2．相似三角形的性质

一、基础达标1.在ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：ACPB；APCACB；AC2APAB；ABCPAPCB.其中，能判定APC与ACB相似的条件是()A. B.C. D.解析如图，AA，ACPB，APCACB时，都满足三角形相似的条件；当AC2APAB时，即，也满足相似条件；中两个对应边的夹角不是A，故不相似.答案D2.如图所示，ABCAEDAFG，DE是ABC的中位线，ABC与AFG的相似比是32，则AED与AFG的相似比是()A.34 B.43C.89 D.98解析因为ABC与AFG的相似比是32，故ABAF32，又ABC与AED的相似比是21，即ABAE21，故AED与AFG的相似比kAEAF.故选A.答案A3.在ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，且DEBC，ADE的面积是2 cm2，梯形DBCE的面积为6 cm2，则DEBC的值为()A.1 B.12C.13 D.14解析如图，DEBC，ADEABC，SADESABC2(62)14，DEBC12.答案B4.(2016黄冈调考)如图，在ABCD中，AEEB12，AEF的面积为6，则ADF的面积为_.解析AEDC，AEEB12，AEFCDF，且相似比，又AEF的边EF上的高与ADF的边DF上的高相等，.又SAEF6，SADF18.答案185.如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABAD，对角线BDDC，AD3，BC7，则BD2_.解析ADCBCD180，BDC90，ADBBCD90.而ADBABD90，ABDBCD.又BADBDC90，RtABDRtDCB.BD2ADBC3721.答案216.如图所示，在ABCD中E，F分别在AD与CB的延长线上，请写出图中所有的相似三角形.解ABCD，EDHEAG，CHMAGM，FBGFCH.又ADBC，AEMCFM，EDHFCH，AEGBFG，ABCCDA.图中的相似三角形有AEMCFM，AGMCHM，EDHEAGFBGFCH，ABCCDA.二、能力提升7.在ABC中，AB9，AC12，BC18，点D为AC上一点，DCAC，在AB上取一点E，得到ADE，若ADE与ABC相似，则DE的长为()A.6 B.8C.6或8 D.14解析当ADEACB时，则，DE6，当ADEABC时，则，DE8.答案C8.如图，BDAE，C90，AB4，BC2，AD3.则DE_，CE_.解析在RtACE和RtADB中，A是公共角，ACEADB，.AE8.则DEAEAD835.在RtACE中，CE2.答案529.如图所示，BD，AEBC，ACD90，且AB6，AC4，AD12，则BE_.解析BD，AEBACD90，AEBACD，从而得，解得AE2，故BE4.答案410.如图，已知在正方形ABCD中，P是BC上的点，有BP3PC，Q是CD的中点.求证：ADQQCP.证明在正方形ABCD中，Q是CD的中点，2.3，4.又BC2DQ，2.在ADQ和QCP中，2，CD90，ADQQCP.11.如图所示，ABC为正三角形，D，E分别是AC，BC边上的点(不在顶点)，BDE60.(1)求证：DECBDA；(2)若正三角形ABC的边长为6，当D点在什么位置时，可使BE最短，此时BE长是多少？(1)证明BDE60，BDCBDECDE60CDE.又BDC是ABD的一个外角，且A60，BDCAABD60ABD，CDEABD.又AC60，DECBDA.(2)解设DCx，BEy，则EC6y，AD6x.由(1)可得，整理得，即yx2x6(0x6)，配方得y(x3)2.0xAE).(1)AEF与ECF是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.(2)设k，是否存在这样的k值，使得AEF与BCF相似，若存在，证明你的结论，并求出k的值；若不存在，请说明理由.解(1)相似.在矩形ABCD中，AD90.EFEC，A，D，E共线，AEFDEC90.又DECDCE90，AEFDCE.AEFDCE.AEDE，.又AFEC90，AEFECF.(2)存在.由于AEF90AFE180CFEAFEBFC，只能是AEFBCF.AEFBCF.由(1)知AEFDCEEC