2019版高考数学复习第十三章立体几何13.2平行的判定与性质讲义.docx

13.2平行的判定与性质考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度201320142015201620171.线面平行的判定与性质1.线面平行的证明2.线面平行的性质应用B16题14分16题14分解答题2.面面平行的判定与性质1.面面平行的证明2.面面平行的性质应用B16题14分解答题分析解读空间平行问题是江苏高考的热点内容,主要考查线面平行,偶考面面平行及平行的性质,复习时要抓住解决平行问题常用的基本方法,识别一些基本图形如:锥体、柱体的特征.五年高考考点一线面平行的判定与性质1.(2015安徽改编,5,5分)已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确的是.(1)若,垂直于同一平面,则与平行;(2)若m,n平行于同一平面,则m与n平行;(3)若,则在内与平行的直线;(4)若m,n,则m与n垂直于同一平面.答案(4)2.(2014辽宁改编,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,表示平面.下列说法正确的是. 若m,n,则mn;若m,n,则mn;若m,mn,则n;若m,mn,则n.答案3.(2016江苏,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1DA1F,A1C1A1B1.求证:(1)直线DE平面A1C1F;(2)平面B1DE平面A1C1F.证明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1AC.在ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DEAC,于是DEA1C1.又因为DE平面A1C1F,A1C1平面A1C1F,所以直线DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A平面A1B1C1.因为A1C1平面A1B1C1,所以A1AA1C1.又因为A1C1A1B1,A1A平面ABB1A1,A1B1平面ABB1A1,A1AA1B1=A1,所以A1C1平面ABB1A1.因为B1D平面ABB1A1,所以A1C1B1D.又因为B1DA1F,A1C1平面A1C1F,A1F平面A1C1F,A1C1A1F=A1,所以B1D平面A1C1F.因为直线B1D平面B1DE,所以平面B1DE平面A1C1F.4.(2016山东,18,12分)在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EFDB.(1)已知AB=BC,AE=EC,求证:ACFB;(2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH平面ABC.证明(1)因为EFDB,所以EF与DB确定平面BDEF.连结DE.因为AE=EC,D为AC的中点,所以DEAC.同理可得BDAC.又BDDE=D,所以AC平面BDEF,因为FB平面BDEF,所以ACFB.(2)设FC的中点为I.连结GI,HI.在CEF中,因为G是CE的中点,所以GIEF.又EFDB,所以GIDB.在CFB中,因为H是FB的中点,所以HIBC.又HIGI=I,所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GHI,所以GH平面ABC.5.(2015山东,18,12分)如图,三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD平面FGH;(2)若CFBC,ABBC,求证:平面BCD平面EGH.证明(1)证法一:连结DG,CD,设CDGF=M,连结MH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DFGC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.则M为CD的中点,又H为BC的中点,所以HMBD,又HM平面FGH,BD平面FGH,所以BD平面FGH.证法二:在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BHEF,BH=EF,所以四边形HBEF为平行四边形,可得BEHF.在ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GHAB.又GHHF=H,所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED,所以BD平面FGH.(2)连结HE.因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GHAB.由ABBC,得GHBC.又H为BC的中点,所以EFHC,EF=HC,因此四边形EFCH是平行四边形.所以CFHE,又CFBC,所以HEBC.又HE,GH平面EGH,HEGH=H,所以BC平面EGH.又BC平面BCD,所以平面BCD平面EGH.6.(2014江苏,16,14分)如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PAAC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:(1)直线PA平面DEF;(2)平面BDE平面ABC.证明(1)证明:因为D,E分别为棱PC,AC的中点,所以DEPA.又因为PA平面DEF,DE平面DEF,所以直线PA平面DEF.(2)因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,PA=6,BC=8,所以DEPA,DE=12PA=3,EF=12BC=4.又因为DF=5,故DF2=DE2+EF2,所以DEF=90,即DEEF.又PAAC,DEPA,所以DEAC.因为ACEF=E,AC平面ABC,EF平面ABC,所以DE平面ABC.又DE平面BDE,所以平面BDE平面ABC.7.(2014北京,17,14分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,ABBC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE平面B1BCC1;(2)求证:C1F平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.解析(1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1底面ABC.所以BB1AB,又因为ABBC,所以AB平面B1BCC1.所以平面ABE平面B1BCC1.(2)证明:取AB中点G,连结EG,FG.因为G,E,F分别是AB,A1C1,BC的中点,所以EC1=12A1C1,FGAC,且FG=12AC.因为ACA1C1,且AC=A1C1,所以FGEC1,且FG=EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1FEG.又因为EG平面ABE,C1F平面ABE,所以C1F平面ABE.(3)因为AA1=AC=2,BC=1,ABBC,所以AB=AC2-BC2=3.所以三棱锥E-ABC的体积V=13SABCAA1=1312312=33.教师用书专用(813)8.