离心率为_答案解析双曲线1的一条渐近线为yx，由方程组消去y，得x2x10有唯一解，所以()240，2，e .6已知f为抛物线y28x的焦点，过点f且斜率为1的直线l交抛物线于a，b两点，则|fafb|的值为_答案8解析依题意知f(2,0)，所以直线l的方程为yx2，联立方程，得消去y，得x212x40.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x24，x1x212，则|fafb|(x12)(x22)|x1x2|8.7在抛物线yx2上关于直线yx3对称的两点m，n的坐标分别为_答案(2,4)，(1,1)解析设直线mn的方程为yxb，代入yx2中，整理得x2xb0，令14b0，b.设m(x1，y1)，n(x2，y2)，则x1x21，bb，由(，b)在直线yx3上，即b3，解得b2，联立解得8已知抛物线y24x的弦ab的中点的横坐标为2，则ab的最大值为_答案6解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x24，那么afbfx1x22，又afbfabab6，当ab过焦点f时取得最大值6.9过椭圆1内一点p(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是_答案3x4y130解析设直线与椭圆交于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，由于a，b两点均在椭圆上，故1，1，两式相减得0.又p是a，b的中点，x1x26，y1y22，kab.直线ab的方程为y1(x3)即3x4y130.10已知双曲线c：x21，直线y2xm与双曲线c的右支交于a，b两点(a在b的上方)，且与y轴交于点m，则的取值范围为_答案(1,74)解析由可得x24mxm230，由题意得方程在1，)上有两个不相等的实根，设f(x)x24mxm23，则得m1，设a(x1，y1)，b(x2，y2)(x11得，的取值范围为(1,74)11.如图，定直线l的方程为x4，定点f的坐标为(1,0)，p(x，y)为平面上一动点，作pql于q，若pq2pf.(1)求动点p的轨迹e的方程；(2)过定点f作直线交曲线e于a、b两点，若曲线e的中心为o，且32，求三角形oab的面积解(1)由|x4|2，化简得轨迹e的方程为1.(2)设直线ab的方程为kyx1，与椭圆方程联立消去x得(3k24)y26ky90.设a(x1，y1)，b(x2，y2)32，o(0,0)，f(1,0)，y12y2.y1，y2，k2.ab|y1y2|，又点o到直线ab的距离d，soab.12. (2016泰州模拟)设点f1(c,0)，f2(c,0)分别是椭圆c：y21(a1)的左，右焦点，p为椭圆c上任意一点，且的最小值为0.(1)求椭圆c的方程；(2)如图，动直线l：ykxm与椭圆c有且仅有一个公共点，作f1ml，f2nl分别交直线l于m，n两点，求四边形f1mnf2面积s的最大值解(1)设p(x，y)，则(cx，y)，(cx，y)，x2y2c2x21c2，xa，a，由题意，得1c20，c1，则a22，椭圆c的方程为y21.(2)将直线l的方程l：ykxm代入椭圆c的方程y21中，得(2k21)x24kmx2m220，则16k2m24(2k21)(2m22)0，化简得m22k21.设d1f1m，d2f2n.当k0时，设直线l的倾斜角为，则|d1d2|mn|tan |，mn|d1d2|，s|d1d2|(d1d2)，m22k21，当k0时，|m|1，|m|2，即s2.当k0时，四边形f1mnf2是矩形，此时s2.四边形f1mnf2面积s的最大值为2.13. (2015江苏)如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为，且右焦点f到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过f的直线与椭圆交于a，b两点，线段ab的垂直平分线分别交直线l和ab于点p，c，若pc2ab，求直线ab的方程解(1)由题意，得且c3，解得a，