2018-2019学年高中数学_第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点课件 新人教a版必修1

第三章函数的应用 本章概览一 地位作用本章学习用二分法求方程近似解的方法 从中体会函数与方程之间的联系 通过一些实例的学习 让我们感受建立函数模型的过程和方法 体会函数在数学和其他学科中的应用 认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型 并能初步运用函数思想解决现实生活中的一些简单问题 本章主要内容有结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数 从而了解函数的零点与方程根的联系 根据具体函数的图象 借助计算器用二分法求相应方程的近似解 利用计算工具比较指数函数 对数函数以及幂函数间增长的差异 会通过建立函数模型 指数函数 对数函数 幂函数 分段函数等 来解决实际问题 二 内容标准本章的重点是理解函数的零点的定义及零点存在性定理 体会函数的零点 方程的根 函数的图象与x轴交点的横坐标三者之间的关系 会利用 二分法 求方程的近似解 将实际问题转化为函数模型 其中函数的零点存在性定理的应用 用二分法求方程的近似解过程中 获得给定的精确度的近似解 在实际问题中选择恰当的函数模型是难点 三 核心素养1 学习方程的根与函数的零点时 注重从一元二次方程的根和二次函数图象与x轴的交点的关系入手 推广到一般情形 2 用二分法求函数零点的近似值时 注意精确度 3 注意理解 指数爆炸 对数增长 的含义 通过图象理解一般的指数函数 对数函数 幂函数的增长差异 4 函数建模过程中 一要认真读题 明确问题的实际背景 二要合理选择参变量 三要注意使变量的取值有实际意义 3 1函数与方程3 1 1方程的根与函数的零点 目标导航 新知探求 课堂探究 新知探求 素养养成 情境导学 导入一方程x 1 0的解是多少 函数y x 1的图象与x轴的交点坐标是什么 答案 方程的解为x 1 函数图象与x轴的交点坐标为 1 0 导入二方程x2 2x 3 0的根等于多少 函数y x2 2x 3的图象与x轴的交点坐标是什么 答案 方程的根为 1 3 函数图象与x轴的交点坐标为 1 0 3 0 想一想方程f x 0的解与函数y f x 的图象与x轴交点坐标之间是怎样的关系 若方程f x 0的解为x0 则函数y f x 的图象与x轴的交点为 x0 0 知识探究 1 函数的零点对于函数y f x 把使叫做函数y f x 的零点 探究1 函数的零点是函数与x轴的交点吗 答案 不是 函数的零点不是个点 而是一个数 该数是函数图象与x轴交点的横坐标 2 方程 函数 图象之间的关系方程f x 0 函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x f x 0的实数x 有实数根 有零点 3 函数零点的存在条件如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是的一条曲线 并且有 那么 函数y f x 在区间 a b 内 即存在c a b 使得 这个c也就是方程f x 0的根 探究2 函数y f x 在 a b 上连续不间断 当f a f b 0时 函数零点个数是否唯一 答案 不唯一 只有函数y f x 在区间 a b 上是单调函数时函数零点唯一 连续不断 f a f b 0 有零点 f c 0 拓展延伸 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的区间根的问题设x1 x2是实系数一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两个实数根 则x1 x2的分布范围与一元二次方程系数之间的关系如表所示 自我检测 1 求函数零点 函数f x log2 x 1 的零点是 A 1 0 B 2 0 C 1 D 22 函数零点的理解 已知x0为函数y f x 的一个零点 则函数f x 的图象必过点 A 0 x0 B 0 x0 C x0 0 D x0 0 3 零点个数 函数y x3 64x的零点的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 D C D B 5 零点个数 函数f x lgx x 3的零点有个 答案 1 题型一 求函数的零点 课堂探究 素养提升 解 1 解方程f x x2 7x 6 0 得x 1或x 6 所以函数存在零点 零点是 1 6 2 解方程f x 1 