二元一次方程的解法.doc

二元一次方程的解法为本词条添加义项名认识二元一次方程组的有关概念，会把一些简单的实际问题中的数量关系，用二元一次方程组的形式表示出来，学会用含有其中一个未知数的代数式表示另一个的方法。目录1二元一次方程组2解方程组3代入消元法4加减消元法5二元一次方程的解6拓展解法7典型例题8模拟试题9 二元一次应用题展开1二元一次方程组2解方程组3代入消元法4加减消元法5二元一次方程的解6拓展解法7典型例题8模拟试题9 二元一次应用题1二元一次方程组1. 认识二元一次方程组的有关概念，会把一些简单的实际问题中的数量关系，用二元一次方程组的形式表示出来，学会用含有其中一个未知数的代数式表示另一个的方法。二元一次方程的解法2. 领会并掌握解二元一次方程组的方法，根据方程组的情况，能恰当地运用“代入消元法”和“加减消元法”解方程组。3. 体会解二元一次方程组中的“消元”思想，即通过消元把二元一次方程转化成一元一次方程，由此感受“氧化”思想的广泛作用，提高分析问题和解决问题的能力。4.了解二元一次方程有无数个解，要取公共解。2解方程组求方程组的解的过程，叫做解二元一次方程组。二元一次方程（1）概念：方程两边都是整式,含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程.3你能区分这些方程吗？5x+3y=75（二元一次方程）；3x+1=8x（一元一次方程）；2y+y=2(一元一次方程）；2x-y=9（二元一次方程）。二元一次方程的解法对二元一次方程概念的理解应注意以下几点：等号两边的代数式是整式；在方程中“元”是指未知数，二元是指方程中含有两个未知数；未知数的项的次数都是1，实际上是指方程中最高次项的次数为1，在此可与多项式的次数进行比较理解，切不可理解为两个未知数的次数都是1.（2）二元一次方程的解使二元一次方程两边相等的一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.对二元一次方程的解的理解应注意以下几点：一般地，一个二元一次方程的解有无数个，且每一个解都是指一对数值，而不是指单独的一个未知数的值；二元一次方程的一个解是指使方程左右两边相等的一对未知数的值；反过来，如果一组数值能使二元一次方程左右两边相等，那么这一组数值就是方程的解；在求二元一次方程的解时，通常的做法是用一个未知数把另一个未知数表示出来，然后给定这个未知数一个值，相应地得到另一个未知数的值，这样可求得二元一次方程的一个解.二元一次方程组（1）二元一次方程组：由两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.2（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.对二元一次方程组的理解应注意：方程组各方程中，相同的字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起.怎样检验一组数值是不是某个二元一次方程组的解，常用的方法如下：将这组数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这组数值满足其中的所有方程时，才能说这组数值是此方程组的解，否则，如果这组数值不满足其中任一个方程，那么它就不是此方程组的解.3代入消元法（1）概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解. 这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法.4（2）代入法解二元一次方程组的步骤选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的. ）；解这个一元一次方程，求出未知数的值；将求得的未知数的值代入中变形后的方程中，求出另一个未知数的值；用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解；最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）.例题：x-y=3 3x-8y=4由得x=y+3代入得3（y+3)-8y=4y=1所以x=4则：这个二元一次方程组的解x=4y=14加减消元法（1）概念：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.5（2）加减法解二元一次方程组的步骤利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法）；解这个一元一次方程，求出未知数的值；将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解；最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）。如：5x+3y=910x+5y=12把扩大2倍得到10x+6y=18-得：10x+6y-(10x+5y)=18-12y=6再把y=带入.或中解之得:x=-1.8y=6重点难点本节重点内容是二元一次方程组的概念以及如何用代入法和加减法解二元一次方程组，难点是根据方程的具体形式选择合适的解法。5二元一次方程的解使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的一组值，叫做二元一次方程的解。二元一次方程组的两个公共解，叫做一组二元一次方程组的解。二元一次方程有无数个解，除非题目中有特殊条件。但二元一次方程组只有唯一的一组解，即x,y的值只有一个。也有特殊的，例如无数个解：3X+4y=12 x-y=26X+8Y=24 x+y=3无解：3x+4Y=184Y+3X=24消元法“消元”是解二元一次方程的基本思路。所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程再解出未知数。这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。如:5x+6y=7 2x+3y=4,变为5x+6y=7 4x+6y=86消元的方法代入消元法,(常用）加减消元法,（常用）顺序消元法,（这种方法不常用）顺序是对的消元法的例子x-y=3 3x-8y=4由得x=y+3代入得3（y+3)-8y=4y=1所以x=4则：这个二元一次方程组的解x=4y=1教科书中没有的,但比较适用的几种解法:(一)加减-代入混合使用的方法.