（试题 试卷 真题）2014广东高考数学（文）

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东B卷）数学（文科）一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合,则（ ）A B C D 2已知复数满足，则（ ）A B C D 3已知向量，则（ ）A B C D 4若变量满足约束条件则的最大值等于（ ）A 11 B10 C 8 D 75下列函数为奇函数的是（ ）A B C D 6为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）A20 B25 C40 D507在中，角A,B,C所对应的边分别为则“”是 “”的（ ）A充分必要条件 B充分非必要条件 C必要非充分条件 D非充分非必要条件8若实数满足，则曲线与曲线的（ ）A焦距相等 B 离心率相等 C虚半轴长相等 D 实半轴长相等 9若空间中四条两两不同的直线，满足则下列结论一定正确的是（ ）A B C与既不垂直也不平行 D与的位置关系不确定10对任意复数定义其中是的共轭复数，对任意复数有如下四个命题：；则真命题的个数是（ ）A4 B3 C2 D1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分（一）必做题（1113题）11曲线在点处的切线方程为_12从字母中任取两个不同字母，则取字母的概率为_13等比数列的各项均为正数，且，则 _（2） 选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线与的方程分别为与，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线与交点的直角坐标为_15（几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形中，点在上且与交于点则CEABFD三解答题：本大题共6小题，满分80分16（本小题满分12分) 已知函数，且（1） 求的值；（2） 若，求17（本小题满分13分）某车间20名工人年龄数据如下表：.（1） 求这20名工人年龄的众数与极差；（2） 以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3） 求这20名工人年龄的方差 18（本小题满分13分）如图2，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，AB=1，BC=PC=2,作如图3折叠：折痕EFDC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P在线段AD上的点记为M，并且MFCF（1） 证明：CF平面MDF；（2） 求三棱锥M-CDE的体积19（本小题满分14分）设各项均为正数的数列的前项和为，且满足(1) 求的值；(2) 求数列的通项公式；(3) 证明：对一切正整数，有20（本小题满分14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为。（1） 求椭圆C的标准方程；（2） 若动点为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程21 (本小题满分14分) 已知函数（1） 求函数的单调区间；（2） 当时，试讨论是否存在，使得参考答案一、选择题1C解析：本题考查集合的基本运算，属于基础题. ，故选C.解析2绝对送分题。答案为B。因为集合为高中教材的第一个内容。也基本上是各省市的必考内容，放在第一小题给人信心。虽然为送分题，但仍然会有个别同学拿不到分，原因主要是粗心引起。2A解析：本题考查复数的除法运算，属于基础题.故选A.解析2同样的送分题。一般解法是将左边Z的复数除到右边。秒杀方法是两边同时乘以，口算得到结果D。3C解析：本题考查向量的基本运算，属于基础题.故选C.解析2又一送分题，由向量减法法则秒杀。答案为B。4B解析：本题考查线性规划问题。在平面直角坐标系中画图，作出可行域，可得该可行域是由（0，0），（0，3），（2，3），（4，2），（4，0）组成的五边形。由于该区域有限，可以通过分别代这五个边界点进行检验，易知当x=4，y=2时，z=2x+y取得最大值10。本题也可以通过平移直线，当直线经过（4，2）时，截距达到最大，即取得最大值10.故选答案B.解析2基础题，一般做法画出可行区域。求出交点（2，3），（4，2）。得最大值为C。此题容易错选成D，即将（4，3）代入，要注意（4，3）在区域之外。5D解析：本题考察函数的奇偶性.对于A，非奇非偶，对于B，为偶函数；对于C,，为偶函数； D中函数的定义域为R，关于原点对称，且为奇函数. 故答案为D。解析2选B。又一送分题。一种做法是用奇函数的性质。容易得出结果。另一秒杀方法是用0代入，只有B的结果为0.6B解析：本题考查系统抽样的特点。分段的间隔为，故答案为B.