log2 x 3 0 得x 1 所以函数存在零点 零点是 1 例1 判断下列函数是否存在零点 如果存在 请求出 1 f x x2 7x 6 2 f x 1 log2 x 3 解 3 解方程f x 2x 1 3 0 得x log26 所以函数存在零点 零点是log26 方法技巧 1 求函数f x 的零点就是求方程f x 0的解 求解时注意函数的定义域 2 已知x0是函数f x 的零点 则必有f x0 0 即时训练1 1 1 2018 东莞市高一期末 函数f x x2 4x 4的零点是 A 0 2 B 2 0 C 2 D 4 2 2017 博野县高一期中 函数y logax2的零点为 A 1 B 1 0 C 1 D 1 0 解析 1 由f x x2 4x 4 0得 x 2 所以函数f x x2 4x 4的零点是2 故选C 2 根据题意 y logax2 令y 0 即logax2 0 解得x 1 即函数y logax2的零点为 1 故选A 备用例1 求函数f x 2 lnx的零点 解 令f x 0 即2 lnx 0 解得x e2 所以函数的零点为e2 题型二 函数零点的个数 例2 1 2018 濮阳高一期末 函数y x 的零点个数是 A 0 B 1 C 2 D 无数 2 2017 天津高一期末 函数f x x x的零点个数为 A 0 B 1 C 2 D 无数 方法技巧判断函数零点的个数的方法 1 直接求出函数的零点进行判断 即转化为方程f x 0解的个数 2 结合函数图象进行判断 即转化为函数图象与x轴交点个数或两个函数交点的个数 3 借助函数的单调性进行判断 即时训练2 1 1 函数f x x2 4x 4在区间 4 1 上 A 没有零点 B 有无数个零点 C 有两个零点 D 有一个零点 解析 1 当x2 4x 4 0时 即 x 2 2 0 x 2 因为 2 4 1 所以 2是函数f x x2 4x 4在区间 4 1 上的一个零点 故选D 解析 2 函数y f x x 4的零点 即函数y x 4与y f x 的交点的横坐标 如图所示 函数y x 4与y f x 的图象有两个交点 故函数y f x x 4的零点有2个 故选B 备用例2 2017 青州市高一月考 函数f x x k有两个零点 则 A k 0 B k 0 C 0 k 1 D k 0 解析 因为函数f x x k有两个零点 所以函数y x 的图象与函数y k的图象有两个交点 如图所示 数形结合可得 当k 0时 函数y x 的图象与函数y k的图象有两个交点 故k的范围是 0 故选B 题型三 判断函数零点所在的区间 A 3 4 B 2 e C 1 2 D 0 1 解析 2 构造函数f x ex x 3 由上表可得f 1 0 37 2 1 630 f 3 20 08 6 14 08 0 f 1 f 2 0 所以方程的一个根所在区间为 1 2 故选C 2 2016 黑龙江大庆实验中学高一上期末 根据表格内的数据 可以断定方程ex x 3 0的一个根所在区间是 A 1 0 B 0 1 C 1 2 D 2 3 方法技巧 1 确定函数的零点所在的区间时 通常利用零点存在性定理 转化为判断区间端点对应的函数值的符号是否相反 2 求方程f x g x 的根所在的区间 可利用构造函数的方法构造函数h x f x g x 通过判断函数h x 零点所在的区间转化为方程f x g x 的根所在的区间 解析 2 因为函数f x 的图象是连续不断的一条曲线 又f 2 e 2 40 f 2 e2 0 所以f 0 f 1 0 故函数的零点所在的一个区间是 0 1 故选C 2 函数f x ex x 2的零点所在的一个区间是 A 2 1 B 1 0 C 0 1 D 1 2 备用例3 若函数f x 的图象在R上连续不断 且满足f 0 0 f 2 0 则下列说法正确的是 A f x 在区间 0 1 上一定有零点 在区间 1 2 上一定没有零点 B f x 在区间 0 1 上一定没有零点 在区间 1 2 上一定有零点 C f x 在区间 0 1 上一定有零点 在区间 1 2 上可能有零点 D f x 在区间 0 1 上可能有零点 在区间 1 2 上一定有零点 解析 根据零点存在性定理 由于f 0 f 1 0 所以f x 在区间 0 1 上一定有零点 在区间 1 2 上无法确定 可能有 也可能没有 如图所示 故选C 题型四 函数与方程思想的应用 例4 关于x的方程ax2 2 a 1 x a 1 0 求a为何值时 1 方程有一个正根和一个负根 2 方程的两个根都大于1 方法技巧解决有关根的分布问题应注意以下几点 1 首先画出符合题意的草图 转化为函数问题 2 结合草图考虑四个