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数列问题专题一 求通项公式高中数列问题主要是解决两个方面的问题，一个是通项公式，另一个就是求前n项和问题，现对求通项公式常用方法作一归纳。第一类，知道数列是等差或等比数列，一般来说都会告诉两个等式求出a1和d或a1和q和,这类相对简单，就不再举例。第二类，递推公式为与n的关系式求，必利用.这类题中易在验证a1和的关系上出错（如下面的例题2，3）。2已知数列an的前n项和为Sn，且Snn22n1，（nN* )求an3已知数列an的前n项和为Sn，且Snn2，nN* )求，an4已知等差数列的前项和为（）求q的值；（）若a1与a5的等差中项为18，bn满足，求数列的bn前n项和. ()解法一：当时，,当时,.是等差数列,解法二：当时,当时,.当时,.又,所以,得.4分()解：,.又,8分又得.,即是等比数列.所以数列的前项和第三类 递推公式为与的关系式求。这种类型必利用。这类题比第二类难一些，主要在于有时直接把转化为较困难，那么此时就应把转化为，先求出再利用第二类题求出。和第二类一样，经常忽略要验证a1和的关系，即经常存在第一项不满足整个通式的情况。2已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式. 3.已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和。4已知数列中，是其前项和，=,+2=0，求数列an的通项公式.5（2006，陕西,理,20本小题满分12分) 已知正项数列an，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项an 6变式: (2005,江西,文,22本小题满分14分）已知数列an的前n项和Sn满SnSn2=3求数列an的通项公式.7已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？第四类 形如=A+Bn+C+D类（A，B，q,n,D为常数，且q不为1）。这类题出现得最多，运用也最常见，难度较大，主要是构造很困难。题目为了降低难度一般情况下Bn（等差），C（等比），D（常数） 三类不会同时出现。不论是单独出现哪一个，都可以归纳为一类，解题是按同一类构造好即可，这样就可以有效地降低学生学习难度，更易于处理。这里面又可分三大类。在第三类中的很多题目都会再次用到第四类中的方法。（第一种情况） 当A=1时，利用累加法求解。1. 已知数列满足，求。 解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即 所以，2已知数列满足，=+5n+3+1，求。3.已知,求数列通项公式.变式: 已知数列，且a2k=a2k1+(1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,.（I）求a3, a5；（II）求 an的通项公式.4已知数列中, ,求数列的通项公式（第二种情况） 当Aq时（同时A1），构造等比数列，其公比为A。构造模式为+E（n+1）+F+G=A(+En+F+G) ， 然后利用待定系数法求出E，F，G。注意这类题中，A如果是q的次方时要小心，易出错。1已知数列，且 =2+5n+2+1求 an的通项公式.2已知数列中，求. （）3已知数列中，,，求。4已知数列中，求数列的通项公式.5已知数列中，求.6变式:（2006. 福建.理22.本小题满分14分）已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列bn滿足证明：数列bn是等差数列；（）证明：7已知数列中，,，求。变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分）设数列的前项的和，（）求首项与通项；（）设，证明：8设数列：，求.9在数列中，求（第三种情况）当A=q时，构造等差数列，公差为C。其构造模式为：。应当注意的是，在=A+Bn+C+D这个式子中，q的次方必须化为，否则公差就出现了问题。1已知数列，且 =2+5n+3+1，求 an的通项公式.（本题中的公差就为3）2已知数列，且 =2+5n+3+1，求 an的通项公式. （本题中的公差就为）就在于必须把3转化为，否则出错。第五类 递推公式为（其中p，q均为常数）。出现连续三项的题目，一般按方式构造，课本上数列一章最后复习题里面有这样一道题。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足，求出s，t。（教材即此方法，较麻烦）解法二（用特征根法）可解。下面例题只给出特征根法1数列：数列：， ,求 （）解（特征根法）：的特征方程是：。,。又由，于是 故2已知数列中，,，求。3.已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（III）若数列满足证明是等差数列 4.