第09章_曲线积分与曲面积分习题详解.doc

第九章 曲线积分与曲面积分习题详解第九章 曲线积分与曲面积分习题 9-11 计算下列对弧长的曲线积分：（1） I =Lxds ，其中 L 是圆 x 2 + y 2 = 1中 A(0,1) 到 B(1 1, 2 2) 之间的一段劣弧；解: L = AB 的参数方程为：y x = cos , y = sin ( 4 2) ，于是A2 42 412) oBCx（2）L( x + y + 1)ds ，其中 L 是顶点为 O(0, 0), A(1, 0) 及 B(0,1) 所成三角形的边界；解: L 是分段光滑的闭曲线，如图 92 所示，根据积分的可加性，则有yB(0,1)L(x + y + 1)dsoA(1,0) x= OA ( x + y + 1)ds +AB (x + y + 1)ds +BO ( x + y + 1)ds ，由于 OA : y = 0 ， 0 x 1，于是ds = (dx 2 dy 2 2 2dx dx故OA1( x + y + 1)ds = 0 ( x + 0 + 1)dx =32，而 AB : y = 1 x , 0 x 1，于是故ds = (dx 2 dydx dxAB10同理可知 BO : x = 0 （ 0 y 1）， ds = (dx 2 dydy dyBO1( x + y + 1)ds = 0 0 + y + 1dy =32综上所述L(x y + 1)ds =3 32 21=cosd=(1+)+()dx=1+0dx=dx，)+()2dx=12+(1)2dx=2dx(x+y+1)ds=x+(1x)+12dx=22，)+()2dy=02+12dy=dy，则+22+=3+22第九章 曲线积分与曲面积分习题详解（3）L2解直接化为定积分 L1 的参数方程为yL1x =1 1 12 2 2o1x且L于是ds = x( )2 + y( )2 d =12d L20cos 12 2（4）L2D(1, 2,3) ；解如图所示，zL2AB2BC2CD2B(0, 0, 2)C(1, 0, 2)D(1, 2,3)线段 AB 的参数方程为 x = 0, y = 0, z = 2t(0 t 1) ，则ds = (dx 2 dy dzdt dt dtxA(0,0, 0)y= 02 + 02 + 22 dt = 2dt ，故ABx 2 yzds =100 0 2t 2dt = 0 线段 BC 的参数方程为 x = t, y = 0, z = 2(0 t 1) ，则ds = 12 + 02 + 02 dt = dt,故BC10线段 CD 的参数方程为 x = 1, y = 2t, z = 2 + t(0 t 1) ，则ds = 02 + 22 + 12 dt = 5dt ，故2+cos,y=sin（02）,2d=2)+()2+()22第九章 曲线积分与曲面积分习题详解CD1 11 2t (2 + t ) 5dt = 2 50 0835，所以L2AB2BC2CD2835 （5）L2解先将曲线 L 用参数方程表示，由于 L 是球面zx2 + y 2 + z 2 = 1 与经过球心的平面 x + y + z = 0 的交线，如图 所 示 ，因此是空间一个半径为1的圆周，它在 xOy 平面上的投影为椭圆，其方程可以从两个曲面方程中消去 z 而得到，即以 z = ( x + y) 代入xoyx2 + y 2 + z 2 = 1 有 x2 + xy + y 2 =12，将其化为参数方程，令3 1x =2 2cos t ，即 x =23cos t ，x2+ y =12sin t ，即有y =1 1sin t 2 6cos t ，代入 x2 + y 2 + z 2 = 1 （或 x + y + z = 0 中）得 z =12sin t 16cos t ，从而 L 的参数方程为x =23cos t ， y =1 1sin t 2 6cos t ， z = 1 1sin t 2 6cos t (0 t 2 ) 则ds = x(t)2 + y(t)2 + z(t)2 dt=23sin 2 t + (cos t sin t 2 sin t cos t 22 6 6 2+ ) + ( ) dt = dt ,所以L202 2 2 2 23 32 设一段曲线 y = ln x (0 a x b) 上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量解L2L : y = ln x (0 a x b) 则 L 的参数方程为 x = x y = ln x(0 0）；121=b2(1+sint)dt=b2。