高等数学B2课程大纲.doc

高等数学B课程教学大纲一、课程基本信息课程代码课程性质公共基础课课程名称高等数学课程类别必修课总 学 时160学时开课学期大一第一、二学期适用专业土木工程考核方式考试编写人员于海波制定日期2011.07.05审核人员审核日期修订人员修订日期审核人员审核日期二、教学目的高等数学B是理工类对数学要求相对较低的专业(如土木、城规专业)学生的一门必修的基础理论课，是后继专业课程的基础，学习此课程也是培养学生各种能力的必要途径。通过本课程的学习，使学生系统地获得微积分、空间解析几何以及常微分方程的基本知识、掌握常用的运算方法。培养学生用极限的方法、分析的方法、矢量的方法解决问题的能力。培养学生具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及综合分析、解决问题的能力。使学生会用数学的思维方式去分析现实社会，去解决学习、生活、工作中遇到的实际问题，从而进一步增进对数学的理解和兴趣。 三、教学内容（一）第一章 数学函数、极限与连续1、教学内容：(1)集合、常量与变量，一元函数的概念(单值、多值)，函数的属性(有界性、单调性、奇偶性、周期性)，反函数，基本初等函数的概念、性质及其图形，复合函数，初等函数； (2)数列极限； (3)函数极限； (4)无穷小与无穷大，无穷小与极限之间的关系，无穷小与无穷大之间的关系； (5)极限的运算法则； (6)极限存在准则，两个重要极限； (7)无穷小的比较； (8)函数的连续性，函数的间断点及其类型； (9)连续函数的运算定理，初等函数的连续性； (10)闭区间上连续函数的基本性质。2、教学目的与要求：（1）理解函数的概念，了解初等函数的基本性质：单调性、有界性、周期性、奇偶性；（2）了解复合函数、分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念；（3）熟练掌握基本初等函数的图形及性质；（4）理解极限的概念，逐步加深对极限过程的理解。（5）理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系；（6）掌握极限的运算法则，了解极限存在的两个准则，会运用两个重要极限求函数的极限；（8）了解无穷小的概念，熟练掌握无穷小的比较；（9）理解函数的连续性的概念，会判别函数间断点的类型；（10）了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）并会应用这些性质。 3、教学重点和难点：教学重点：极限的运算，无穷小的比较，函数的连续性，零点定理教学难点：极限的定义，求极限。（二）第二章导数与微分1、教学内容：(1)导数的概念、几何意义、物理意义，函数可导与连续的关系；(2)基本初等函数的导数，函数的和，差、积、商的导数，反函数的导数，复合函数的导数，初等函数的求导问题，分段函数的导数；(3)高阶导数；(4)隐函数的导数，参数方程所确定的函数导数；(5)微分的概念、几何意义及运算法则，微分形式不变性、微分在近似计算与误差估计中的应用。2、教学目的与要求：（1）理解导数和微分定义及导数的几何意义，会使用导数描述一些物理量；（2）会求平面曲线的切线方程与法线方程；（3）熟练掌握导数和微分的运算法则及导数的基本公式，了解高阶导数的概念，会熟练地求函数的一阶、二阶导数；（4）会求隐函数的导数，由参数方程所确定的函数的导数。3、教学重点和难点：教学重点：导数的定义与几何意义，复合函数的求导法则，微分的定义，导数与微分的关系教学难点：求复合函数、隐函数、由参数方程所确定的函数、幂指函数的导数。（三）第三章微分中值定理与导数应用1、教学内容：(1)微分中值定理(罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理)；(2)罗必塔法则： (3)函数单调性的判别、函数的凸凹性及拐点的判别：(4)函数的极值概念及求法，最大值与最小值及其应用；(5)函数图形的水平渐近线与铅直渐近线，函数作图；(6)弧微分、曲率和曲率半径及计算；2、教学基本要求：（1）理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理，了解并会用柯西中值定理；（2）掌握用洛必达法则求未定式极限的方法；（3）理解函数极值的概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法；（4）掌握函数最大值与最小值的求法及其应用；（5）会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形；（6）了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。