高数数列的极限ppt.ppt

第一章 二 收敛数列的性质 一 数列极限的定义 第二节 机动目录上页下页返回结束 数列的极限 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 播放 刘徽 一 概念的引入 正六边形的面积 正十二边形的面积 正形的面积 极限方法是微积分的基本方法 典型问题2 面积问题 2500年前的古希腊 阿基米德 例1求抛物线y x2 直线x 1和x轴所围成的曲边梯形的面积 3 取Sn的极限 得曲边梯形面积 2 以n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积的近似值 xi 二 数列的定义 例如 注意 1 数列对应着数轴上一个点列 可看作一动点在数轴上依次取 2 数列是整标函数 播放 三 数列的极限 问题 当无限增大时 是否无限接近于某一确定的数值 如果是 如何确定 问题 无限接近 意味着什么 如何用数学语言刻划它 通过上面演示实验的观察 无限接近 的等价含义 想要xn与1有多接近 就能有多接近 想要 xn 1 10 想要 xn 1 10 4 想要 xn 1 10 k 想要 xn 1 如果数列没有极限 就说数列是发散的 注意 几何解释 数列极限的定义未给出求极限的方法 例1 证 所以 注意 例2 证 所以 说明 常数列的极限等于同一常数 小结 用定义证数列极限存在时 关键是任意给定寻找N 但不必要求最小的N 例3已知 例4 证 例5 用数列极限的定义证明 证 欲使 即 只要 因此 取 则当 时 就有 故 机动目录上页下页返回结束 例6 设 证明 证 机动目录上页下页返回结束 令 则 先考察不等式 因此 只要取 则当 时 就有 故 例7 证明 证 机动目录上页下页返回结束 当 由 因此 只要取 则当 时 就有 故 证 用反证法 及 且 取 因 故存在N1 从而 同理 因 故存在N2 使当n N2时 有 使当n N1时 假设 从而 矛盾 因此收敛数列的极限必唯一 则当n N时 故假设不真 满足的不等式 1 唯一性 定理2每个收敛的数列只有一个极限 四 数列极限的性质 2 有界性 例如 有界 无界 定理2收敛的数列必定有界 说明 由数列收敛的几何意义知落在 a 1 a 1 之外的只有有限项 设此有限项为 令 注意 有界性是数列收敛的必要条件 推论无界数列必定发散 证 设 取 则 当 时 从而有 取 则有 由此证明收敛数列必有界 说明 此性质反过来不一定成立 例如 虽有界但不收敛 有 数列 定理2 收敛数列的有界性 那么它一定有界 例4 证 由定义 区间长度为1 不可能同时位于长度为1的区间内 3 收敛数列的保号性 若 且 时 有 证 对a 0 取 推论 若数列从某项起 用反证法证明 机动目录上页下页返回结束 定理3 4 子数列的收敛性 注意 例如 定理4 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 证 设数列 是数列 的任一子数列 若 则 当 时 有 现取正整数K 使 于是当 时 有 从而有 由此证明 机动目录上页下页返回结束 由此性质可知 若数列有两个子数列收敛于不同的极 限 例如 发散 则原数列一定发散 说明 此例也说明 一个发散的数列也可能有收敛的子数列 五 小结 数列 研究其变化规律 数列极限 极限思想 精确定义 几何意义 收敛数列的性质 唯一性 有界性 保号性 子数列的收敛性 思考与练习 1 如何判断极限不存在 方法1 找一个趋于 的子数列 方法2 找两个收敛于不同极限的子数列 2 已知 求 时 下述作法是否正确 说明理由 设 由递推式两边取极限得 不对 此处 机动目录上页下页返回结束 作业 P311 3 4 6 第三节目录上页下页返回结束 故极限存在 备用题 1 设 且 求 解 设 则由递推公式有 数列单调递减有下界 故 利用极限存在准则 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 2 设 证 显然 证明下述数列有极限 即 单调增 又 存在 拆项相消 法 刘徽 约225 295年 我国古代魏末晋初的杰出数学家 他撰写的 重 差 对 九章算术 中的方法和公式作了全面的评 注 指出并纠正了其中的错误 在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献 他的 割圆术 求圆周率 割之弥细 所失弥小 割之又割 以至于不可割 则与圆合体而无所失矣 它包含了 用已知逼近未知 用近似逼近精确 的重要 极限思想 的方法 柯西 1789 1857 法国数学家 他对数学的贡献主要集中 在微积分学 柯 西全集 共有27卷 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的 分析教程 无穷小分析概