15数列综合问题.doc

江苏省2014届一轮复习数学试题选编15：数列综合问题填空题 已知数列满足,则该数列的前20项的和为_.【答案】 2101 . 如图所示的螺旋线是用以下方法画成的,是边长为1的正三角形,曲线分别是为圆心,为半径画的弧,曲线称为螺旋线的第一圈;然后又以A为圆心,半径画弧,如此继续下去,这样画到第圈.设所得螺旋线的总长度为,则=_【答案】 数列的通项,其前项和为,则为_.【答案】470 已知实数a1,a2,a3,a4满足a1a2a3,a1a42a2a4a2,且a1a2a3,则a4的取值范围是_.【答案】 已知,则_.【答案】 个正整数排列如下:1，2,3,4,n2，3,4,5,n+l3，4,5,6, n+2n,n+l,n+2,n+3,2n一1则这个正整数的和S=_.【答案】 设等比数列的公比,表示数列的前n项的和,表示数列的前n项的乘积,表示的前n项中除去第k项后剩余的n-1项的乘积,即,则数列的前n项的和是_(用和q表示)【答案】 已知数列满足,则其前99项和=_.【答案】9 已知数列an的通项公式为an=-n+p,数列bn的通项公式为bn=2n-5.设cn=若在数列cn中,c8cn(nN*,n8),则实数p的取值范围是_.【答案】(12,17) 已知,则第n个等式为_.【答案】 如图所示:矩形的一边在轴上,另两个顶点、在函数的图像上,若点的坐标为),矩形的周长记为,则_.【答案】216数列满足,且 =2,则的最小值为_. 【答案】 解答题设数列满足:是整数,且是关于x的方程的根.(1)若且n2时,求数列an的前100项和S100;(2)若且求数列的通项公式.【答案】 已知数列的各项都为正数,且对任意,都有(k为常数).(1)若,求证:成等差数列;(2)若k=0,且成等差数列,求的值;(3)已知(为常数),是否存在常数,使得对任意都成立?若存在.求出;若不存在,说明理由. 已知数列an和bn满足:,其中为实数,n为正整数.()若数列an前三项成等差数列,求的值;()试判断数列bn是否为等比数列,并证明你的结论;()设0ab,Sn为数列bn的前n项和.是否存在实数,使得对任意正整数n,都有aSnb?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.【答案】()证明:, 由条件可得,所以 ()解:因为bn+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+9=(-1)n+1(an-2n+6) =(-1)n(an-3n+9)=-bn 又b1=,所以 当=-6时,bn=0(nN+),此时bn不是等比数列, 当-6时,b1=0,由上可知bn0,(nN+). 故当-6时,数列bn是以-(+6)为首项,-为公比的等比数列. ()由()知,当=-6,bn=0,Sn=0,不满足题目要求. -6,故知bn= -(+6)(-)n-1,于是可得 Sn= 要使aSnb对任意正整数n成立, 即a-(+6)1-(-)nb(nN+) 当n为正奇数时,1f(n) f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= , 于是,由式得a-(+6) 当a3a时存在实数,使得对任意正整数n,都有aSn0. , , 0,由得, 由题中的、得, , 两式相减得, , 又,得, . (3)记,中非负项和为,负项和为, 则,得, (),即. ()若存在使,由前面的证明过程知: , 且. 记数列的前项和为, 则由()知, =,而, ,从而, 又, 则, , 与不能同时成立, 所以,对于有穷数列,若存在使,则数列和数列不能为阶“期待数列”. 已知数列满足(nN*),且a2=6.(1)求数列an的通项公式;(2)设(nN*,c为非零常数),若数列bn是等差数列,记cn=,Sn=c1+c2+cn,求Sn.【答案】解:(1)由,得(n-1)an+1-(n+1)an=-(n+1),当n2时, 有-=-, 所以,-=-=-(-), 由叠加法,得 当n3时,an=n(2n-1) 把n=1,a2=6代入,得a1=1,经验证:a1=1,a2=6均满足an=n(2n-1). 