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定积分的背景 面积和路程问题 北师大版高中数学选修2 2第四章 定积分 图中阴影部分类似于一个梯形 是由曲线段和直线段围成的 这样的平面图形称为曲边梯形 曲边梯形定义 我们把由直线x a x b a b y 0和曲线y f x 所围成的图形叫作曲边梯形 a b y f x 用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A 得 如何求曲边梯形的面积 用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A 得 如何求曲边梯形的面积 A A1 A2 A3 A4 用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A 得 如何求曲边梯形的面积 A A1 A2 An 将曲边梯形分成n个小曲边梯形 并用矩形的面积代替小曲边梯形的面积 于是曲边梯形的面积A近似为 以直代曲 无限逼近 如何求曲边梯形的面积 可以想象 区间拆分的越细 近似程度就越好 亦即 用化归为计算矩形面积和逼近思想来求曲边梯形的面积 可通过以下几个步骤具体实施 1 分割 2 近似代替 过剩和不足估计值 3 逼近 问题1图中阴影部分由抛物线 直线及x轴围成的平面图形 试估计这个曲边梯形的面积S 将区间 0 1 平均分成5份 如图所示 图 1 中 所有小矩形面积之和显然大于所求曲边梯形的面积 我们称为S的过剩估计值 则有 图 2 中 所有小矩形面积之和显然小于所求曲边梯形的面积 我们称为S的不足估计值 则有 我们可以用或近似表示S 但是都存在误差 二者之差为 但是无论是用还是来表示曲边梯形的面积 误差都不会超过0 2 如图 3 所示 不足估计值为 二者的差值为 此时 无论用还是来表示S 误差都不超过0 1 区间分的越细 误差越小 当所分隔的区间长度趋于0 过剩估计值和不足估计值都趋于曲边梯形面积 滑行时间等分的越细 误差越小 当所分隔的小时间段长度趋于0 则过剩估计值和不足估计值都趋于汽车滑行路程 概括 前面 我们通过 以直代曲 的逼近方法解决了求曲边梯形的面积的问题 它们的步骤 分割区间 过剩估计值不足估计值 逼近所求面积 所分区间长度 0 估计值 所求值 动手做一做 设S表示由直线x 1 y 0与曲线y 所围成的曲边梯形的面积 1 画出该平面图形 2 试估计该平面图形面积 曲边梯形的定义 分割区间 过剩估计值不足估计值 逼近所求面积 求曲边梯形面
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