圆锥曲线专题复习与训练——经典好.doc

高考数学专题复 （第2轮 难点突破）圆锥曲线专题复习与训练常用性质归纳、解题方法探寻、典型例题剖析、高考真题演练【高考命题特点】圆锥曲线是历年高考的重点内容，常作为高考数学卷的压轴题。1. 从命题形式上看，以解答题为主，难度较大。2. 从命题内容上看，主要考查求圆锥曲线的标准方程、求动点的轨迹方程、根据方程求最值、求参数的取值范围、证明定点、定值、探索存在性等。3. 从能力要求上看，主要考查数学思想方法（如数形结合、分类讨论等）的运用能力。分析问题和解决问题的能力及运算能力。一、圆锥曲线的常用性质1. 关于椭圆的补充性质（常在解题中遇到）： 经过焦点或的椭圆的弦，当轴时，最短，且 过焦点的直线交椭圆于P、Q两点，点M是轴上一定点，则当轴时，的面积最大。 设右（左）准线与轴交于点E，过E点的直线与椭圆交于P,，Q两点，点与点P关于轴对称，则直线一定过椭圆的右（左）焦点F。一般地，设P、Q是椭圆上两动点，直线PQ交轴于点，点与点P关于轴对称，直线交轴于点，则为定值。 设点P是椭圆右（左）准线上任一点（不在轴上），是椭圆的左、右顶点，直线, 与椭圆分别交于两点，则直线一定过椭圆的右（左）焦点。 反之，过椭圆右（左）焦点F的直线交椭圆于两点，则直线的交点P在椭圆的右（左）准线上。 设是椭圆的左、右顶点，是椭圆的上、下顶点，P是椭圆上异于顶点的任一点，则为定值。 一般地，设过椭圆中心的直线交椭圆于M、N两点，P是椭圆上异于M、N的任一点，则为定值。 存在以坐标原点为圆心的圆，使得圆的任一切线与椭圆交于P, Q两点，满足，且圆的方程为；反之，若，则点到直线PQ的距离为定值. 当时，|PQ|取得最大值；当或轴时，|PQ|取得最小值。. 设ABCD是椭圆的内接矩形，则矩形ABCD的最大面积为.已知点P在椭圆上，设，则焦点三角形的面积。 2. 双曲线的补充性质（在解双曲线问题时常遇到）： 平行于渐近线（斜率为）的任一条直线与双曲线有唯一交点.若斜率为k的直线与双曲线的两支各交于一点，则，若直线只与双曲线的同一支相交于两点，则。（在的前提下，反之也成立）.双曲线上任一点到两条渐近线的距离的乘积为定值. 当焦点弦轴时，是同一支上所有焦点弦中的最短者。在焦点三角形中，设，则焦点三角形的面积设P是双曲线右（左）支上任一点，则的内切圆与x轴的切点为双曲线的右（左）顶点。双曲线和称为共轭双曲线共轭双曲线的性质：渐近线相同 ； 3. 抛物线的常用性质（常在解题中遇到）：（1）抛物线的焦点性质：已知抛物线：，过焦点的直线交于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为，设直线的倾斜角为，则： ，. . ，当时，的最小值为。 . 三点共线；三点共线。 以为直径的圆与直线相切。 以为直径的圆过焦点。（2）抛物线的补充性质： 设A、B是抛物线上两动点，且满足，（O为坐标原点），则直线AB经过轴上的定点。反之，也成立。 设抛物线的准线交轴于点E，过E点的直线交抛物线于A,B两点，是点A关于轴的对称点，则直线过抛物线的焦点F. 过轴上的定点的直线与抛物线) 交于两点，则 （定值）。（抛物线的切线） 设 是抛物线上两动点，分别过A、B两点作抛物线的切线相交于点，则有： 切线的方程分别为：。 切线的交点坐标为：， 即 。 直线AB的斜率为： 。 若直线AB与轴交于点，则。二、圆锥曲线常见题型及解题思路方法。1. 求圆锥曲线的标准方程 先判断焦点的位置，设出相应圆锥曲线的方程，再根据已知条件和圆锥曲线的性质列方程（组）（如求椭圆方程，就是根据条件和性质列出关于a、b、c的方程组），求出待定参数。在解方程（组）求a，b时，要注意考题中经常出现的几种方程的形式，对于复杂的方程（组），常常是观察猜想验证，得出a，b的值。 2. 求椭圆（或双曲线）的离心率或离心率的取值范围 求离心率就是根据条件和圆锥曲线的性质，寻找a、b、c之间的等量关系，求出的值。在椭圆中，有：；在双曲线中，有：。能求出，也就求得了离心率。在双曲线中，还要注意渐近线与离心率的关系。 求离心率的取值范围就是根据条件和圆锥曲线的性质寻找a、b、c之间的不等关系。关于不等式的来源，通常是依据已知不等式，同时还要注意圆锥曲线中 几个常用的不等关系：圆锥曲线上点的坐标的范围；在椭圆中，有，（其中B为短轴的端点，P为椭圆上任一点）；在双曲线中，有（其中F为焦点，P为双曲线上任一点，A是同一支双曲线的顶点）。 