多面体外接球.doc

6求多面体的外接球半径一般需确定球心的位置；长方体（正方体）的对角线是其外接球的直径；将多面体“补”成长方体（正方体）是研究多面体外接球的常用的办法。举例1 三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，ABBC，若PA=AC=，则该三棱锥的外接球的体积是 。解析：思路一：“找球心”（到三棱锥ACPBABCP四个顶点距离相等等的点）。注意到PC是RtPAC和RtPBC的公共的斜边，记它的中点为O，则OA=OB=OP=OC=PC=1，即该三棱锥的外接球球心为O，半径为1，故它的体积为：ABCDPOO1方法二：“补体”，将三棱锥补成长方体，如图所示；它的对角线PC是其外接球的直径。举例2正四棱锥P-ABCD的五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则这个球的表面积为 。解析：正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，PO=AO=R，PO1=4，OO1=R-4，或OO1=4-R（此时O在PO1的延长线上），在RtAO1O中，R2=8+(R-4)2得R=3，球的表面积S=36巩固1 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4和3，那么它的外接球的体积是 。巩固2 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是：（ ） （07高考陕西理6） （A） (B) (C) (D) 迁移点P在直径为2的球面上，过P两两垂直的3条弦，若其中一条弦长是另一条的2倍，则这3条弦长之和的最大值是 。8球的内接正多面体和外切正多面体的中心均为球心。球的内接长方体的体对角线是球的直径，球的外切正方体的边长是球的直径，与边长为a的正方体各条棱都相切的球的直径为a；边长为a的正四面体的内切球的半径为（正四面体高的），外接球的半径为。举例已知棱长为a的正四面体ABCD有内切球O，经过该棱锥A-BCD三侧棱中点的截面为，则O到平面的距离为 。解析：记棱锥A-BCD的高为AO1，O在AO1上且OO1=AO1；AO1与面交于M，则MO1=AO1，故MO= OO1=AO1=1巩固1P在面ABC上的射影为O，则OA=OB=OC=OP=R，=10，故选B；巩固2；2、巩固450；3、巩固11：2；巩固2B；4、巩固；5、巩固3：16；6、巩固1 ，巩固2C， 迁移 设三条弦长分别为x,2x,y,则：x2+(2x)2+y2=4,用椭圆的参数方程求3x+y的最大值为；7、巩固 B；8、巩固 C四面体外接球的球心、半径求法 在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。1、 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为，则体对角线长为，几何体的外接球直径为体对角线长 即【例题】：在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为的长即： 所以球的表面积为2、 出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，,求球的体积。解：且，, 因为 所以知所以 所以可得图形为：在中斜边为在中斜边为取斜边的中点，在中在中所以在几何体中，即为该四面体的外接球的球心 所以该外接球的体积为【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。3、 出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥中，求该棱锥的外接球半径。解：由已知建立空间直角坐标系 由平面知识得 设球心坐标为 则,由空间两点间距离公式知 解得 所以半径为【结论】：空间两点间距离公式：4、 四面体是正四面体 外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点， 根据勾股定理知，假设正四面体的边长为时，它的外接球半径为。5(2012唐山模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为()A. B.C4 D2解析根据三视图还原几何体为一个如图所示的三棱锥DABC，其中平面ADC平面ABC，ADC为等边三角形取AC的中点为E，连接DE、BE，则有DEAC，所以DE平面ABC，所以DEEB.由图中数据知AEECEB1，DE，AD2DCDB，ABBC，AC2.设此三棱锥的外接球的球心为O，则它落在高线DE上，连接OA，则有AO2AE2OE21OE2，AOBODEOEOE，所以AO，故球O的半径为，故所求几何体的外接球的表面积S4()2，故选B.答案B2012广州模拟一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为_答案：解析：正六棱柱的侧棱长h，球心在六棱柱的最长体对角线上，球的直径、正棱柱的侧棱、底面正六边形的最长对角线构成直角三角形，2R2，R1，V球13.3. 2012南昌模拟如图为一个几何体的三视图，