综上,an=n(2n-1),nN* (2)由(1)可知:bn=,于是b1=,b2=,b3=, 由数列bn是等差数列,得b1+b3=2 b2,即+=,解得c=-(c=0舍去). 此时,bn=2n,所以,数列bn是等差数列.所以c=-满足题意 所以,cn=. 所以Sn=1+,由错位相减法,得Sn=4- 一位幼儿园老师给班上个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为,就先从别处抓2块糖加入盒中,然后把盒内糖果的分给第一个小朋友;再从别处抓2块糖加入盒中,然后把盒内糖果的分给第二个小朋友;,以后她总是在分给一个小朋友后,就从别处抓2块糖放入盒中,然后把盒内糖果的分给第个小朋友.如果设分给第个小朋友后(未加入2块糖果前)盒内剩下的糖果数为.(1)当,时,分别求;(2)请用表示;令,求数列的通项公式;(3)是否存在正整数和非负整数,使得数列成等差数列,如果存在,请求出所有的和,如果不存在,请说明理由.【答案】解:(1)当,时, , , (2)由题意知: , 即, , 累加得, 又, (3)由,得, 若存在正整数和非负整数,使得数列成等差数列, 则, 即, 当时, ,对任意正整数,有成等差数列 注:如果验证不能成等差数列,不扣分 【说明】本题主要考查数列的定义、通项求法;考查反证法;考查递推思想;考查推理论证能力;考查阅读理解能力、建模能力、应用数学解决问题能力.本题还可以设计:如果班上有5名小朋友,每个小朋友都分到糖果,求的最小值. 已知整数的所有3个元素的子集记为A1,A2,AC.(1)当n=5时,求集合A1,A2,AC中所有元素之和;(2)设mi为Ai中的最小元素,设【答案】(1)当n=5时,含元素1的子集中,必有除1以外的两个数字,两个数字的选法有=6个,所以含有数字1的几何有6个.同理含2,3,4,5的子集也各有6个, 于是所求元素之和为(1+2+3+4+5)=615=90 (2)证明:不难得到1min-2,miZ,并且以1为最小元素的子集有个,以2为最小元素的子集有个,以3为最小元素的子集有,以n-2为最小元素的子集有个.则 设是各项均为非零实数的数列的前项和,给出如下两个命题上:命题:是等差数列;命题:等式对任意()恒成立,其中是常数.若是的充分条件,求的值;对于中的与,问是否为的必要条件,请说明理由;若为真命题,对于给定的正整数()和正数M,数列满足条件,试求的最大值.【答案】解:(1)设的公差为,则原等式可化为 所以, 即对于恒成立,所以 (2)当时,假设是否为的必要条件,即“若对于任意的恒成立,则为等差数列”. 当时,显然成立 当时,由-得, ,即. 当时,即、成等差数列, 当时,即.所以为等差数列,即是否为的必要条件 (3)由,可设,所以. 设的公差为,则,所以, 所以, ,所以的最大值为 已知数列,其中(1)求满足=的所有正整数n的集合(2)n16,求数列的最大值和最小值(3)记数列的前n项和为,求所有满足(mn)的有序整数对(m,n)【答案】(1)an+1=|bn|,n-15=|n-15|,当n15时,an+1=|bn|恒成立, 当n16时,n取偶数=1+ 当n=18时()max=无最小值 n取奇数时=-1- n=17时()min=-2无最大值 (ii)当n15时,bn=(-1)n(n-15),a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 (2k-16) 0,其中a15b15+a16b16=0 S16=S14 m=7, n=8 如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为，刚开始时，棋子在上底面点A处，若移了n次后，棋子落在上底面顶点的概率记为pn（1）求p1，p2的值；（2）求证：ABCDEF（第23题）【答案】解（1）p1，p2(1) 2分（2）因为移了n次后棋子落在上底面顶点的概率为pn，故落在下底面顶点的概率为1pn于是移了n1次后棋子落在上底面顶点的概率为pn+1pn(1pn)pn 4分从而pn+1(pn)所以数列pn是等比数列，其首项为，公比为所以pn()n1即pn 6分用数学归纳法证明：当n1时，左式，右式，因为，所以不等式成立当n2时，左式，右式，因为，所以不等式成立假设nk(k2)时，不等式成立，即则nk1时，左式要证，只要证只要证只要证只要证3k+12k26k2因为k2，所以3k+13(12)k3(12k4C)6k232k26k22k(2k3)12k26k2，所以即nk1时，不等式也成立由可知，不等式对任意的nN*都成立 10分已知数列满足,.