寒假函数综合题答案2015.doc

1【解答】（1）直线经过点, 抛物线经过点， 抛物线的解析式为（2）点的横坐标为且在抛物线上 ，当时，以为顶点的四边形是平行四边形 当时，解得：即当或时，四边形是平行四边形 当时，解得：（舍去）即当时，四边形是平行四边形（3）如图，当点在上方且时，作,则 PMFCNF， 又 解得：，（舍去） 。同理可以求得：另外一点为2解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），B（0，3），C（1，0），抛物线的解析式为y=x22x+3；（2）A（3，0），B（0，3），OA=OB=3，AOB是等腰直角三角形，BAO=45，PFx轴，AEF=9045=45，又PDAB，PDE是等腰直角三角形，PD越大，PDE的周长越大，易得直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，联立，消掉y得，x2+3x+m3=0，当=3241（m3）=0，即m=时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，此时x=，y=+=，点P（，）时，PDE的周长最大；抛物线y=x22x+3的对称轴为直线x=1，（i）如图1，点M在对称轴上时，过点P作PQ对称轴于Q， 在正方形APMN中，AP=PM，APM=90，APF+FPM=90，QPM+FPM=90，APF=QPM，APFMPQ（AAS），PF=PQ，设点P的横坐标为n（n0），则PQ=1n，即PF=1n，点P的坐标为（n，1n），点P在抛物线y=x22x+3上，n22n+3=1n，整理得，n2+n4=0，解得n1=（舍去），n2=，1n=1=，所以，点P的坐标为（，）；（ii）如图2，点N在对称轴上时，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，PAF+FPA=90，PAF+QAN=90，FPA=QAN，又PFA=AQN=90，PA=AN，APFNAQ，PF=AQ，设点P坐标为P（x，x22x+3），则有x22x+3=1（3）=2，解得x=1（不合题意，舍去）或x=1，此时点P坐标为（1，2）综上所述，当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（，），当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（1，2）3解：（1）把x=1，y=0代入y=x22x+c得：1+2+c=0c=3y=x22x3=y=（x1）24顶点坐标为（1，4）；（2）如图1，连接CD、CB，过点D作DFy轴于点F，由x22x3=0得x=1或x=3B（3，0）当x=0时，y=x22x3=3C（0，3）OB=OC=3BOC=90，OCB=45，BC=3又DF=CF=1，CFD=90，FCD=45，CD=，BCD=180OCBFCD=90BCD=COA又DCBAOC，CBD=OCA又ACB=CBD+E=OCA+OCB E=OCB=45，（3）如图2，设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DGx轴于G点PMA=45，EMH=45，MHE=90，PHB=90，DBG+OPN=90又ONP+OPN=90，DBG=ONP又DGB=PON=90，DGB=PON=90，DGBPON即：=ON=2，N（0，2）设直线PQ的解析式为y=kx+b则解得：y=x2设Q（m，n）且n0，n=m2又Q（m，n）在y=x22x3上，n=m22m3m2=m22m3解得：m=2或m= n=3或n=点Q的坐标为（2，3）或（，）4【答案】解：（1）把代入得，点，为对称轴，.（2）如图1，过点作轴，交轴于点，过点作，交于点，四边形为矩形，四边形为正方形，为等腰直角三角形，设直线的函数解析式为，直线上两点的坐标为，代入求得，直线的函数解析式为.