解析2由系统抽样的概念，先进行分组，每组为1000除以40即每组25名学生，故分段时隔为25.选C。7A解析：本题考查正弦定理的应用。由于所以所以，故“”是 “”的充要条件，故选答案为A.解析2由大边对大角，或由正弦定理都可以秒杀。答案为A。8A解析：本题可以采用一般法和特殊法，一般法在这里不赘述，令，则这两个曲线方程分别为和，它们分别对应的，故。所以它们的焦距相等，故答案为A.解析2由已知可得两曲线均为双曲线，在又曲线中C是最长的。故选D。9D解析:本题考查空间中线线的位置关系。以正方体为模型，易知和的位置关系可能有或，故与的位置关系不确定.故答案为D.解析2线与线的位置关系，放在选择的倒数第二题，相对来说有一定难度。可以想象一下以笔为直线，将L1和L4放在课桌面上，第二条和第三条与课桌面垂直，问题得到解决。此题需要一定的空间想象能力。10C解析：对于，对于，.令，则，则，所以故，故故答案为C.解析2此题为创新题，另一种说法是定义新运算。解法较多。基本解法可以用特殊值法，如取三个已知复数分别代入。另一个秒杀的方法是，前9个题的结果是1A，3B，2C，3D，按照历年广东文科的分布规律最后一题应选A。这种解题法没有科学依据，但近十年来都是这样的分布！11解析：本题考查导数的几何意义。，故，所以在点处的切线方程为即解析2此为基础题。求出导数为5，然后用点斜式方程。12解析：本题考查古典概型.采用列举法，从字母中任取两个不同字母有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de共10个，含有字母a有ab,ac,ad,ae。故概率为解析2一般解法是用列举的办法或画数状图。简单解法是取到字母A后，需要在另外4个字母中任取一个，有4种方法，一共从5个字母中取2个有10种方法。13解析：本题考查等比数列的定义和性质.本题也可以直接引入和这两个基本量求解.解析2此题秒杀方法是令此数列的常数列。结果为5.14解析：本题考查极坐标与平面直角坐标系的互化.由得，即，由得.联立和，解得，所以则曲线与交点的直角坐标为（1，2）.解析2转化为直角坐标系方程后易得结果。15解析：本题考查平行线分线段成比例定理或相似三角形的判定以及性质。因为即,所以,所以解析2显然两三解形相似。相似三角形面积的等于相似比的平方。故面积比为9.16解析：（1）由题意得，所以.（2）由（1）得，所以所以.因为，所以.所以点评：笔者觉得2014年广东高考的三角函数题目难度总体比往年大，第一问属于送分题，与往年设计求解特殊函数值类似，第二问比往年设计得复杂些，但对于中上层考生来讲，笔者仍觉得这是个容易题，思维受阻的可能性比较小.17解析：（1）年龄30的的工人数为5，频率最高，故这20名工人年龄的众数为30，极差为最大值与最小值的差，即40-19=21.（2）茎叶图如下: (3) 这20名工人年龄的平均数为所以这20名工人年龄的方差点评：类似于本题的题目其实学生已经不小，所以学生对这种题型不会有陌生感.但是我觉得会遇到几个问题，一是关于计算，而是在画茎叶图可能不是很规范。另外关于极差，很可能大部分学生都忘记了.18（1）证明：（1）因为面,面,所以.又因为四边形为矩形，所以,因为,所以面.在图3中，因为面，所以即,又因为,所以面.(2)因为面，面,所以.在图2中，.因为,所以.所以在中，.所以在图3中，即.在,.又因为在,所以,所以,所以所以.点评：本次考试的立体几何题基本与近两年较相似，主要汇集在线面位置关系的证明和锥（柱）体的体积求解，本题的第（2）问计算量较大，这也是做立体几何题常常会遇到的一个困难和挑战！19解析：（1）当时，解得或。因为，所以.（2）由题意得,因为，所以，所以，所以即当时，当，满足上式，故（3）证明：当时，.当时，所以所以故对一切正整数，有点评：本道题的第（1）问是基础题，难度较小，第（2）问可能会让部分学生思维受阻，注意到，其本质就是关于的一元二次方程，采用因式分解或求根公式求出是解决本题的关键！第（3）问是数列求和放缩问题，放缩目标为，结合题目特点不难猜测利用这个模型就可以达到目的，而在证明方法很多，分析法和综合法都可以派上用场。与2014年广东理科数列题第19相比，笔者觉得文科的难度其实更大！20解析：（1）由题意得，所以，所以，所以椭圆C的标准方程为.（3） 由题意可设两条直线的斜率都要存在，设其中的一条切线方程为，则另一条切线为.联立，消得因为直线与椭圆相切，所以，化简得.同理可得。又因为是这两条切线的交点，所以联立解得，所以.所以，因为，所以，将和代入式，得.当与轴垂直，轴时，或与轴垂直轴时，此时满足条件的的坐标为，满足上述方程，所以点P的轨迹方程为点评：本题的第（2）问与2012年广东文科高考和2011年广东理科第（1）问有几分相似，方法很类似，考查了转化与化归的能力，计算量较大.可以看出往年的高考题就是最好的模拟试题！21解析：. 令当即时，所以的单增区间为.当即时，有两个不等的根，当当当所以的单增区间为和，单减区间为.综上所述，当，的单增区间为.当，的单增区间为和，单减区间为.（2）当时，.因为，所以所以，.由（1）知在单减，在单增.当即时，在单减，故不存在，使得当即，在上单