解这类问题时，要尽可能地结合图形，依据定义，多从几何角度思考问题。如果涉及直线与圆锥曲线位置关系问题，还要联立方程，用坐标法找关系。3. 在圆锥曲线中判断点与圆的位置关系除常规方法外（比较点到圆心的距离与半径的大小），通常用向量法。例如，已知直线与圆锥曲线交于A、B两点，要判断点P与以AB为直径的圆的位置关系，只需确定的大小，通过计算，确定其符号。4. 证明定点，定值，定直线问题可先取参数的特殊值（或图形的特殊位置），对定点，定值，定直线进行探求，然后证明当参数变化时，结论成立。证明直线过定点，有两种思路：求出满足条件的动直线方程（只含一个参数），再根据方程求出定点； 先探求定点，再设出要证明的定点的坐标（如设动直线与x轴交于点），把坐标表示出来，表示式中，往往会含有（或 ），用所求得的结果代入，就可得出坐标为定值。证明定点、定值、定直线问题，还可利用圆锥曲线中定点、定值、定直线的性质，将问题进行转化。5. 直线与圆锥曲线的位置关系问题这类问题是平面解析几何中的重点问题，常涉及直线和圆锥曲线交点的判断，弦长，面积，对称，共线等问题处理问题的基本方法有两种：（1）联立方程法：解题步骤是：先设交点，再设直线方程，联立直线方程与圆锥曲线方程构成方程组，消元，求，（或 ），令（如果直线经过曲线内的点，可以省去这一步），再根据问题的要求或求距离，或求弦长，或求点的坐标，或求面积等。（2）点差法：设交点为及AB的中点，将A、B两点的坐标代人圆锥曲线方程，作差变形，可得：，即，再由题设条件，求中点坐标，根据问题的条件和要求列式。值得注意的是，用联立方程法，设直线方程时，为简化运算，可采用这种的策略，若直线过轴上的定点，则直线方程可设为（此直线不包括轴），联立方程，消去，得到关于的方程，求出备用。有时，还要根据，求出。若直线过轴上的定点，则直线方程可设为（此直线不包括轴），联立方程，消去y。对于直线，无特殊交代时，通常注意分两种情况：直线的斜率存在，消元后，注意；直线的斜率不存在，即直线为。在涉及到弦的中点及斜率时，求参数（如直线的斜率k）的取值范围，通常采用点差法。6. 最值问题这类问题是从动态角度研究解析几何中的有关问题，往往涉及求弦长（或距离）、面积、坐标（或截距）、向量的模（或数量积）、参数等的最大（小）值。其解法是：设变量，建立目标函数。处理的方法有：（1）利用基本不等式；（2）考察函数的单调性；（3）利用导数法；（4）利用判别式法。在目标函数的变形上有一定的技巧，关于弦长，面积表达式的变形，常用到移入根号，分离常数，换元等方法，把目标函数转化为双勾函数的形式，或用基本不等式，或利用函数的单调性求最值。求坐标的最值时，可构造一个一元二次方程，利用。7. 求参数的取值范围问题这类问题主要是根据条件建立关于参变量的不等式，或者把所求参数转化关于某个变量的函数，通过解不等式或求函数的值域来求参数的取值范围。具体解法如下：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系。（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围。不等式的来源常有以下途径：已知不等式（含基本不等式）；直线与圆锥曲线相交时，有 ；点与圆锥曲线（以椭圆最为多见）的位置关系；圆锥曲线（特别是椭圆）上点的坐标的范围。（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数，用一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用基本不等式：基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思。（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。圆、椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： 通过参数简明地表示曲线上点的坐标； 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题。（6）构造一个二次方程，利用判别式D0。8. 求动点的轨迹方程求动点的轨迹方程是解析几何中两类基本问题之一，即根据动点所满足的条件，求动点的坐标之间的关系式。最基本的方法是直接法，步骤是：建系设点条件立式坐标代换化简方程查漏除杂。