肾炎诊断1.doc

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 重庆三峡学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 姜婷 2. 李显亮 3. 叶世萍 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2011 年 9 月 1 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：关于肾炎诊断问题的优化分析摘要本文研究的是如何根据就诊者体内各种元素的含量，判别就诊者是否患有肾炎，并找出影响人们患肾炎的主要因素，以便减少化验的指标，减少检查费用。由题目我们知道，在诊断肾炎的时候可以通过化验体内的一些化学元素量的多少来得到准确的判别结果。我们对1-60号病例进行统计分析处理，利用excelEXCEL回归的方法求解出各种情况下各个化学元素的权重值，然后将权重值与化学元素量进行相乘，计算出每个病例的化学元素总量的值。在各种情况下，将总和与前30号为健康和31-60为患者进行比较，以此确定出最优的权重赋予值。权重确定以后，用线性加权函数作为综合评价模型，对n个系统进行判别。并通过随机代入已确诊的病例来检验模型的准确性。由此问题一得到解决。根据问题一所建立的模型来分析表2 中没有确诊的人员的化验结果中的数据，将表2中的每个病例的元素含量代入所建立的模型中，依据以1000分界值来判断表2中这30个人员的健康情况（这里只有肾炎和健康的区别）。发现其中有16人患病，14人健康。对于问题三，我们由第一问中求出来的权重大小来判定哪些指标是影响人们患肾炎的主要因素，找到系数显著性最小的几种元素，它们分别为Cu、Na、K、Mg这四个元素。我们又用排列组合的方法进行筛选，分别计算此时代入前60组数据时的准确度，通过比较从而确定出主要影响元素。保留其主要影响因素，排除出非主因素的干扰，用同样的方法重新计算该模型各系数的数值。在保证较高准确率的前提下，最终达到了简化检测过程的目的。对比问题二、四的结果，我们发现两者的结果基本相同。这说明在所给的因素中，有一些元素在人体内所起的作用不大，可以忽略不计。如此，便可大大节约诊断所需的精力、人力和财力。1 摘要写作不错，表扬。如果能更简洁会更好。2 每段开始空两个汉字，有些地方没有做到3 有些数学符号上浮了。请剪切后，再粘贴，可以解决问题。4数学论文中请避免使用中文中的圆点句号！该用点号。5 如果在论文中用到软件名字，请大写，例如 MATLAB。6参考文献在文中并未出现！没有索引，何必用参考文献？7 请作者参看格式规范。并注意下列话语：论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中；二级、三级标题用小四号黑体字，左端对齐（不居中）。论文中其他汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距，你的标题是三号黑体吗？冯玉明 2011-9-3关键字：回归分析； 线性加权函数 ；主要因素；非主要因素.一、问题重述人们到医院就诊时，通常要化验一些指标来协助医生的诊断。诊断就诊人员是否患肾炎时通常要化验人体内各种元素含量。表B.1是确诊病例的化验结果，其中130号病例是已经确诊为健康病人的化验结果；3160号病例是已经确诊为肾炎人的结果。表B.2是61-90就诊人员的化验结果。本文我们就如何判断前来就诊人员是否患有肾炎，建立数学模型。1. 根据表B.1中的数据，提出一种或多种简便的判别方法，判别属于患者或健康人的方法，并检验你提出方法的正确性。2. 按照1提出的方法，判断表B.2中的30名就诊人员的化验结果进行判别，判定他（她）们是肾炎病人还是健康人。3. 能否根据表B.1的数据特征，确定哪些指标是影响人们患肾炎的关键或主要因素，以便减少化验的指标。4. 根据3的结果，重复2的工作。5. 对2和4的结果作进一步的分析。二、问题分析题目中给出了30组已确诊为健康的人员体内七种元素的含量，同时给出了30组已确诊为肾炎的人员体内七种元素的含量。