点5解：（1）过点A作AHOB于H，sinAOB=，OA=10，AH=8，OH=6，A点坐标为（6，8），根据题意得：k=48，反比例函数解析式：y=（x0）；（2）设OA=a（a0），过点F作FMx轴于M，sinAOB=SAOH=a2，SAOF=12，S平行四边形AOBC=24，F为BC的中点，SOBF=6，BF=a，FBM=AOB，FM=a，BM=a，SBMF=BMFM=aa=a2，SFOM=SOBF+SBMF=6+a2，点A，F都在y=的图象上，SAOH=k，a2=6+a2，a=，OA=，AH=，OH=2，S平行四边形AOBC=OBAH=24，OB=AC=3， C（5，）；（3）存在三种情况：当APO=90时，在OA的两侧各有一点P，分别为：P1（， ），P2（， ），当PAO=90时，P3（， ）当POA=90时，P4（， ）6解：（1）设抛物线C1的顶点式形式y=a（x1）2，（a0），抛物线过点（0，），a（01）2=，解得a=，抛物线C1的解析式为y=（x1）2，一般形式为y=x2x+；（2）解：当m=2时，m2=4，BCx轴，点B、C的纵坐标为4，（x1）2=4，解得x1=5，x2=3，点B（3，4），C（5，4），点A、C关于y轴对称，点A的坐标为（5，4），设抛物线C2的解析式为y=（x1）2h，则（51）2h=4，解得h=5；（3）证明：直线AB与x轴的距离是m2，点B、C的纵坐标为m2，（x1）2=m2，解得x1=1+2m，x2=12m，点C的坐标为（1+2m，m2），又抛物线C1的对称轴为直线x=1，CE=1+2m1=2m，点A、C关于y轴对称，点A的坐标为（12m，m2），AE=ED=1（12m）=2+2m，设抛物线C2的解析式为y=（x1）2h，则（12m1）2h=m2，解得h=2m+1，EF=h+m2=m2+2m+1，tanEDFtanECP=，tanEDFtanECP=7解（1）由题意可知A（0，2），又因为抛物线经过点A，所以有，解得，所以抛物线解析式为，从而得出点B的坐标为（1，1）；因为点D是抛物线（h1）的顶点，所以点D的坐标为（h，2h），将（h，2h）代入中，左右两边相等，所以点D在直线l上（2）交点C的纵坐标可以表示为：或由题意知：= ，整理得：，解得，或，h1过点C作CMy轴，垂足为点M，过点D作DEy轴，垂足为点E，过点C作CNDE，垂足为点N，则四边形CMEN是矩形，MCN=90，又ACD=90MCA=DCNACMDCN由题意可知CM=m，AM=，CN=，DN=从而有，由得，解得，又点C在第一象限内，8解：B（b，0），C（0，b4）；假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形. 设点P坐标（x，y），连接OP， 则S四边形PCOB=SPCO+SPOB=12b4x+12by=2b，x+4y=16. 过P作PDx轴，PEy轴，垂足分别为D、E， PEO=EOD=ODP=90. 四边形PEOD是矩形. EPD=90.PBC是等腰直角三角形，PC=PB，BPC=90.EPC=BPD.PECPDB. PE=PD，即x=y.由x=yx+4y=16 ，解得：x=165y=165 . 由PECPDB得EC=DB，即165-b4=b-165 ，解得b=128252符合题意.点P坐标为（165，165）.假设存在这样的点Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意两个三角形均相似. QAB=AOQ+AQO，QABAOQ，QABAQO.要使得QOA和QAB相似，只能OAQ=QAB=90，即QAx轴.b2，ABOA. QOAQBA，QOA=AQB，此时OQB =90.由QAx轴知QAy轴，COQ=OQA.要使得QOA和OQC相似，只能OCQ=90或OQC=90.（）当OCQ=90时，QOAOQC. AQ=CO=b4 . 由AQ=AQ2=OAAB得：b42=b-1，解得：b=843.b2，b=8+43， 点Q坐标为（1，2+3）.（）当OQC=90时，QOAOCQ. OQCO=AQQO，即OQ2=AQCO.又OQ2=OAOB. AQCO=OAOB，即b4AQ=1b.解得：AQ=4，b=172符合. 点Q坐标为（1，4）.综上可知：存在点Q（1，2+3）或（1，4），使得QCO、QOA和QAB中的任意两个三角形均相似.9解：（1）二次函数的图象与轴交于点A（2,0）,B（3,0）两点， ，解得。 。 （2）证明：由（1）得二次函数解析式为。