此外还有定义法（主要是利用圆锥曲线的定义），相关点法，参数法，几何法等。在涉及直线、圆的轨迹问题时，常从几何角度去探求动点满足的关系，选用几何法；如果题目没有直接给出动点所满足的条件，而是给出了与动点相关的点所满足的条件，先设动点坐标为，再把相关点的坐标用动点的坐标来表示，根据相关点的条件列式，此即为相关点法；参数法是求轨迹方程常用的方法，合理引入参数（通常是相关点的坐标）列式，消去参数得到关于的方程，要求所列方程的数目要比引入的参数多一个，才能消去所有参数。三. 圆锥曲线问题中的条件及要求与韦达定理之间的联系举例：解决圆锥曲线问题的基本方法是坐标法，这就需要把问题的条件转化为坐标之间的关系，而把问题的条件和要求用坐标表示，特别是用或来表示，往往又是打通问题思路的关键。以下是问题中一些条件的坐标表示：设斜率为的直线与圆锥曲线交于两点，联立方程，可求出，以及。（1）弦的中点： 弦AB的中点坐标可表示为 （2）弦的垂直平分线过定点或：弦的垂直平分线方程为：。弦的垂直平分线过定点，则有：（3）点与以为直径的圆的位置关系，判断的符号：，。其中（4）垂直问题：如，则有：（5）A、B两点关于直线对称： ，（其中k为直线AB的斜率）关于圆锥曲线上两点关于某条直线对称的问题，一般涉及到弦的斜率和中点，所以常采用“点差法”，用点差法处理问题时，对于不同的圆锥曲线，有不同的表示方法：当圆锥曲线分别为椭圆、双曲线、抛物线时，k的表示式有以下三种形式： （椭圆）； （双曲线）；（抛物线）（6）弦长问题：当直线 时： 当直线时： （7）三角形的面积： M NAB； （d是点到直线AB的距离） 或， 其中M、N为x轴上两定点，为定长。（8）三点共线问题：遇三点共线问题，常利用斜率相等列方程。设，若共线，则利用直线方程将换成（或将换成），通分后令分子为0，可使所得方程中仅含有（或仅含有）。（9）为正三角形：点C在的垂直平分线上，且满足，其中M为的中点。由点C在的垂直平分线上可得： 又，这样就把问题与韦达定理联系起来了。（10）A、B与C、D四点共圆：当A、C、B、D四点共圆时，其圆心是线段AB的垂直平分线与线段CD的垂直平分线的交点G，且满足|GA|=|GC|。线段AB的垂直平分线方程为，若CD垂直平分AB， 则圆心G是CD的中点，且有.【高考真题、模拟题解析】【例1】（2010 安徽）椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点轴上，离心率 （1）求椭圆E的方程； （2）求的角平分线所在直线的方程。【解】（1）设椭圆E的方程为 ：椭圆方程形式将A（2 ，3）代入上式，得：椭 圆E的方程为 （I2）由（I）知，设的角平分线所在直线的方向向量为，则。易知，所以，故。所以的角平分线所在直线的斜率为k = 2，故所求直线为：， 即。【注】若OC平分AOB，则【例2】（2010 北京）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，离心率是，直线与椭圆C交于不同的两点，以线段为直径作圆P，圆心为P。 （1）求椭圆C的方程； （2）若圆P与轴相切，求圆心P的坐标； （3）设是圆P上的动点，当变化时，求y的最大值.【解】（1）因为，且，所以 所以椭圆C的方程为. （2）由题意知.由 得： 所以圆P的半径为。由已知得： 解得. 所以点P的坐标是（。 （3）由（）知，圆P的方程。因为点在圆P上， 所以 设，则 当，即，且，y取最大值2【注】对于形如的函数，可采用三角代换法求最值，令，则，于是有：。【例3】（2010 江西）如图，已知抛物线：经过椭圆：的两个焦点 （1）求椭圆的离心率； （2）设点，又为与不在轴上的两个交点，若的重心在抛物线上，求和的方程【解】（1）因为抛物线C1经过椭圆C2的两个焦点，所以，由， 所以椭圆的离心率 （2）由（1）可知：，所以椭圆C2的方程为：联立 解得：（舍去），所以，即所以QMN的重心坐标为（1，0），因为重心在C1上，所以 所以所以抛物线C1的方程为：， 椭圆C2的方程为：【注】联立椭圆方程与其它方程时，为方便运算起见，通常要简化椭圆方程。如已知离心率或者已知a、b、c中的一个，则椭圆方程可化为只含一个参数的方程。