2（3）双纽线(x+y)=a(xy)，（b0）。第九章 曲线积分与曲面积分习题详解由格林公式，得L( y x)dx + (3x + y)dy = (3 1)dxdyD= 2 dxdy = 18 。D(2)L3段，方向是顺时针方向。解令 P(x, y) = y ， Q( x, y) = 3 sin y x ，则QxPyx 由 1 变化到-1，故有Lydx + ( 3 sin y x)dyyB(2,1)=ABCA3 3CAA(1,0)oC (1,0)x1(2)dxdy 0 dx = 21D D其中 D 为 ABCA 所围成的闭区域(3)L (exsin y my)dx + (e x cos y m)dy ， 其 中 m 为 常 数 ， L 为 圆x 2 + y 2 = 2ax 上从点 A(2a, 0) 到点 O(0, 0) 的有向上半圆。解 如右图所示，设从点 O 到点 A 的有向直线段的方程为OA : y = 0 ， x 从 0 变到 2a 。则 OA 与曲线 L 构成一闭曲线，设它所围成闭区域为 D ，令yP = e x sin y my ， Q = e x cos y m ，QP= e x cos y m ，-1= e x cos y ，xy0(0,0)oA(2a,0)x由格林公式，得L+OA(e x sin y my)dx + (e x cos y m)dy = mdxdyD而= m dxdy =D12m a 2 。OA82a0=11=2，且线段CA:y=0，=dxdy=2(exsinymy)dx+(excosym)dy=(exsin0m0)+(excos0m)0dx第九章 曲线积分与曲面积分习题详解= 0 ，故L (exsin y my)dx + (e x cos y m)dy =L+OA(e x sin y my)dx + (e x cos y m)dyOA (e x sin y my)dx + (e x cos y m)dy=1212(4)Lxdy ydxx 2 + y 22 2解令 P(x, y) =2 y， Q( x, y) =2x， 则 当 (x, y) (0,0) 时 ，PyQ y 2 x2= =x ( x2 + y 2 )2，但积分曲线 L 所围区域包含点 (0,0) ， P(x, y), Q(x, y) 在该点不具有连续的偏导数，因此不能直接应用格林公式计算，需要将y奇点 (0,0) 去掉，为此作半径足够小的圆 C : x2 + y 2 = 2 ，使ocxC 位于 L 的内部，如图右所示 C 的参数方程为x = cos ， y = sin ， 0, 2 ，C 取逆时针方向于是Lxdy ydxx2 + y 2=L +C xdy ydxx2 + y 2C xdy ydxx2 + y 2，其中 C 表示 C 的负方向由格林公式则有xdy ydx其中 D 为 L 与 C 所围成的闭区域故xdy ydx xdy ydx L x2 + y 2 = C x2 + y 2 =Cxdy ydxx2 + y 220= 02 cos d ( sin ) sin d ( cos ) 2 cos2 + 2 sin 2 (5)Lunds ，其中 u( x, y) = x 2 + y 2 ， L 为圆周 x 2 + y 2 = 6 x 取逆时针方向，un是 u 沿 L 的外法线方向导数。解 由于un=uxcos(n, x) +uycos(n, y) = 2x cos 2 y cos ，其中 , 是在曲线 L 上点( x, y) 处的切线的方向角，故 Lunds =(2x cos 2 y cos )ds 根据两类曲线积分之间的9，其中L为椭圆4x+y=1，取逆时针方向；L+Cx2+y2=D0dxdy=0，=d=2第九章 曲线积分与曲面积分习题详解联系及格林公式，有u L nds =L(2 y cos + 2x cos )ds =L(2 y)dx + 2xdy = 4dxdy D因为 L 为圆周 x2 + y 2 = 6x ，所以 L 所围成的圆的面积 = 9 ，因此u3 证明下列曲线积分在整个 xOy 面内与路径无关，并计算积分值:(1)(0,0)(2,1)(2x + y)dx + ( x 2 y)dy ；解 令 P = 2x + y ， Q = x 2 y ，则Py= 1 =Qx在整个yB(2,1)xOy 面 内 恒 成 立 ， 因 此 ， 曲 线 积 分(0,0)(2,1)(2x + y)dx + ( x 2 y)dy 在整个 xOy 面内与路径无关。