习题2.3

线面角的传统解法 鄂州高中数学组吴引 一师一优课必修二习题2 3 直线和平面所成的角 如图 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO 过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 叫做这条直线和这个平面所成的角 斜线 斜足 射影 垂足 垂线 规定 一条直线垂直于平面 我们说它所成的角是直角 一条直线和平面平行 或在平面内 我们说它所成的角是00的角 直线与平面所成的角 的取值范围是 由定义求线面角 通常是解由斜线段PA 垂线段PO 斜线在平面内的射影AO所组成的RTPAO 垂线段是其中最重要的元素 它可以起到联系各线段的作用 定义法 A1C与平面A1B1BA所成角是 1 如图 正方体ABCD A1B1C1D1 A1C与平面A1B1C1D1所成角是 A1C与平面A1D1DA所成角是 CA1B CA1D CA1C1 2 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 1 AB1与面BB1D1D所成的角是 2 AB1与面A1B1CD所成的角是 A1 D1 C1 B1 A D C B 1 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 1 AB1与面BB1D1D所成的角是 2 AB1与面A1B1CD所成的角是 A D C B 3 已知正方体的棱长为a 1 求直线AB1和平面A1B1C1D1所成角的大小 3 已知正方体的棱长为a 2 求直线DB1和平面A1B1C1D1所成的角的余弦值 3 已知正方体的棱长为a 3 E是A1D1的中点 求直线EB和平面ABCD所成角的正切值 4 已知三棱锥A BCD的各棱长都为2 求直线AB与平面BCD所成角的余弦值 O 求直线AB与平面ACD所成角的余弦值 5 P是ABC所在平面外一点 且PA PB PC 10 AB 6 BC 8 CA 10 求PA PB PC分别与平面ABC所成的角 A是BCD所在平面外一点 且BC CD 5 BD 5 2 AB AC AD 8 求AD与平面BCD所成的角余弦值 D E 6 已知四棱锥P ABCD的底面是边长为2的正方形 PD 底面ABCD PD AD 求直线DC与平面PBC所成角的大小 E 其中 是斜线与平面所成的角 h是垂线段的长 L是斜线段的长 其中求出垂线段的长 即斜线上的点到面的距离 既是关键又是难点 为此可用三棱锥的体积相等来求垂线段的长 公式法sin h L L h C S A B 四面体ABCS中 SA SB SC两两垂直 SBA 45 SBC 60 M为AB的中点 求 1 BC与平面SAB所成的角 2 SC与平面ABC所成角的正弦值 四面体ABCS中 SA SB SC两两垂直 SBA 45 SBC 60 M为AB的中点 求 1 BC与平面SAB所成的角 2 SC与平面ABC所成的角 1 SC SB SC SA SC 平面SAB故SB是斜线BC在平面SAB上的射影 SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60 2 连结SM CM 则SM AB 又 SC AB AB 平面SCM 面ABC 面SCM过S作SH CM于H 则SH 平面ABC CH即为SC在面ABC内的射影 SCH为SC与平面ABC所成的角 sin SCH SH SC SC与平面ABC所成的角的正弦值为 7 7 垂线 是相对的 SC是面SAB的垂线 又是面ABC的斜线 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理 其思路是 先找出与已知平面垂直的平面 然后一面内找出或作出交线的垂线