例1,13x+14y=41 (1)14x+13y=40 (2)解:(2)-(1)得x-y=-1x=y-1 (3)把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2把y=2代入(3)得x=1所以:x=1,y=2最后 x=1 ， y=2， 解出来特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.(二)代入法是二元一次方程的另一种方法，就是说把一个方程带入另一个方程中如：x+y=590y+20=90%x带入后就是：x+90%x-20=590例2，(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。（三）另类换元例3，x:y=1:45x+6y=29令x=t,y=4t方程2可写为：5t+24t=2929t=29t=1所以x=1,y=4换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。7换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。比如(x+y)/2-(x-y)/3=63(x+y)=4(x-y)解：设x+y为a,x-y为b原=a/2-b/3=63a=4b6 得3a-2b=36把代入 得2b=36 b=18把b=18代入得a=24所以x+y=24x-y=18-得 2y=6 y=3把y=3代入得 x=21x=21是方程组的解y=3整体代入法比如2x+5y=1585-7y=2x解：把代入得85-7y+5y=15-2y=-70y=35把y=35代入得x=-80x=-80是方程组的解y=356拓展解法解题方法二元一次方程常用解法解法一般来说有两种:1.代入消元法:2,加减消元法.这两种解法在初中数学教科书中有详细叙述这里就不在说了,我们来看一下教科书中没有的,但比较适用的几种解法(一)加减-代入混合使用的方法.例1,13x+14y=41 (1)14x+13y=40 (2)解:(2)-(1)得x-y=-1x=y-1 (3)把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2把y=2代入(3)得x=1所以:x=1,y=2特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.(二)换元法例2，(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。（3）另类换元例3，x:y=1:45x+6y=29令x=t,y=4t方程2可写为：5t+6*4t=2929t=29t=1所以x=1,y=4方法总结1. 二元一次方程与一元一次方程有很多类似的地方，学习时可运用类比的思想方法，比较二元一次方程与一元一次方程有关概念的相同点和不同点. 这样，不但能加深对概念的理解，提高对“元”和“次”的认识，而且能够逐步培养类比分析和归纳、概括的能力.2. 方程组中的两个未知数一般是不能同时求出来的，必须先想办法消去一个未知数，把解方程组的问题转化为解一元一次方程的问题，这种思想方法就叫做“消元法”. 解二元一次方程组的基本思想方法就是通过消元将“二元”转化为“一元”. 代入法、加减法是解二元一次方程组的基本方法，必须灵活运用.二元一次方程组: 二元一次方程组如右图所示这样含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。（两式都写在大括号中）7典型例题例1.下列各方程中，哪个是二元一次方程？（1）8xy=y；（2）xy=3；（3）2xy=9；（4）8x-3=2.分析：此题判断的根据是二元一次方程的定义. 由于方程（2）中含未知数的项xy的次数是2，而不是1，所以xy=3不是二元一次方程；2xy=9是二元一次方程；又因为方程（4）中的不是整式，所以=2也不是二元一次方程.解：方程8xy=y，2xy=9是二元一次方程；xy=3，8x-3=2不是二元一次方程.评析：判定某个方程是不是二元一次方程，可先把它化成一般形式，再根据定义进行判断.例2.已知-1是方程组的解，求m+n的值.分析：因为是方程组的解，所以同时满足方程和方程，将分别代入方程和方程，可得由和可求出m、n的值.解：因为是方程组的解，所以将其代入原方程组中的两个方程仍成立，即解得所以m+n=1+0=1.评析：应该仔细体会“已知方程组的解是”这类已知条件的用法，并加深理解方程组的解的意义.例3.写出二元一次方程4x+y=20的所有正整数解.分析：为了求解方便，先将原方程变形为y=204x，由于题中所要求的解限定于“正整数解”，所以x和y的值都必须是正整数.解：将原方程变形，得y=204x，因为x、y均为正整数，所以x只能取小于5的正整数.当x=1时，y=16；当x=2时，y=12；当x=3时，y=8；当x=4时，y=4.即4x+y=20的所有正整数解是：，.评析：对“所有正整数解”的含义的理解要注意两点：一要正确，二要不重不漏. “正确”的标准是两个未知数的值都必须是正整数，且适合此方程.例4.已知5x+y3+（x2y）²=0，求x和y的值.分析：根据绝对值和平方的意义可知，5x+y30，（x2y）0，由已知条件5x+y3+（x2y）=0可得即从而可求出x和y的值.解：由题意得即解得.评析：非负值相加为零，有且只有它们同时为零.例5.用代入法解方程组：分析：选择其中一个方程，将其变形成y=ax+b或x=ay+b的形式，代入另一个方程求解. 方程中x、y系数相对较小，考虑到x=3y，而y=，显然在下面计算中x=3y代入方程计算简捷.解：由得：x=3y把代入得：3-3y=0;解得：y=1将y=1代入，得：x=2所以这个方程组的解为评析：用代入法解方程组时，（1）选择变形的方程要尽可能较简单，表示的代数式也应尽可能简捷. （2）要对下面的计算进行预见、估计、以选择较好的方法.例6.用加减消元法解方程组分析：题中x、y系数不相同，也不是互为相反数；x的系数为4和6，y的系数为3和4，它们的最小公倍数均为12，都可以变为12或12，选择消去x，还是消去y，其难易程度相当.解：3得：12x+9y=27 2得：12x8y=10 得：17y=17，解得y=1把y=1代入得：x=所以原方程组的解为评析：此题中在选择消去x，还是消去y，关键是：（1）看系数是否有倍数关系，如一个为2x，一个为6x，可把含2x的方程乘以3；（2）在没有倍数、系数的条件下，看x、y系数的最小公倍数哪一个较小，通常消最小公倍数较小的未知数.例七：在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米分别在A、C两个加