为OA(2, 0)x了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有(0,0)(2,1)(2x + y)dx + ( x 2 y)dy(2 x + y)dx + ( x 2 y)dy +OA AB2 1= 0 (2x + 0) + ( x 2 0) 0dx +0 (2 2 + y) 0 + (2 2 y)dy= 4 + 1 = 5 。(2)(0,0)( x, y )(2 x cos y y 2 sin x)dx + (2 y cos x x2 sin y)dy ；2 2y则Py= 2( y sin x + x sin y) =Qx在整个 xOy 面内恒成立，因B( x, y)此，(0,0)( x, y )(2 x cos y y 2 sin x)dx + (2 y cos x x2 sin y)dy 在整OA( x, 0)x个 xOy 面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有(0,0)( x, y )(2 x cos y y 2 sin x)dx + (2 y cos x x2 sin y)dy= OA (2 x cos y y 2 sin x)dx + (2 y cos x x2 sin y)dy10Lnds=D4dxdy=4=36。=(2x+y)dx+(x2y)dy解令P=2xcosyysinx，Q=2ycosxxsiny，第九章 曲线积分与曲面积分习题详解+AB (2x cos y y 2 sin x)dx + (2 y cos x x2 sin y)dy20y0x y0 0= x 2 + ( y 2 cos x + x 2 cos y x 2 ) = x 2 cos y + y 2 cos x 。（3）(2,1)(1,2) ( x)dx + ( y)dy ，其中 ( x) 和 ( y) 为连续函数。解 令 P = ( x) ， Q = ( y) ，则Py= 0 =Qx在整个 xOy 面内恒成立，因此，曲线积分(2,1)(1,2) ( x)dx + ( y)dy 在整个 xOy 面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有(1,2) ( x)dx + ( y)dy(2,1)yC (1, 2) ( x)dx + ( y)dy +AB BC1 2= 2 ( x)dx +1 ( y)dy 。OB(1,1)A(2,1)x4 验证下列 P( x, y)dx + Q(x, y)dy 在整个 xOy 面内为某一函数 u( x, y) 的全微分，并求出这样的一个 u( x, y) ：（1） (2x + sin y)dx + x cos ydy ；yB( x, y)解令 P = 2 x + sin y ， Q = x cos yQx= cos y ，Py= cos y 原式在全平面上为某一函数的全微分，取OA( x, 0)x( x0 , y 0 ) = (0,0) ，u( x, y) = 0,0)( x, y )x y0 02 2 2 22 2 2 2Qx= 2x 2 y =Py在整个11=(2xcos00sinx)+(20cosxx2sin0)0dx+(2xcosyy2sinx)0+(2ycosxx2siny)dy=2xdx+(2ycosxx2siny)dy=(x)dx+(y)dy(（2）(x+2xyy)dx+(x2xyy)dy；解因为P=x+2xyy，Q=x2xyy，所以第九章 曲线积分与曲面积分习题详解xOy 面内恒成立，因此，在整个 xOy 面内， ( x 2 + 2xy y 2 )dx + ( x 2 2xy y 2 )dy 是某一函数 u( x, y) 的全微分，即有( x 2 + 2xy y 2 )dx + ( x 2 2 xy y 2 )dy = du 。于是就有由（4）式得uxuy= x 2 + 2xy y 2= x 2 2xy y 2（4）（5）将（6）式代入（5）式，得x 2 2 xy + ( y) = x 2 2 xy y 2比较（7）式两边，得 ( y) = y 21 23（6）（7）于是13（其中 C 是任意常数）代入（6）式便得所求的函数为1 2 13 3（3） e x (1 + sin y)dx + (e x + 2sin y) cos ydy 。