【例4】（2010 辽宁）设F1，F2分别为椭圆C: 的左、右焦点，过F2的直线与椭圆C相交于A,B两点，直线的倾斜角为60，F1到直线的距离为2 （1）求椭圆C的焦距； （2）如果，求椭圆C的方程【解】（1）设焦距为2c，直线的方程为由已知可得：F1到直线的距离为d = 所以椭圆C的焦距为4 （2）设， 由（1）知：椭圆C的方程可化为，直线l的方程为 联立 ，消去x，得：由韦达定理得： 因为 从中消去，求得：。 故椭圆C的方程为【注】题目中的向量条件往往转化为坐标之间的关系。【例5】已知直线xky30所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.（1） 求椭圆C的标准方程；（2）已知圆O：x2y21，直线l：m xn y1.试证明：当点P(m，n)在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围【解】（1）由xky30得，（x3）ky0，所以直线过定点（3，0），即F（3，0）设椭圆C的方程为1(ab0)，则 解得： 故所求椭圆C的方程为1.（2） 因为点P（m，n）在椭圆C上运动，所以1.从而圆心O到直线l的距离d 1.所以直线l与圆O恒相交直线l被圆O截得的弦长为L22 2，由于0 m 2 25，而L关于m 2递增，所以 L ， 即 L，即直线l被圆O截得的弦长的取值范围是，【例6】（湖北高考题）已知是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于点A、B的动点，且的最大面积为。 （1）求椭圆C的方程。 （2）直线AP与椭圆在B点处的切线交于点D，当点P运动时，试判断直线PF（F为椭圆C的右焦点）与以线段BD为直径的圆的位置关系，证明你的结论。 （3）设椭圆C的右准线为，直线AP与准线交于点M，直线BM与椭圆C交于点Q，试判断点B与以PQ为直径的圆的位置关系，并证明你的结论。【解】（1）椭圆C的方程为：。 （2）由（1）得：。 设直线AP的方程为：，则有：。于是以BD为直径的圆E的圆心为，半径为。联立，消去x，得：，由韦达定理得：，所以 ， 从而有：，即 。 若，则有，圆E的圆心为，半径， 显然有直线PF与以BD为直径的圆E相切。 若 ，即，则有， 所以直线PF的方程为 。 于是圆心E到直线PF的距离为 。 所以直线PF与以BD为直径的圆E相切。 综上，当点P运动时，直线PF与以BD为直径的圆E相切。 （3）由（1）知：椭圆的右准线为，所以由（2）知：， 又 于是， 所以，所以为锐角， 从而为钝角，故点B 在以PQ为直径的圆的内部。 【注】在圆锥曲线中判断点与圆的位置关系，常采用向量法。【例7】（2011 杭州三模）已知A，B是椭圆的左，右顶点，过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于点M，N，交直线于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列，R和Q是椭圆上的两动点，R和Q的横坐标之和为2，RQ的中垂线交x轴于T点。（1）求椭圆C的方程；（2）求三角形MNT的面积的最大值【解】（1）由已知：b = 2，设P（4，），则, 又由已知：，即，从而。所以 椭圆C的方程为 （2）因为点Q、R在椭圆上，所以即 ， 由已知，线段QR的中点坐标为，所以线段QR的中垂线方程为， 令，得：，所以RQ的中垂线交x轴的交点为设，则设直线，与椭圆联立可得:令，则函数 在区间上单调递减，所以从而，故GBAD-3【例8】（2011山东文22）在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.（1）求的最小值；（2）若，求证：直线过定点；试问点B，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.【解】（1）由题意:设直线,由 消去y，得: ,设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得: =,即,所以中点E的坐标为E,因为O、E、D三点在同一直线上，所以，即，解得，所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2.（2）由题意知：m 0，直线OD的方程为,所以由 得交点G的纵坐标为,易知：， ，因为 ， 所以有：,又由（）知: ，所以，于是直线l的方程为,即有，所以直线l过定点（-1，0）.假设点B，G能关于轴对称。则有。