(2016四川,17,12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PACD,ADBC,ADC=PAB=90,BC=CD=12AD.(1)在平面PAD内找一点M,使得直线CM平面PAB,并说明理由;(2)证明:平面PAB平面PBD.解析(1)取棱AD的中点M(M平面PAD),点M即为所求的一个点.理由如下:连结CM.因为ADBC,BC=12AD,所以BCAM,且BC=AM.所以四边形AMCB是平行四边形,从而CMAB.又AB平面PAB,CM平面PAB,所以CM平面PAB.(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明:连结BM,由已知,PAAB,PACD,因为ADBC,BC=12AD,所以直线AB与CD相交,所以PA平面ABCD.从而PABD.因为ADBC,BC=12AD,所以BCMD,且BC=MD.所以四边形BCDM是平行四边形.所以BM=CD=12AD,所以BDAB.又ABAP=A,所以BD平面PAB.又BD平面PBD,所以平面PAB平面PBD.9.(2016课标全国,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN平面PAB;(2)求四面体N-BCM的体积.解析(1)证明:由已知得AM=23AD=2,取BP的中点T,连结AT,TN,由N为PC中点知TNBC,TN=12BC=2.(3分)又ADBC,故TNAM,故四边形AMNT为平行四边形,于是MNAT.因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.(6分)(2)因为PA平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为12PA.(9分)取BC的中点E,连结AE.由AB=AC=3得AEBC,AE=AB2-BE2=5.由AMBC得M到BC的距离为5,故SBCM=1245=25.所以四面体N-BCM的体积VN-BCM=13SBCMPA2=.(12分)10.(2015广东,18,14分)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC平面PDA;(2)证明:BCPD;(3)求点C到平面PDA的距离.解析(1)证明:因为四边形ABCD是长方形,所以ADBC.又因为AD平面PDA,BC平面PDA,所以BC平面PDA.(2)证明:取CD的中点,记为E,连结PE,因为PD=PC,所以PEDC.又因为平面PDC平面ABCD,平面PDC平面ABCD=DC,PE平面PDC,所以PE平面ABCD.又BC平面ABCD,所以PEBC.因为四边形ABCD为长方形,所以BCDC.又因为PEDC=E,所以BC平面PDC.而PD平面PDC,所以BCPD.(3)连结AC.由(2)知,BCPD,又因为ADBC,所以ADPD,所以SPDA=12ADPD=1234=6.在RtPDE中,PE=PD2-DE2=42-32=7.SADC=12ADDC=1236=9.由(2)知,PE平面ABCD,则PE为三棱锥P-ADC的高.设点C到平面PDA的距离为d,由VC-PDA=VP-ADC,即13dSPDA=13PESADC,亦即136d=1379,得d=372.故点C到平面PDA的距离为372.11.(2014安徽,19,13分)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为217,点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH平面ABCD,BC平面GEFH.(1)证明:GHEF;(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.解析(1)证明:因为BC平面GEFH,BC平面PBC,且平面PBC平面GEFH=GH,所以GHBC.同理可证EFBC,因此GHEF.(2)连结AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连结OP,GK.因为PA=PC,O是AC的中点,所以POAC,同理可得POBD.又BDAC=O,且AC,BD都在底面内,所以PO底面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD,且PO平面GEFH,所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEFH=GK,所以POGK,所以GK底面ABCD,从而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高.由AB=8,EB=2得EBAB=KBDB=14,从而KB=14DB=12OB,即K为OB的中点.再由POGK得GK=12PO,且G是PB的中点,所以GH=12BC=4.由已知可得OB=42,PO=PB2-OB2=68-32=6,所以GK=3.易得EF=BC=8,故四边形GEFH的面积S=GH+EF2GK=3=18.12.(2014四川,18,12分)在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.(1)若ACBC,证明:直线BC平面ACC1A1;(2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE平面A1MC?请证明你的结论.解析(1)证明:因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形,所以AA1AB,AA1AC.因为AB,AC为平面ABC内两条相交直线 ,所以AA1平面ABC.因为直线BC平面ABC,所以AA1BC.又ACBC,AA1,AC为平面ACC1A1内两条相交直线,所以BC平面ACC1A1.(2)取线段AB的中点M,连结A1M,MC,A1C,AC1,设O为A1C,AC1的交点.由已知可知O为AC1的中点.连结MD,OE,则MD,OE分别为ABC,ACC1的中位线,所以MD12AC,OE12AC,因此MDOE.连结OM,从而四边形MDEO为平行四边形,则DEMO.因为直线DE平面A1MC,MO平面A1MC,所以直线DE平面A1MC,即线段AB上存在一点M(线段AB的中点),使直线DE平面A1MC.13.(2014山东,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,AP平面PCD,ADBC,AB=BC=12AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.(1)求证:AP平面BEF;(2)求证:BE平面PAC.证明(1)设ACBE=O,连结OF,EC.由于E为AD的中点,AB=BC=12AD,ADBC,所以AEBC,AE=AB=BC,因此四边形ABCE为菱形,所以O为AC的中点.又F为PC的中点,因此在PAC中,可得APOF.又OF平面BEF,AP平面BEF,所以AP平面BEF.(2)由题意知EDBC,ED=BC,所以四边形BCDE为平行四边形,因此BECD.又AP平面PCD,所以APCD,因此APBE.因为四边形ABCE为菱形,所以BEAC.又APAC=A,AP,AC平面PAC,所以BE平面PAC.考点二面面平行的判定与性质1.(2013安徽理,15,5分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).当0CQ时,S为四边形当CQ=12时,S为等腰梯形当CQ=34时,S与C1D1的交点R满足C1R=13当34CQCH=12.所以HO=AHcos AHC=