(1)求,猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明;(2)设,比较与的大小.【答案】 已知数列是首项为1,公差为的等差数列,数列是首项为1,公比为的等比数列.(1)若,求数列的前项和;(2)若存在正整数,使得.试比较与的大小,并说明理由.【答案】解:(1)依题意, 故, 所以, 令, 则, 得, , 所以 (2)因为, 所以,即, 故, 又, 所以 ()当时,由知 , ()当时,由知 , 综上所述,当时,;当时,;当时,. (注:仅给出“时,;时,”得2分.) 设无穷数列满足：，.记.（1）若，求证：=2，并求的值；（2）若是公差为1的等差数列，问是否为等差数列，证明你的结论【解】（1）因为，所以若，则矛盾，若，可得矛盾，所以 4分于是，从而 7分（2）是公差为1的等差数列，证明如下： 9分时，所以， ，13分即，由题设，又，所以，即是等差数列16分设为部分正整数组成的集合,数列的首项,前项和为,已知对任意的整数,当整数时,都成立.(1)设,求的值;(2)设,求数列的通项公式.【答案】【命题立意】本小题考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识,考查考生分析探究及逻辑推理的能力. 【解析】(1)由题设知,当时,即,从而.又,故当时,.所以的值为8. (2)由题设知,当且时,且. 两式相减得,即. 所以当时,成等差数列,且也成等差数列. 从而当时, (*) 且,所以当时,即,于是当时,成等差数列,从而,故由(*)式知,即.当时,设. 当时,从而由(*)式知,故. 从而,于是. 因此,对任意的都成立.又由可知.故,解得,.因此数列为等差数列.由. 所以数列的通项公式为. 已知数列的前项和为且,数列为等比数列,且=l,=64.(1)求数列,的通项公式;(2)若数列满足,求数列的前项和;(3)在(2)的条件下, 数列中是否存在三项,使得这三项成等差数列?若存在,求出此三项,若不存在,说明理由.【答案】 已知，是函数图象上的两点，且，点共线，且 (1)求点坐标(2)若 求（3）若，记为数列前n项的和，若时，对一切都成立，试求的取值范围。【答案】解（1）共线且,又（2）（3）令 已知数列 和满足 ,的前项和为.()当m=1时,求证:对于任意的实数一定不是等差数列; () 当时,试判断是否为等比数列;()在()条件下,若对任意的恒成立,求实数的范围. 【答案】解:(1) (2) (3),不成立 当时 当为奇数时,当为偶数 从而求得 已知数列,且满足().(1)若,求数列的通项公式;(2)若,且.记,求证:数列为常数列;(3)若,且,.求数列的前项和.【答案】,解:() ()先证,即, 然后 ,数列为常数列 () 已知数列满足且(1)计算的值,由此猜想数列的通项公式,并给出证明;(2)求证:当时,【答案】,猜想: 当时,结论成立; 假设当时,结论成立,即, 则当时, 即当时,结论也成立,由得,数列的通项公式为 原不等式等价于. 证明:显然,当时,等号成立; 当时, , 综上所述,当时, 设数列,即当时,记,对于,定义集合(1)求集合中元素的个数; (2)求集合中元素的个数.【答案】本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力. (1)解:由数列的定义得:, , , 集合中元素的个数为5 (2)证明:用数学归纳法先证 事实上, 当时, 故原式成立 假设当时,等式成立,即 故原式成立 则:,时, 综合得: 于是 由上可知:是的倍数 而,所以是 的倍数 又不是的倍数, 而 所以不是的倍数 故当时,集合中元素的个数为 于是当时,集合中元素的个数为 又 故集合中元素的个数为 已知Sn=1+.