那么的外接圆的圆心在x轴上，又在线段AB的中垂线上,由（i）知：G，所以，B,又因为直线l过定点（-1，0），所以直线l的斜率为，又因为，所以有：， 解得，从而有，由于，所以k = 1，m = 1，E，从而AB的中垂线方程为2x + 2y + 1 = 0，所以外接圆的圆心为，G，圆的半径为R = ，所求圆的方程为.综上所述, 点B、G能关于轴对称，此时的外接圆的方程为 .【例9】（2010 山东理21）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于项点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为A、B和C、D. （1）求椭圆和双曲线的标准方程； （2）设直线、的斜率分别为、，证明：； （3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意知： 所以。又，因此 故椭圆的标准方程为 由题意设等轴双曲线的标准方程为， 因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以 因此双曲线的标准方程为 （2）设， 则 因为点P在双曲线上， 所以。 因此 。即 。 （3）由于PF1的方程为，将其代入椭圆方程得 由违达定理得 所以 同理可得 则 又 ，所以 故 因此，存在， 使恒成立。【例10】（2012预测题 原创题）已知椭圆C：，过椭圆的右焦点F的直线与椭圆交于两点（不与左、右顶点重合）， 分别是椭圆C的左、右顶点，（1）证明：直线的交点在椭圆C的右准线l上。（2）设椭圆C的右准线l与x轴交于点D，求的面积的最大值，并求出当面积最大时的正切值。 【解】由已知：F（1，0），右准线l的方程为：设直线MN的方程为，且设，联立，消去x，得：，则有：， 。（1）设直线与右准线l分别交于P、Q两点，则，。于是 ，所以，即点P与点Q重合。故直线的交点在椭圆右准线上。 （2）由已知：D（2，0）. 。令，则 。函数在上单调递增，所以，故。 当面积最大时，t = 1，即k = 0，此时轴， 所以.【例11】（2009湖南卷）已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）.（1）求椭圆C的方程;（2） 设点P是椭圆C的左准线与轴的交点，过点P的直线与椭圆C相交于M、N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线的斜率k的取值范围。【解】（1）依题意，设椭圆C的方程为 焦距为2c，由题设条件知， 所以 故椭圆C的方程为 .（2）椭圆C的左准线方程为 所以点P的坐标，显然直线的斜率存在，所以直线的方程为。 如图，设点M，N的坐标分别为线段MN的中点为G，联立消去y得：. 则有 解得 . 又由韦达定理可得：，于是有：=，从而 .因为，所以点G不可能在y轴的右边，又直线 ，方程分别为所以点G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为 即 亦即 解得，此时也成立. 故k的取值范围是【例12】（2009福建）已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为B，点S是椭圆C上位于轴上方的动点，直线AS、BS与直线 分别交于M、N两点。（1）求椭圆的方程；（2）求线段MN的长度的最小值；（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存 在这样的点T，使得的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由。【解】（1）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为 故椭圆C的方程为 （2）直线AS的斜率k显然存在，且k 0，故可设直线AS的方程为，从而联立 消去y得:0设则 得，从而 即 又 由得: 故又 当且仅当，即时等号成立，时，|MN|取最小值（3）由（）可知，当|MN|取最小值时， 此时BS的方程为 要使椭圆C上存在点T，使得的面积等于，只须T到直线BS的距离等于， 所以T在平行于BS且与BS距离等于的直线l上。设直线 则由解得或 即直线l： 或 。联立，因为，所以直线与椭圆有两个交点。联立，因为，所以直线与椭圆没有交点。