高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”课堂探究教案 新人教B版选修23.doc

1.3.2“杨辉三角”课堂探究探究一 与杨辉三角有关的问题解决与杨辉三角有关的问题一般方法是观察法，观察时可以横看、竖看、斜看等多角度观察，找出数据之间的关系由特殊到一般推出对应规律，用数学式子表达出来，并进行简单说明所得规律的正确性【典型例题1】 如图所示，在杨辉三角中，第n条和第(n1)条细斜线上各数之和与第(n2)条细斜线上各数之和的关系如何？证明结论思路分析：此题可先从特殊行得出结论，然后再证明其一般性，如令n2，去探究第2条和第3条细斜线上各数之和与第4条细斜线上各数之和的关系解：第n条和第(n1)条细斜线上各数之和等于第(n2)条细斜线上各数之和证明如下：第n条细斜线上各数之和为ccccc，第(n1)条细斜线上各数之和为cccccc，故这两条细斜线上各数之和为(ccccc)(cccccc)c(cc)(cc)(cc)(cc)ccccc.等式右边正好是第(n2)条细斜线上各数之和，所以第n条和第(n1)条细斜线上各数之和与第(n2)条细斜线上各数之和相等探究二 求展开式的各项系数之和赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项一般地，对于多项式f(x)a0a1xa2x2anxn，各项系数和为f(1)奇次项系数和为f(1)f(1)，偶次项系数和为f(1)f(1)，a0f(0)【典型例题2】 已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.思路分析：本题考查求二项展开式系数和问题，常用赋值法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值解：令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a71，令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a737，(1)因为a0c1，所以由得，a1a2a3a7112.(2)由()2，得a1a3a5a71 094.(3)由()2，得a0a2a4a61 093.(4)因为(12x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，所以|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)所以由(2)，(3)即可得其值为1 093(1 094)2 187.探究三 求系数最大的项解决此类问题首先要注意区分“二项式系数最大”“展开式系数最大”及“最大项”求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大而求展开式中系数最大项需根据各项系数的正、负变化情况，采用列不等式(组)的方法求解，在系数均为正数的前提下，只需比较相邻两个系数的大小，即设第(r1)项的系数最大，则 【典型例题3】 已知(x)2n的展开式的系数和比(3x1)n的展开式的系数和大992.(1)求在2n的展开式中，二项式系数最大的项；(2)求在2n的展开式中，系数的绝对值最大的项思路分析：首先根据题目条件确定n值，(1)中根据指数的奇偶性确定所求的项，(2)列出不等式组求解解：由题意得22n2n992，解得n5.(1)10的展开式中第6项的二项式系数最大，该项为t6c(2x)558 064.(2)设第(r1)项的系数的绝对值最大，则tr1c(2x)10rr(1)rc210rx102r，所以所以即解得r.因为0r10，且rn，所以r3.故系数的绝对值最大的项是第4项该项为t4c(2x)7315 360x4.探究四 易错辨析易错点：忽略a0或符号变化造成错误【典型例题4】 已知(12x3)3a0a1xa2x2a9x9，求a1a2a9的值错解：令x1，则原式(12)31.错因分析：错因在于未注意到