这七种元素分别是Zn、Cu、Na、 Fe、Ca、Mg、K，问题一是要求我们提出一种或多种简便的判别方法，判别属于肾炎或非肾炎病人的方法，并且要求检验我们提出方法的正确性，根据表1确诊病人的化验结果中七种元素在人体内的含量的不同，把30组肾炎病人体内的元素含量与30组非肾炎病人体内的元素含量进行相比较，得出一些元素在体内含量太高或太低，或者是各种元素占总含量比例的变化趋势，是判断肾炎和非肾炎的依据。针对问题一，我们通过各元素的总量来判别是否患病，但每种元素对人体内所占比例的影响并不是一样的，所以我们要给它们赋上权重来进行判别。它们的权重值分别解出以后，对此建立线性加权函数（i,j =17），其中，为每个病例的某一元素的含量，为权系数。通过全样本计算后，我们确定以1000为分界值，小于1000的为患者，大于或等于1000的为健康者。以此我们得出其中有5个判别错误，这样，我们的判别准确率近似为91.7。针对问题二，根据问题一所建立的模型来分析表2 中没有确诊的人员的化验结果中的数据，将表2中的每个病例的元素含量代入所建立的模型中，依据以1000分界值来判断表2中这30个人员的健康情况（这里只有肾炎和健康的区别）。发现其中有16人患病，14人健康。针对问题三，这七种元素并不都是判别是否患有肾炎的重要元素，有些元素对判别是否是肾炎影响不大，为了减少化验指标，我们依据的权重的大小剔除Na、K、Cu等几种元素对模型的影响，发现对已给病例的判断准确率依旧达到91.7%，剔除Mg元素后准确率达到93.3%，所以我们认为Mg对该疾病的影响大，而Na、K、Cu并不是主要影响判肾炎疾病的原因，因此可简略了确诊肾炎的医学步骤。针对问题四，在问题三中，我们已经剔除了对肾炎诊断起次要作用的元素，选出主要影响因素。运用统计分析加权函数的方法，以加权函数值1000为界限判断30位就诊人员进行判别。针对问题五，用加权函数法对问题二和问题四中对30位就诊人员的判断结果进行比较，分析，观察剔除次要元素后对30位就诊人员是否患肾炎的判断是否发生变化。三、模型假设（1）假设问题所提供的60组数据是从大量的数据中随机抽取的,相互间没有任何必要的联系。（2）假设所有表中给出的数据完全正确，没有误诊并且在化验过程中没有出现任何误差。（3）病人的化验数据对于我们解决分析这一个问题数据是足够的，不存在因为数据不足而引起的分析有较大偏差的问题。（4）假设对于确诊是不是肾炎这一问题，题目中所给出的七种元素已经足够了，这七种以外的其他元素不会对肾炎的判别有影响。（5）假设题目中所给的样本只患肾炎或者是健康体，没有患其他的疾病。（6）假设7种元素对于判别是否是肾炎的影响之间是相互独立的。（7）假设人的体重是近似相等的,这样就不存在了元素的含量与体重的关系。四、符号说明：表示某一位病例的某一元素的含量：某一元素的权重系数y：一位病例所测试元素量的权和五、建立模型对于这个问题，我们首先从宏观角度对题目所给的七组数据的统计特征入手进行分析。从数据的规律和联系寻找突破口，建立模型，给出诊断判别的方法。对160号就诊者得七项化验指标的均值做出统计分布图如下：图10501001502002503001357911131517192123252729健康人和肾炎病人Zn元素对比图健康肾炎从图中可明显看出健康人体内Zn含量总体要稍高于患者体内的含量。图2观察发现，大多数健康人体内Cu含量与患者体内的Cu含量其实相差不多，但健康人中第21位体内的Cu元素含量明显超过了其他健康者，这是不太正常的。图3从图中看出，患者体内Na元素含量整体略低于健康人，均值相差不大。图4从图中发现，健康人与患者体内的Fe含量也相差不大，但第20位和第21位健康人体内的Fe元素含量又明显超过了其他肾炎患者与健康人，这也是不太正常的。图5从图中看出，人体内Ca元素含量明显高于其他元素，且患者体内的Ca元素明显超过了健康人体内的含量，可作为区分患者和健康人的重要依据，第21位健康人的Ca元素含量依旧居高不下。图6由图观察发现，健康着体内Mg元素含量高于患者。图7从图中看出，患者体内K元素含量与健康人相差不大，只有少数患者体内的K元素含量高于健康人的。但20号患者的K元素含量也超过了正常水平。综上，从所给样本数据看，健康人和患者体内7项元素化验指标有各自的明显特征。有些元素如Cu、K相差不大，有些元素如Ca、Mg含量差异则很明显。我们可以利用这些差异把健康人和患者看做两个母本，对待测患者进行判别分析。式子表示了其中一位病例的各种元素在乘以相应的权重系数的和，通过60位病例是否患病的情况，我们最优的选取了一个临界值1000，即大于或等于1000的为健康者，小于1000的为患者。