八年级数学下册2.7正方形教案新湘教版.docx

27正方形1掌握正方形的概念、性质，并会运用；(重点)2理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别；(难点)3掌握正方形的判定条件；(重点)4合理地利用正方形的判定进行有关的论证和计算(难点)一、情境导入做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形学生在动手过程中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系问题：什么样的四边形是正方形？二、合作探究探究点一：正方形的性质【类型一】 利用正方形的性质求线段长或证明 如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分BAC，EFAC于点F.(1)求证：BECF；(2)求BE的长解析：(1)由角平分线的性质可得到BEEF，再证明CEF为等腰直角三角形，可证明BECF；(2)设BEx，在CEF中可表示出CE，由BC1，可列出方程，可求得BE.(1)证明：四边形ABCD为正方形，B90，EFAC，EFA90，AE平分BAC，BEEF，又AC平分BCD，ACB45，FECFCE，EFFC，BECF；(2)解：设BEx，则EFCFx，在RtCEF中，CEx，BC1，xx1，解得x1，即BE的长为1.方法总结：矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】 利用正方形的性质求角度或证明 在正方形ABCD中，点F是边AB上一点，连接DF，点E为DF中点连接BE、CE、AE.(1)求证：AEBDEC；(2)当EBBC时，求AFD的度数解析：(1)根据正方形的四条边都相等可得ABCD，每一个角都是直角可得BADADC90，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AEEFDEDF，根据等边对等角可得EADEDA，再求出BAECDE，然后利用“边角边”证明即可；(2)根据全等三角形对应边相等可得EBEC，再求出BCE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得EBC60，然后求出ABE30，再根据等腰三角形两底角相等求出BAE，然后根据等边对等角可得AFDBAE.(1)证明：在正方形ABCD中，ABCD，BADADC90，点E为DF的中点，AEEFDEDF，EADEDA，BAEBADEAD，CDEADCEDA，BAECDE，在AEB和DEC中，AEBDEC(SAS)；(2)解：AEBDEC，EBEC，EBBC，EBBCEC，BCE是等边三角形，EBC60，ABE906030，EBBCAB，BAE(18030)75，又AEEF，AFDBAE75.方法总结：正方形是最特殊的平行四边形，在正方形中进行计算时，要注意计算出相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些相等的线段变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第3题探究点二：正方形的判定【类型一】 利用“一组邻边相等的矩形是正方形”判定 已知：如图，在RtABC中，ACB90，CD为ACB的平分线，DEBC于点E，DFAC于点F.求证：四边形CEDF是正方形解析：要证四边形CEDF是正方形，则要先证明四边形DECF是矩形，再证明一组邻边相等即可证明：CD平分ACB，DEBC，DFAC，DEDF，DFC90，DEC90，又ACB90，四边形DECF是矩形，DEDF，矩形DECF是正方形方法总结：要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第9题【类型二】 利用“有一个角是直角的菱形是正方形”判定 如图，已知在四边形ABFC中，ACB90，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CFAE；(1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由；(2)当A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论解析：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BEEC，BFFC，又因为CFAE，可得出BEECBFFC，根据四边相等的四边形是菱形，所以四边形BECF是菱形；(2)由菱形的性质知，对角线平分一组对角，即当ABC45时，EBF90，得出菱形EBFC为正方形，根据直角三角形中两个锐角互余得A45.解：(1)四边形BECF是菱形理由如下：EF垂直平分BC，BFFC，BEEC，31，ACB90，3490，1290，24，ECAE，BEAE，CFAE，BEECCFBF，四边形BECF是菱形；(2)当A45时，菱形BECF是正方形证明：A45，ACB90，CBA45，EBF2CBA90，菱形BECF是正方形方法总结：正方形的判定方法：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角；还可以先判定四边形是平行四边形，再用或进行判定变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第8题探究点三：正方形的性质与判定的综合 已知：如图，ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角ACG的平分线于点F，连接AE、AF.(1)求证：ECF90；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由；(3)在(2)的条件下，ABC应该满足条件：_，则四边形AECF为正方形(直接添加条件，无需证明)解析：(1)由已知CE、CF分别平分BCO和GCO，可推出BCEOCE，GCFOCF，所以得ECF90；(2)由(1)可得出EOCOFO，点O运动到AC的中点时，则有EOCOFOAO，所以这时四边形AECF是矩形；(3)由已知和(2)得到的结论，点O运动到AC的中点时，且ABC满足ACB为直角的直角三角形时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，所以四边形AECF是正方形(1)证明：CE平分BCO，CF平分GCO，OCEBCE，OCFGCF，ECF18090；(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形理由如下：MNBC，OECBCE，OFCGCF，又CE平分BCO，CF平分GCO，OCEBCE，OCFGCF，OCEOEC，OCFOFC，EOCO，FOCO，OEOF.又当点O运动到AC的中点时，AOCO，四边形AECF是平行四边形，ECF90，四边形AECF是矩形；(3)解：当点O运动到AC的中点时，且满足ACB为直角时，四边形AECF是正方形由(2)知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，已知MNBC，当ACB90，则AOFCOECOFAOE90，即ACEF，四边形AECF是正方形故答案为：ACB为直角方法总结：此题考查的是正方形和矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识解题的关键是由已知得出EOFO，确定(2)(3)的条件变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第7题 如图，AE是正方形ABCD中BAC的平分线，AE分别交BD、BC于F、E，AC、BD相交于O.求证：(1)BEBF；(2)OFCE.解析：(1)根据正方形的性质可求得ABEAOF90.由于AE是正方形ABCD中BAC的平分线，根据“等角的余角相等”即可求得AFOAEB.根据“对顶角相等”即可求得BFEAEB，BEBF；(2)连接O和AE的中点G.根据三角形的中位线的性质即可证得OGBC，OGCE.根据平行线的性质即可求得OGFFEB，从而证得OGFAFO，OGOF，进而证得OFCE.证明：(1)四边形ABCD是正方形，ACBD，ABEAOF90.CAEBAE，AFOAEB，又AFOBFE，BFEAEB，BEBF；(2)连接O和AE的中点G.AOCO，AGEG，OGBC，OGCE，OGFFEB.AFOAEB，OGFAFO，OGOF，OFCE.方法总结：在正方形的条件下证明线段的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定理、角平分线、等腰三角形等知识来证明，有时也利用全等三角形来解决变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第5题三、板书设计1正方形的性质对边平行，四条边都相等；四个角都是直角；对角线互