3、教学重点和难点：教学重点：罗尔定理，拉格朗日中值定理，洛必达法则，函数单调性的判定，函数的极值及其求法，最大值最小值问题教学难点：拉格朗日中值定理，洛必达法则，泰勒公式，曲率（四）第四章不定积分1、教学内容：(1)原函数与不定积分的概念，积分基本公式，不定积分的基本性质；(2)换元积分法；(3)分部积分法：(4)有理函数的积分，三角函数有理式的积分，简单无理函数的积分；2、教学基本要求：（1）理解原函数的概念；（2）理解不定积分的概念与性质；（3）熟练掌握不定积分的基本公式及换元法、分部积分法；（4）掌握求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数积分的方法。3、教学重点和难点：教学重点：第一类换元法，第二类换元法，分部积分法教学难点：第一类换元法，分部积分法（五）第五章定积分1、教学内容：(1)定积分的概念，定积分的基本性质；(2)积分上限函数及其导数，牛顿一莱布尼兹公式；(3)定积分的换元积分及分部积分法；(4)无穷区间的反常积分，无界函数的反常积分。2、教学目的与要求：（1）理解定积分的定义及其性质；（2）掌握定积分中值定理；（3）熟悉牛顿-莱布尼兹公式；（4）熟练掌握定积分的换元及分部积分法；（5）掌握用定积分表达一些几何量的方法；3、教学重点和难点：教学重点：定积分定义，积分上限的函数及其导数，牛顿-莱布尼兹公式，定积分的换元法，定积分的分部积分法教学难点：定积分定义，积分上限的函数及其导数（六）第六章定积分的应用1、教学内容： (1)定积分的元素法；(2)定积分在几何学上的应用：平面图形的面积(直角坐标情形、极坐标情形)，体积(旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积)，平面曲线的弧长；(3)定积分在物理学上的应用：功、水压力、和引力。2、教学目的与要求：（1）掌握定积分的元素法；（2）会求平面图形的面积、旋转体体积、立体体积、平面曲线的弧长；（3）了解定积分在物理学中的应用。3、教学重点和难点：教学重点：定积分的元素法, 平面图形的面积,旋转体体积。教学难点：定积分的元素法，旋转体体积，水压力。（七）第七章微分方程1、教学内容(1)微分方程的基本概念；(2)可分离变量的微分方程；(3)齐次方程；(4)一阶线性微分方程、伯努力方程；(5)可降阶的高阶微分方程；(6)二阶线性微分方程举例、线性微分方程的解的结构；(7)二阶常系数齐次线性微分方程；(8)简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；(9)微分方程的简单应用。2、教学目的与要求：（1）理解微分方程基本概念，了解一阶线性方程的常数变易法；（2）掌握分离变量，会解齐次方程；（3）初步掌握用常数变易法求一阶非齐次线性微分方程；（4）掌握可降阶的高阶微分方程的解法；（5）掌握求二阶常系数齐次微分方程通解及特解的方法；（6）掌握求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的方法。3、教学重点和难点：教学重点：可分离变量的微分方程，一阶线性微分方程，常系数齐次线性微分方程的通解与特解，常系数非齐次线性微分方程的特解教学难点：常系数非齐次线性微分方程的特解（八）第八章空间解析几何与向量代数1、教学内容(1)向量的概念，向量的加减法，向量与数的乘积，空间直角坐标系，两点间距离公式，向量的分解与向量的坐标，两向量之间的关系(平行、垂直)，向量的坐标运算(加、减、数乘、数量积、向量积)，向量的模、方向角、投影； (2)两向量的数量积、两向量的向量积、混合积： (3)曲面方程的概念、旋转曲面、柱面、二次曲面； (4)空间曲线的一般方程、空间曲线的参数方程、空间曲线在坐标面上的投影； (5)平面的点法式方程、平面的一般式方程、两平面的夹角； (6)空间直线的一般方程、空间直线的对称式方程与参数方程、两直线的夹角、直线和平面的夹角。2、教学目的与要求：(1)理解向量的概念；(2)掌握向量的运算(线性运算、点乘法、叉乘法)。掌握两个向量夹角的求法与垂直、平行的条件；(3)了解单位向量、方向余弦及向量的坐标的表达式。熟练掌握用坐标表达式进行向量运算；(4)掌握平面的方程和直线的方程及其求法；(5)理解曲面方程的概念。掌握常用二次曲面的方程及其图形、掌握以坐标为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；(6)知道空间曲线的参数方程和一般方程。3、教学重点和难点：教学重点：向量的概念；向量的坐标；向量的数量积和矢量积；平面方程(点法式、一般式、截距式)；直线方程(参数式、对称式、一般式)，标准二次曲面方程；投影柱面。 教学难点：矢量积；投影柱面的概念；标准二次曲面的图形。（九） 多元函数的微分法及其应用1、教学内容(1)平面点集、n维空间、多元函数概念及其几何意义、多元函数极限、多元函数的连续性；(2)偏导数的定义及其计算法、高阶偏导数；(3)全微分的定义、全微分在近似计算中的应用；(4)多元复合函数的求导法则；(5)隐函数求导公式；(6)多元函数的极值及最大值和最小值、条件极值、拉格朗日乘数法。2、教学目的与要求：（1）了解二元函数几何意义；（2）了解多元函数偏导数和全微分的定义；（2）掌握求复合函数的偏导数与全微分的计算方法；（3）掌握求隐函数的偏导数的方法；（4）掌握求二元函数的极值的方法；(5)初步掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法。