综上，满足条件的点T存在，且有两个。【例13】（2010 广东 T 20）已知双曲线的左、右分别为，点是双曲线上两个不同的动点。 （1）求直线与直线的交点E的轨迹方程。 （2）若过点H（0，h）（h 1）的两条直线与（1）中的轨迹都只有一个交点，且，求h的值。【解】（1）由已知： ，设E（x，y） 直线的方程为： 直线的方程为： 得：。 由已知：，即， 故有：。 因为是双曲线上两个不同的动点， 所以不与双曲线的左右顶点重合，所以， 又当x = 0时，直线与直线分别与双曲线的两条渐近线平行，此时P、Q不可能在双曲线上，所以 。 故E点的轨迹方程为（，） （2）设直线的方程分别为（h 1） 因为，所以。 当直线与点E的轨迹都只有一个交点时，直线的位置有以下3种情况： 直线都与椭圆相切： 联立， 于是有 ， 同理可得：。因为，所以， 又h 1，故求得：。 直线中有一条与椭圆相切，有一条经过左（右）顶点：不妨设直线与椭圆相切，直线过右顶点， 则有，因为，所以， 又h 1，故求得：。 直线分别经过左、右顶点： 则有，。于是有， 又h 1，故求得：。 综上，满足条件的h的值为：或或。 【例14】（全国高考题）如图，是抛物线上两个动点，且（为常数），求下列两种情况下线段的中点到轴的最短距离 【解】设直线的方程为：，且设则到轴的距离，联立消去，得: 则有，从而所以求得：。所以 令，则 （1）当时，. 当且仅当时取等号，所以（2）当时，函数在上递增，所以当，即时，取得最小值且、【例15】已知直线l过抛物线的焦点F，交抛物线与A,，B两点，C是抛物线的准线上任一点 （1）证明：不可能为钝角 （2）是否存在这样的点C，使得 为正三角形？若存在，求点C 的坐标，若不存在，说明理由。【解】（1）设直线AB的方程为，且设，联立，消去x得：。 于是有：，从而有：， 易知，所以。 又，即方程有两个不等实根，所以不重合， 故为锐角或直角，不可能为钝角。 【另证】由抛物线的性质可知：以焦点弦AB为直径的圆一定和抛物线的准线相切，而点C为准线上任一点，所以点C在圆外或圆上，故为锐角或直角，不可能为钝角。（2）假设抛物线的准线上存在点，使得为正三角形。 取AB的中点D，则，且。 由（1）可得：，从而， 由得：，即，所以。于是，易知。 由得：，所以。 故抛物线的准线上存在点，使得为正三角形 【例16】）（2011年青岛市高三第2次模拟考试）（1）已知动点到点与到直线的距离相等，求点P的轨迹L的方程；（2） 若正方形ABCD的三个顶点，()在（1）中的曲线L上，设直线BC的斜率为k，求关于k的函数解析式；（3）求（2）中正方形ABCD的面积S的最小值【解】 （1）由题设可得动点P的轨迹方程为 （2）由（1），可设直线BC的方程为：，联立 消去y得：易知、为该方程的两个根，故有，得，从而得：， 类似地，可设直线AB的方程为：，从而得， 由，得， 解得：所以（3） 由（2）得：， 由基本不等式得：，当且仅当k = 1时上述两式等号均成立所以，仅当k = 1时取等号。故，即当k = 1时，l取得最小值。故S的最小值为32， 【例17】（2012年威海一模）已知椭圆（0b2）的离心率等于抛物线（p0）的焦点F在椭圆内部，且到短轴端点的距离为。（1）写出椭圆和抛物线的方程；（2）在抛物线上是否存在点P，使得过点P的切线与椭圆相交于A，B两点，且满足？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【解】（1） （2）假设在抛物线上存在点P满足条件。 设过点P的抛物线的切线方程为，且设， 联立，消去y，得：， 则有：， 又由韦达定理得： 从而。 因为，所以，即，从而得：。 联立，消去y，得： 因为直线与抛物线相切，所以，即 。 由可求得：，代入检验，符合。代入，求得切点P的坐标为。 故在抛物线上存在点P满足条件，且点P的坐标为。【例18】（2012 山东实验中学）已知椭圆的长轴长为4，离心率为；一动圆经过椭圆的右焦点，且与直线相切，记动圆圆心的轨迹为。 （1）分别求曲线、的方程。 （2）已知曲线上有两动点P、Q，曲线上有两动点M、N，满足、（为正实数），且，求四边形的面积的最小值。【解】（1），。 （2）由已知：直线MN和直线PQ都经过椭圆的右焦点，且直线MN和直线PQ互相垂直。易知直线PQ不可能与x轴垂直，即直线MN不可能与x轴重合。设直线PQ的方程为，则直线MN的方程为。联立，消去y，得：，设，则，于是。