在正比例函数的图象上取一点F，作FHx轴于点H，则 。 连接AC交 的图象于点E，作CK x轴于点K， 点A关于的图象的对称点为C， OE垂直平分AC。 ，OA=2， 。 在RtACK中，。点C 的坐标为。将C 代入，左边=右边，点C在所求的二次函数的图象上。 （3）DBx轴交的图象于点D，B（3,0）， 把x=3代入得，即BD=。 在RtACK中， OE垂直平分AC， ，。 假设存在某一时刻，使PE平分APQ，同时QE平分PQC， 则。 ， 。 又，。 又，PAEECQ。，即。 整理，得，解得（不合题意，舍去）。 存在时刻，使PE平分APQ，同时QE平分PQC。10解：（1）D（8，0），B点的横坐标为8，代入中，得y=2B点坐标为（8，2）而A、B两点关于原点对称，A（8，2）从而（2）N（0，n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，B（2m，），C（2m，n），E（m，n） S矩形DCNO，SDBO=，SOEN =， S四边形OBCE= S矩形DCNOSDBO SOEN=k由直线及双曲线，得A（4，1），B（4，1），C（4，2），M（2，2）设直线CM的解析式是，由C、M两点在这条直线上， 解得直线CM的解析式是（3）如图，分别作AA1x轴，MM1x轴，垂足分别为A1、M1设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为a于是（第10题）yOAxBMQA1PM1同理，11解：（1）C（0，1），OD=OC，D点坐标为（1，0）设直线CD的解析式为y=kx+b（k0），将C（0，1），D（1，0）代入得：，解得：b=1，k=1，直线CD的解析式为：y=x+1（2）设抛物线的解析式为y=a（x2）2+3，将C（0，1）代入得：1=a（2）2+3，解得a=y=（x2）2+3=x2+2x+1（3）证明：由题意可知，ECD=45，OC=OD，且OCOD，OCD为等腰直角三角形，ODC=45，ECD=ODC，CEx轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称，点E的坐标为（4，1）如答图所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点F，则F（2，1），ME=CM=QM=2，QME与QMC均为等腰直角三角形，QEC=QCE=45又OCD为等腰直角三角形，ODC=OCD=45，QEC=QCE=ODC=OCD=45，CEQCDO（4）存在如答图所示，作点C关于直线QE的对称点C，作点C关于x轴的对称点C，连接CC，交OD于点F，交QE于点P，则PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF的周长等于线段CC的长度（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F，在线段QE上取异于点P的任一点P，连接FC，FP，PC由轴对称的性质可知，PCF的周长=FC+FP+PC；而FC+FP+PC是点C，C之间的折线段，由两点之间线段最短可知：FC+FP+PCCC，即PCF的周长大于PCE的周长）如答图所示，连接CE，C，C关于直线QE对称，QCE为等腰直角三角形，QCE为等腰直角三角形，CEC为等腰直角三角形，点C的坐标为（4，5）；C，C关于x轴对称，点C的坐标为（1，0）过点C作CNy轴于点N，则NC=4，NC=4+1+1=6，在RtCNC中，由勾股定理得：CC=综上所述，在P点和F点移动过程中，PCF的周长存在最小值，最小值为12解：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得y=2xOA=（2）是一个定值，理由如下：如答图1，过点Q作QGy轴于点G，QHx轴于点H当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，此时；当QH与QM不重合时，QNQM，QGQH，不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，MQH=GQN，又QHM=QGN=90QHMQGN，当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得 （3）如答图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FCOA于点C，过点A作ARx轴于点R，AOD=BAE，AF=OF，OC=AC=OA= ARO=FCO=90，AOR=FOC，AORFOC，OF=，点F（，0），设点B（x，），过点B作BKAR于点K，则AKBARF，即，解得x1=6，x2=3（舍去），点B（6，2），BK=63=3，AK=62=4，AB=5 （3）在ABE与OED中BAE=BED，ABE+AEB=DEO+AEB，ABE=DEO，BAE=EOD，ABEOED设OE=x，则AE=x （），由ABEOED得，（）顶点为（，）如答图3，当时，OE=x=，此时E点有1个；当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个当时，E点只有1个，当时，E点有2个13解：（1）当x=2时，y=（2）k+2k+4=4直线AB：y=kx+2k+4必经过定点（2，4）点C的坐标为（2，4）（2）k=，直线的解析式为y=x+3联立，解得：或点A的坐标为（3，），点B的坐标为（2，2）过点P作PQy轴，交AB于点Q，过点A作AMPQ，垂足为M，过点B作BNPQ，垂足为N，如图1所示设点P的横坐标为a，则点Q的横坐标为ayP=a2，yQ=a+3点P在直线AB下方，PQ=yQyP=a+3a2AM+NB=a（3）+2a=5SAPB=SAPQ+SBPQ=PQAM+PQBN=PQ（AM+BN）=（a+3a2）5=5整理得：a2+a2=0解得：a1=2，a2=1当a=2时，yP=（2）2=2此时点P的坐标为（2，2）当a=1时，yP=12=此时点P的坐标为（1，）符合要求的点P的坐标为（2，2）或（1，）（3）过点D作x轴的平行线EF，作AEEF，垂足为E，作BFEF，垂足为F，如图2AEEF，BFEF，AED=BFD=90ADB=90，ADE=90BDF=DBFAED=BFD，ADE=DBF，AEDDFB设点A、B、D的横坐标分别为m、n、t，则点A、B、D的纵坐标分别为m2、n2、t2AE=yAyE=m2t2BF=yByF=n2t2ED=xDxE=tm，DF=xFxD=nt，=化简得：mn+（m+n）t+t2+4=0点A、B是直线AB：y=kx+2k+4与抛物线y=x2交点，m、n是方程kx+2k+4=x2即x22kx4k8=0两根m+n=2k，mn=4k84k8+2kt+t2+4=0，即t2+2kt4k4=0即（t2）（t+2k+2）=0t1=2，t2=2k2（舍）定点D的坐标为（2，2）过点D作x轴的平行线DG，过点C作CGDG，垂足为G，如图3所示点C（2，4），点D（2，2），CG=42=2，DG=2（2）=4CGDG，DC=2过点D作DHAB，垂足为H，如图3所示，DHDCDH2当DH与DC重合即DCAB时，点D到直线AB的距离最大，最大值为2点D到直线AB的最大距离为214解：（1）SPAB=SPAO=xy=6=3；（2）如图1，四边形BQNC是菱形，BQ=BC=NQ，BQC=NQC，ABBQ，C是AQ的中点，BC=CQ=AQ，BQC=60，BAQ=30，在ABQ和ANQ中，ABQANQ，BAQ=NAQ30，BAO=30，S四边形BQNC=2，BQ=2，AB=BQ=2，OA=AB=3，又P点在反比例函数y=的图象上，P点坐标为（3，2）；（3）OB=1，OA=3，AB=，AOBDBA，=，BD=3，如图2，当点Q在线段BD上，ABBD，C为AQ的中点，BC=AQ，四边形BNQC是平行四边形，QN=BC，CN=BQ，CNBD，=，BQ=CN=BD=，AQ=2，C四边形BQNC=2+2；如图3，当点Q在线段BD的延长线上，ABBD，C为AQ的中点，BC=CQ=AQ，平行四边形BNQC是菱形，BN=CQ，BNCQ，=，BQ=3BD=9，AQ=2，C四边形BNQC=2AQ=415解：（1）y=x+4与x轴交于点A，A（4，0），点B的横坐标为1，且直线y=x+4经过点B，B（1，3），抛物线y=ax2+bx