已知数列中，,，求5变式:（2006，山东,文,22,本小题满分14分）已知数列中，在直线y=x上，其中n=1,2,3 ()令 ()求数列()设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在试求出 不存在,则说明理由.6 练习:已知数列中，,，求7变式:已知数列满足求数列的通项公式；（I）解： 第六类 解法：（也经常以an的形式出，如下面的例题9）。这种类型一般是两种情况，简单一点的如出现在选填题中时，一般是周期数列，如下面的例题1。否则一般是按的形式构造，然后等式两边取倒数后换元转化为。当然如果中q本身就为0，直接倒过来处理就行了，题目的难度就降下来了（如例题2）。1（2005，湖南,文，5）已知数列满足，则=（ ）A0BCD 2已知数列an满足：，求数列an的通项公式。解：取倒数：是等差数列，3变式:已知数列an满足：a1，且an 求数列an的通项公式；解：（1）将条件变为：1，因此1为一个等比数列，其首项为1，公比，从而1，据此得an（n1） 4已知数列中, ,求数列的通项公式.【解析】:将取倒数得: ,是以为首项,公差为2的等差数列. ,.5已知数列中, ,求数列的通项公式.6已知数列an满足：，求数列an的通项公式。7已知数列an满足：a1，且an（1） 求数列an的通项公式；（2） 证明：对于一切正整数n，不等式a1a2an2n！8、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。9、已知数列满足时，求通项公式。10、已知数列an满足：，求数列an的通项公式。11、若数列a中，a=1，a= nN，求通项a 12已知数列满足性质：对于且求的通项公式. 13已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？14（2005，重庆,文,22,本小题满分12分）数列记（）求b1、b2、b3、b4的值； （）求数列的通项公式及数列的前n项和。第七类 把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。和累加法有类似处，基本道理一样。1已知,求数列通项公式.2已知数列满足，求。3已知， ，求。4（2004，全国I,理15）已知数列an，满足a1=1， (n2)，则an的通项 5已知数列满足，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，:已知， ，求。解： 。6已知数列an，满足a1=1， (n2)，则an的通项 解：由已知，得，用此式减去已知式，得当时，即，又，将以上n个式子相乘，得第八类 ，这类题目较少，一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。1已知数列中，求数列2（2005，江西,理,21本小题满分12分）已知数列（1）证明 （2）求数列的通项公式an.3（2006,山东,理,22,本小题满分14分）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，（1） 证明数列lg(1+an)是等比数列；（2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及数列an的通项；记bn=，求bn数列的前项和Sn，并证明Sn+=1 总之，数列的题目在处理时难度都较大，根据这两年的情况看，难度在下降，上述方法只作参考，不必整得太难。 专题二 数列的前n项和问题 数列求前n项和的问题，一般来说只要掌握以下三类就可以了第一类 知道是等差或等比数列，利用公式求就行。题目简单，不再举例题第二类，利用错位相减法求和。这类题目的特征是一个数列的通项公式是由一个等差数列和一个等比数列的乘积构成的，形如an=（An+B）的形式。由于这类题常考，所以把求Sn归纳成一个固定的公式，-整理得：（1-）Sn=（A+B）+A-（A+B）为了能运用这个公式，an=（An+B）中的次方要先化成n-1次。最后Sn=C+（Dn+E）的形式，其中|C|=|E|。1 已知an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a655, a2+a716.()求数列an的通项公式：（）若数列an和数列bn满足等式an，求数列bn的前n项和Sn2. 设数列满足其中为实数，且（）求数列的通项公式（）设，,求数列的前项和；3. 已知递增的等比数列an前三项之积为512,且这三项分别减去1,3,9后又成等差数列.求证：.4已知数列 的前n项和，数列的前n项和（I） 求数列与的通项公式；（II） 设，证明：当且仅当n3时，6数列：11，4，7，3n2(nN*)的前n项和Sn_第三类 裂项相消法求和 这类题的通项公式一般都含分母，并且分母是两个因式的乘积的形式。此类题在具体表处理中易在两个地方出错，一是裂项后式子不成立，往往裂