3、教学重点和难点：教学重点：多元函数的概念，偏导数的定义及其计算法，全微分的定义，多元复合函数的求导法则，隐函数的求导公式，多元函数的极值及求法教学难点：多元函数的极限，多元复合函数的求导法则，条件极值，拉格朗日乘数法（十）第十章重积分1、教学内容：(1)二重积分的概念、二重积分的性质；(2)利用直角坐标计算二重积分、利用极坐标计算二重积分；(4)利用重积分求曲面的面积、质心、转动惯量、引力。2、教学目的与要求：（1）理解二重积分的概念与性质；（2）掌握利用直角坐标计算二重积分。（3）掌握利用极坐标计算二重积分。3、教学重点和难点：教学重点：二重积分的概念，利用直角坐标计算二重积分，利用极坐标计算二重积分教学难点：利用直角坐标计算二重积分，利用极坐标计算二重积分（十一）第十一章 曲线积分与曲面积分1、教学内容：(1)对弧长的曲线积分的概念、对弧长的曲线积分的性质、对弧长的曲线积分的计算方法：(2)对坐标的曲线积分的概念、对坐标的曲线积分的性质、对坐标的曲线积分的计算方法、两类曲线积分的联系；(3)格林(Green)公式、平面上曲线积分与路径无关的条件；(4)对面积的的曲面积分的概念与性质、对面积的曲面积分的计算法；(5)对坐标的曲面积分的概念与性质、对坐标的曲面积分的计算法、两类曲面积分之间的关系；2、教学目的与要求：（1）理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两者的联系。（2）掌握两类曲线积分的计算方法，掌握格林公式及平面曲线积分与路径无关的条件。（3）了解两类曲面积分的概念、性质及两者之间的联系。（4）掌握两类曲面积分的计算方法。（5）会用重积分、曲线积分求一些几何量与物理量。3、教学重点和难点：教学重点：会计算两类曲线积分及两类曲面积分，掌握格林公式并会运用。教学难点：格林公式及高斯公式的应用。（十二）第十二章 无穷级数1、教学内容：(1)常数项级数的概念、收敛与发散、收敛级数的和的概念、收敛级数的基本性质；(2)正项级数及其审敛法、交错级数及其审敛法、绝对收敛和条件收敛；(3)函数项级数的概念、幂级数及其收敛性、幂级数的运算；(4)泰勒级数、函数展开成幂级数；(5)函数幂级数展开式的应用：近似计算、欧拉公式；(6)三角级数、三角函数系的正交性、函数展开成傅里叶级数、正弦级数和余弦级数；(7)周期为2的周期函数的傅里叶级数。2、教学目的与要求：（1）理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。（2）掌握几何级数和P-级数的收敛性。（3）了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。（4）了解交错级数的莱布尼兹定理。（5）理解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。（6）了解函数项级数的收敛及和函数的概念。（7）掌握较简单幂级数的收敛区间的求法。（8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。（9）了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。（10）会利用，的麦克劳林展开式将一些简单函数展开成幂级数。（11）了解幂级数在近似计算上的简单应用。（12）了解函数展开为傅立叶（Fourier）级数的充分条件，了解将函数展开为傅立叶级数和正弦或余弦级数的方法。 3、教学重点和难点：教学重点：无穷级数收敛与发散的概念；正项级数的比值审敛法；莱布尼兹审敛准则；绝对收敛与条件收敛的概念；幂级数的收敛半径与收敛区间；泰勒级数展开式；傅里叶级数。教学难点：数项级数的审敛法；泰勒级数；初等函数的幂级数展开；函数的傅里叶级数展开。（十三）课内实验环节及要求1、课内实验环节内容：数学实验一 数学实验与数学软件知识要点：数学实验，MATLAB操作入门。数学实验二函数的极限知识要点：极限的命令格式。数学实验三用MATLAB求函数的导数与微分知识要点：导数与微分的命令格式。数学实验四用MATLAB求不定积分与定积分知识要点：不定积分与定积分的命令格式。数学实验五 多元函数微积分学知识要点：多元函数微分、多元函数极值、空间曲面的绘制、重积分计算、曲线积分与曲面积分的命令格式。数学实验六 用MATLAB求微分方程与级数知识要点：微分方程与级数的命令格式。2、实验目的与要求：（1）了解数学实验的含义，初步掌握数学软件MATLAB的用法和基本功能；（2）掌握利用MATLAB求极限、导数与微分、多元函数的偏导数与全微分、多元函数偏导数的求解与应用、多元函数条件极值、绘制空间曲面图形、重积分、曲线与曲面积分、不定积分与定积分、求解微分方程、Taylor 级数展开的方法；（3）通过MATLAB实验理解掌握极限的定义、思想，了解掌握函数的的基本概念；（4）通过实验了解掌握多元函数的偏导数与全微分的理论；学会处理曲面的属性。熟练掌握重积分的基本计算方法和原理；了解掌握函数的不定积分与定积分的基