高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例教材解读素材 新人教A版选修11.doc_第1页
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3.4 生活中的优化问题举例教材解读一、函数的单调性与导数（1）设函在某个区间内可导，如果，那么函数在这个区间内单调递增；，那么函数在这个区间内单调递减（2）求可导函数单调区间的一般步骤和方法：确定函数的定义域；求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实根；把各实根按由小到大顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；确定在各个小区间内的符号，根据的符号判定函数在第个相应小开区间内的增减性注意事项： （1）导数与函数的单调性的关系（以下以增函数为例）能推出为增函数，但反之不一定如函数在上单调递增，但所以是为增函数的充分条件，但不是必要条件为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或，当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性所以是为增函数的必要条件，但不是充分条件为增函数的充要条件是对任意的都有且在内的任一非空子区间上（2）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定定义域，在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间不能把一个单调区间分成两个单调区间，例如：函数其单调区间为不应写成和也不能把本来不是一个单调区间的，合写成一个单调区间，例如函数，其单调区间只能是及，而不能写成因为0不在其定义域内，也不能滥用并集符号，如写成也是错误的二、函数的极值与导数（1）极值的概念已知函数，设是定义域内任一点，如果对附近的所有的点，都有，则称为函数的一个极大（小）值，称为极大（小）值点（2）求可导函数的极值的方法：解方程，当时：如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值注意事项：（1）概念的说明：极值点总是定义域中内部的点，不会是端点函数在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有函数的极大值与极小值，没有必然的大小关系，极小值不一定比极大值小（2）极值点与导数为0的点的关系可导函数在点取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同，很明显，是为极值点的必要条件，但不是充分条件（3）函数的导数不存在的点也可能是极值点如函数，在处，左侧，右侧，当时，是的极小值，但不存在三、函数的最大（小）值与导数设是定义在区间上的可导函数，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行第一步：求在内的极值第二步：将的各极值与比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值注：若函数在上单调增加，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调减小，则为函数的最大值，为函数的最小值四、运用导数解决生活中优化问题的三个步骤（1）理解题意，将实际问题抽象成数学模型，写出实际问题中变量之间的
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