我们将表2的数据依次代入到所建立的模型中，求解出y值，并与临界值1000进行比较，最终我们得到了14人为健康者(分别为61,62,63,65,67,69,70,71,73,74,76,77,80,81,)，16人为患者（分别为64,66,68,72,75,78,79,82,83,84,85,86,87,88,89,90）这个结论。对所有结果进行比较，得到最理想的权重顺序，每位元素权重大小由高到低依次为钙、锌、铁、镁、铜、钾、钠。剔除非主要因素Na、Cu、K后，判断60-90号就诊患者结果如下：616263646566676869700001011100717273747576777879800100100111818283848586878889901111111111其中64、66等16位患病，61、62等14位健康。与除去非主要因素前结果基本吻合。只考虑主要因素后，使判断患肾病与否更简洁、方便。达到了建模的效果。六、建立模型模型建立及求解考虑到题目中已经给出了60位病例，且各种化学元素之间没有很必然的联系，我们想到到了线性加权的方法。在数学软件的帮助下，求解出各种赋值情况下的y（不是数学符号）。根据各元素在人体内的含量得到各元素在人体内的权重，然后将不同权重依次赋予每个元素，根据公式利用Excel求60位病例体内微量元素的权函数和进行拟合，通过患病与健康的情况，我们选取最优的一个临界值1000，即大于或等于1000的为健康者，小于1000的为患者。并规定健康为0，患病为1。1-30号病例中，18,20,23,29号误判为患病，31-60号病例中，50号误判为健康，准确率达到91.67%（结果见附录二）。利用问题一的模型判断61-90号就诊人员，是否患病情况如下。616263646566676869700001011100717273747576777879800100100111818283848586878889901111111111其中有64、66号等16位患病，61、62号等14位健康。通过综合观察折线图如下并考虑元素对患病的权重，几种微量元素对肾炎患病影响有大有小，利用通过剔除的方法比较判断的准确率。首先剔除Na元素对患病的影响，对1-60号病例进行拟合，误判18,20，23,29号为患病，误判43号为健康，准确率依旧达到91.67%。误判的患者几乎相近，所以我们认为Na元素对肾炎患病的影响较小。再依次剔除Cu、K准确率也是91.67%，因此求得Na、Cu、K元素对判断患者的影响较小，Ca、Zn、Fe、Mg是影响患肾炎的主要因素。七、模型检验根据上述所建立的加权判别法我们应用软件对题目中给出的病历号160的就诊人员进行检验，检验结果整理如下表：病历号 实际结果 检验结果130 健康18、20、23、29误判为肾炎3160 肾炎 50误判为健康 我们利用上面的结果对30个健康人和30个肾炎病人进行检验，由表(1)中的检验结果可以看到在给出的60个病例号中，我们得出18,20,23.29和50号为判断错误，也就是说我们所建模型一对于该实际问题的检验准确度为：，既然我们所建立的模型有这么高的准确度，为什么这五个病例号还是会出现误判呢？因此下面我们对检验结果进行进一步的分析和对模型进行进一步的改进。从折线图1到图7中我们可以看出21号病例数据异常，可以剔除21号病例，模型改进后总共有59例病例，有五人判断错误，模型的精确度为：。八、模型的评价、改进和推广8.1 模型的优缺点（每段开始空2个汉字，没有做到！）优点：(1) 对于问题中建立的加权模型，准确度较高，都达到了91.7%，并且具有很好的实用性。(2) 问题一中运用模糊数学的原理，使计算相对简单。(3) 对于问题一中的加权判别法建立的模型，对不同指标加上合适的权重，提高对实际问题的判别精确度的一种方法，很具有创造性。(4) 判断出这些指标的主要因素后，准确度依然较高，这样可以减少诊断时检验的指标，降低了检验的费用。缺点：(1)模型虽然精度都相对较高，但都不是完全100%可靠，可能在某些时候诊断结果会发生偏差，所以需重新考虑别的检测方案。(2) 以上两种模型都只考虑了一种检测指标，在理论说服上都具有片面性。(3) 题目中所给出的数据采用的精确度较低，降低了模型的精确度与使用范围。8.2 模型的改进在整个问题的求解过程中，由于该问题探讨的是医院中病人诊断的实际问题，所以我们必需要尽可能的减少误判，但在此基础上如果能降低检查费用，简化判断过程那是最好不过了。