联立，消去x，得：，设，则，从而， 于是。所以.令，则。因为函数在上单调递增，所以当x = 3时，y取得最小值，且，故. 即四边形的面积的最小值为8.【例17】抛物线D以双曲线C: 的上焦点F（0，c）为焦点.（1）求抛物线D的标准方程（2）过直线l: 上的动点P作抛物线两条切线，切点为A、B，求证：直线AB过定点Q，并求点Q的坐标*（3）在（2）的条件下，若直线PQ交抛物线D于M，N两点，求证：|PM|QN| = |QM|PN|。【解】 （1）。 （2）设，由得：，所以。 于是，。 所以切线AP的方程为，即， 同理切线BP的方程为。 由 得：， 即。 因为点P在直线上，所以。 易知：，所以直线AB的方程为，即，亦即。令，则直线AB的方程可表示为，显然直线AB过定点。 （3）设，则直线PQ的方程为：， 联立，消去y得：。 设，则有，。 |PM|QN| = |QM|PN| 而，只需证。 事实上，。所以|PM|QN| = |QM|PN|。【注】在解析几何问题中，对于同一直线上两条线段的比，通常用端点坐标之差的绝对值的比来表示。【例19】（2011 山东高考理22）已知动直线与椭圆：交于 两不同点，且的面积，其中为坐标原点（1）证明：和均为定值；（2）设线段的中点为，求的最大值；（3）椭圆上是否存在三点，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由【解】（1）当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称，则，由在椭圆上，则，而， 则， 于是，.当直线的斜率存在，设直线为，代入可得，即，则，即 ，又由韦达定理，可得： 于是又有：，所以 则， 满足，综上可知.（2）当直线的斜率不存在时，由（）知当直线的斜率存在时，由（）知， 即 所以 又 所以 ，当且仅当，即 时等号成立，综上可知的最大值为。（3）假设椭圆上存在三点，使得，由（）知：，.解得。因此只能从中选取，只能从中选取，因此只能从中选取三个不同点，而这三点的两两连线必有一个过原点，这与相矛盾故椭圆上不存在三点，使得 。 【专题演练之基本训练题】1已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|PF2|，那么动点Q的轨迹是（）A圆 B椭圆 C双曲线的一支 D抛物线2设F1、F2为椭圆y21的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，的值等于（）A0 B2 C4 D23（2009年高考浙江卷）已知椭圆1（ab0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P. 若2，则椭圆的离心率是（）A. B. C. D.4（2010年长沙模拟）已知F1，F2分别为椭圆C：1(ab0)的左，右焦点，过F1且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，若ABF2为钝角三角形，则椭圆C的离心率e的取值范围为（）A(0，1) B(0，1) C(1,1) D(1,1)5. B1、B2是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项，则的值是（）A. B. C. D.6（2009年高考全国卷）双曲线1的渐近线与圆（x3）2y2r2（r0）相切，则r （）A. B2 C3 D67 （2009年高考江西卷）设F1和F2为双曲线1(a0，b0)的两个焦点，若F1、F2、P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）A. B2 C. D38设P是双曲线1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点若|PF1|3，则|PF2|等于（）A1或5 B6 C7 D99. （2009年高考山东卷）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（）A. 1 B. 1 C. 1 D. 110过双曲线M：x21的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|BC|，则双曲线M的离心率是（）A. B. C. D. 11抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）A. B. C. D012（2009年高考北京卷）若点P到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为（）A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线13抛物线y24x的焦点为F，过F且倾斜角等于的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点A，则AF的长为（）A2 B4 C6 D814 如图过抛物线y22px（p0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于 点A，B， C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程为（）Ay2x By29x Cy2x Dy23x15直线l过抛物线C：y22px（p0）的焦点F，且交抛物线C于A，B两点，分别从A，B两点向抛物线的准线引垂线，垂足分别为A1，B1，则A1FB1是（）A锐角 B直角 C钝角 D直角或钝角16F1、F2是椭圆1的左、右两焦点，P为椭圆的一个顶点，若PF1F2是等边三角形，则a2_.17 已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为_18（2009年高考北京卷）椭圆1的焦点为F1、F2，点P在椭 圆上，若|PF1|4，则|PF2|_，F1PF2的大小为_19（2010年高考湖南卷）过双曲线C：1（a0，b0）的一个焦点 作圆x2y2a2的两条切线，切点分别为A、B.若AOB120(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为_20（2009年高考海南、宁夏卷）设双曲线1的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_21. （2008年高考江西卷）过抛物线x22py（p0）的焦点F作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧)，则_.【答案】：1. A 2. D 3. D 4. A 5. B 6. A 7. B 8. C 9. A 10. A 11. B 12. D 13. B 14. D 15. B 16. 12; 17. 1; 18. 2、 120； 19. 2； 20. ； 21. 【专题演练之综合训练题】【E1】已知椭圆C:的离心率e =，左,右焦点为，抛物线 的焦点恰好是椭圆的一个顶点（1）求椭圆C的方程（2）若斜率为k的直线l与x轴交于点A（2，0），与椭圆C交于两点M，N， 证明：（3）在（2）的条件下，求的面积的最大值【解】（1）C： （2）设直线l的方程为，其中。设， 联立，消去x得： 则有： 又由韦达定理得： ， 易知，所以， 因为， 即，所以直线与的倾斜角互补，故。 （3）由已知， 。 令，则。 当且仅当，即时取等号，所以的最大面积为。【E2】在平面直角坐标系中，的两个顶点的坐标为A，B（1，0），平面内的两点G，M同时满足 , , （1）求的顶点C的轨迹E的方程；（2）过点D（3，0）的直线l与（1）中的轨迹E交于P、Q两点，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，求的最大面积。【解】（1）由已知条件、可得：G、M两点分别是的重心和外心。 设，则，又由可知：。因为，所以，化简的：。此即为点C的轨迹方程。 （2）设直线l的方程为，且设， 联立，消去x，得：， 则有， 又由韦达定理得：。 易知， 所以， 又因为，所以，于是。 故的取值范围为。 （3） 。令，则。当且仅当，即时取等号。所以的最大面积为。【E3】设椭圆：的焦点分别为、，抛物线C: 的准线与轴的交点为A，且（1）求椭圆的方程；（2）过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图），求四边形DMEN面积的最大值和最小值【解】（1）由题意，. 抛物线:的准线为，所以点A的坐标为.，为的中点. ， 即椭圆方程为. （2）当直线DE与x轴垂直时， 此时，四边形DMEN的面积；同