解Qx令 P(x, y) = e x (1 + sin y) ， Q( x, y) = (e x + 2sin y) cos y ，则在全平面上有Pye x (1 + sin y)dx + (e x + 2sin y) cos ydy是全微分下面用两种方法来求原函数：解法 1运用曲线积分公式，为了计算简单，如图 910所示，可取定点 O(0,0) ，动点 A(x,0) 与 M (x, y) ，于是原函数为( x, y)e x (1 + sin y)dx + (e x + 2sin y) cos ydy u( x, y) = (0,0)取路径: OA + AM ，得12yoM ( x, y)A( x,0) x=excosy，满足全微分存在定理的条件，故在全平面上，第九章 曲线积分与曲面积分习题详解x y0 0解法 2从定义出发，设原函数为 u( x, y) ，则有ux= P(x, y) = e x (1 + sin y) ，两边对 x积分（ y 此时看作参数），得u( x, y) = e x (1 + sin y) + g( y)（*）待定函数 g ( y) 作为对 x 积分时的任意常数，上式两边对 y 求偏导，又uy= Q( x, y) ，于是e x cos y + g ( y) = (e x + 2sin y) cos y ，即 g( y) = 2sin y cos y ，从而 g ( y) = sin 2 y + C （ C 为任意常数），代入（*）式，得原函数 u( x, y) = e x + e x sin y + sin 2 y + C 5 可微函数 f ( x, y) 应满足什么条件时，曲线积分Lf ( x, y)( ydx + xdy)与路径无关？解 令 P = yf ( x, y) ， Q = xf ( x, y) ，则Py= f ( x, y) + yf y ( x, y) ，Qx= f ( x, y) + xf x ( x, y) 。当Py=Qx，即 f ( x, y) + yf y ( x, y) = f ( x, y) + xf x ( x, y) 或 yf y ( x, y) = xf x (x, y) 在整个xOy 面内恒成立时，曲线积分 L f ( x, y)( ydx + xdy) 在整个 xOy 面内与路径无关。习题 9.41 当 为 xOy 面内的一个闭区域时,曲面积分13 f ( x, y, z)dS 与二重积分有什么关系?第九章 曲线积分与曲面积分习题详解答 当 为 xOy 面内的一个闭区域 D 时， 在 xOy 面上的投影就是 D ，于是有 f ( x, y, z)dS f ( x, y, 0)dxdy 。 D2 计算曲面积分 ( x2+ y 2 )dS ，其中 是（1）锥面 z =解 锥面 z =x 2 + y 2 及平面 z = 1所围成的区域的整个边界曲面；x 2 + y 2 与平面 z = 1的交线为 x 2 + y 2 = 1，即锥面在 xOy 面上的投影区2 2zx=xx 2 + y 2，zy=yx 2 + y 2，2 2 z z + 因此 ( x22( x 2 + y 2 )dxdy +Dxy DxyDxy1= ( 2 + 1) 。20 02 z = y x = 0(0 z 1) 绕 z 轴旋转一周所得到的旋转曲面。解旋转曲面为 z = x2 + y 2 (0 z 1) ，故所以dS = 1 + (z 2 z 2 x 2 y 22 ( x2+ y 2 )dS = 2( x2 + y 2 )dxdy ，Dxy其中 Dxy = (x, y) | x2 + y 2 1 是 在 xOy 坐标面上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分，于是 ( x22 10 0d22 。14域为圆域Dxy=(x,y)x+y1。而21+=1+2222=2，xyx+yx+y+y2)dS=1(x2+y2)dxdy21=(2+1)(x2+y2)dxdy=(2+1)rrdr（2）yOz面上的直线段)+()dxdy=1+()+()dxdy=2dxdy，xy+y2)dS=2r2rdr=第九章 曲线积分与曲面积分习题详解3 计算下列曲面积分:(1) dS ，其中 是抛物面在 xOy 面上方的部分： z = 2 ( x2+ y 2 ) , z 0 ；2 2x2 + y 2 2 ,zx= 2x,zy= 2 y ,故dS = Dxy2Dxy20 0d22133.(2) ( x + y + z)dS ，其中 是上半球面 x2+ y 2 + z 2 = a 2 , z 0 ；解 上半球面 z =a 2 x 2 y 2 在 xOy 面上的投影 Dxy 为圆域 x2 + y 2 a 2 ,zx= x z y, =2 2 2 2 2 2,dS = 1 + (x y) + ( ) dxdy= 1 + 2 + 2 dxdy =aa