8.3 模型的推广该模型还可以推广到其他领域中去。比如，应用病虫害的预报，疾病的预测预报，以及红细胞检测，辅助诊断等领域。九、参考文献1 薛毅 数学建模基础 北京工业出版社 20062 王桂松概率论与数理统计科学出版社 20053谭永基，数学模型，M 上海；复旦大学出版社 20084楼世博，模糊数学，M 北京；北京科学出版社 20075宋来忠，王志明，数学建模与数学实验，北京；科学出版社 20056陈光亭，数学建模，北京；高等教育出版社，2008十、附录病例号ZnCuNaFeCaMgK11792133035156022647.9216416.124038213515264.3324621.519593.2211235471.742112435117383642873.5518217.310924.8307324650.7620218.667.317.737852253171738.99257361624216103816422.254935.5221228115392172549428.223433731101022120.173915531723681501122324.447986360335397.71219165.46883553613921371315119.787464.220314031821417319.128717249729565.81523515.618823.4180616668.8161826.4936761.73870432143172096.4321986.9215728874181668.164962.812332521341924717.33738.65255424177.9201698289308106899.15321156135810322674710902282213322.88993116334011802315814.472.537102510144.6241671523727205626064.62516412.994.518.6299319736.32616713.113414.1227821246.3272031339490.8154416298.92816213.213319.8152116636.22917013.933029.8128522647.93021319.116836.2222024940ZnCuNaFeCaMgK3117828.816932.499211270.232903.278528.1762252.37703378.614.64649.742170.81333450.511.61396.360858.958.93511315.862747.362653.6168361755.8412624.980712355.63713.53.3618216.813532.651.63817912.221817.9113915045.23915413.872353.36211051604028.212.485253.137044.14544142.310.38889.762993.74394214620.7109223.812321281504318110.15424.0414371841014411716.15727.0498895.51364515910.739011.761219098.5461506.6363921627140179471628.2346527.162510862.4481869.2634737.1958233734918211.367211.37671112645013215.9137217.757892.413145115611.555232.5639107103521728.853187.8655175.798.45314714.5680306591021545420113.314126.655110149.4551719.292579.2930718745.55622616.221823.860615270.35715914.272639.789699.2239581939.864225.95411631285918515.742731.57011251846016615.851324.5700112179病例 Zn Cu Na Fe Ca Mg 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