(1)求S2,S4的值;(2)若Tn=,试比较与Tn的大小,并给出证明.【答案】解:(1)S2=1+=,S4=1+= (2)当n=1,2时,T1=,T2=,所以,=Tn. 当n=3时,T3=,S8=1+=T3. 于是,猜想,当n3时,Tn 下面用数学归纳法证明: 当n3,显然成立; 假设n=k(k3)时,Tk; 那么,当n=k+1时,=+ +(+)+(+) +2k-1+2k-1=+=, 这就是说,当n=k+1时,Tn. 根据、可知,对任意不小于3的正整数n,都有Tn. 综上,当n=1,2时,Tn;当n3时,Tn 已知数列an中,a1=2,nN+,an0,数列an的前n项和Sn,且满足.()求Sn的通项公式;()设bk是Sn)中的按从小到大顺序组成的整数数列.(1)求b3;(2)存在N(NN+),当nN时,使得在Sn中,数列bk有且只有20项,求N的范围.【答案】 设数列,对任意都有,(其中、是常数).(1)当,时,求;(2)当,时,若,求数列的通项公式;(3)若数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.当,时,设是数列的前项和,试问:是否存在这样的“封闭数列” ,使得对任意,都有,且.若存在,求数列的首项的所有取值;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)当,时, , 用去代得, -得, 在中令得,则0, 数列是以首项为1,公比为3的等比数列, = (2)当,时, 用去代得, -得, , 用去代得, -得,即, 数列是等差数列. ,公差, (3)由(2)知数列是等差数列,. 又是“封闭数列”,得:对任意,必存在使 , 得,故是偶数, 又由已知,故. 一方面,当时, ,对任意,都有. 另一方面, 当时, 则, 取,则,不合题意 当时,则 , 当时, , 又,或或或 已知数列满足,.(1)证明:();(2)证明:.【答案】(1)因为所以 假设当时,因为, 所以,由数学归纳法知,当时 (2)由(1)知,得, 所以所以即 所以,以此类推,得,问题得证 已知数列的相邻两项,是关于的方程的两根,且.(1)求证:数列是等比数列;(2)设是数列的前项和,问是否存在常数,使得对任意都成立,若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1) ,是关于的方程的两根, . 由,得, 故数列是首项为,公比为的等比数列 . (2)由(1)得, 即. 又 . 要使对任意都成立有: 当为正奇数时,有: , 所以有: ,即,对任意正奇数都成立. 又因为单调递增,所以当时,有最小值1. . 当为正偶数时,有: , 即: 即: ,又因为 所以有: ,即对任意正偶数都成立. 单调递增, 所以当时,有最小值. . 综上所述,在常数,使得对任意都成立,的取值范围是 . 已知且令且对任意正整数,当时,当时,(1)求数列的通项公式;(2)若对任意的正整数,恒成立,问是否存在使得为等比数列?若存在,求出满足的条件;若不存在,说明理由;(3)若对任意的正整数且求数列的通项公式.【答案】当时, 且, 所以, 又当时,且, , 因此,数列是以为首项,为公比的等比数列, 所以, 因为,所以,所以, , 假设存在,使得能构成等比数列,则, 故,化简得,与题中矛盾, 故不存在,使得为等比数列 因为且,所以 所以 所以, 由知,所以 , , 所以, 已知数列an的首项a1=a,Sn是数列an的前n项和,且满足:S=3n2an+S,an0,n2,nN*.(1)若数列an是等差数列,求a的值;(2)确定a的取值集合M,使aM时,数列an是递增数列.【答案】解:(1)在S=3n2an+S中分别令n=2,n=3,及a1=a得(a+a2)2=12a2+a2,(a+a2+a3)2=27a3+(a+a2)2,因为an0,所以a2=12-2a,a3=3+2a 因为数列an是等差数列,所以a1+a3=2a2,即2(12-2a)=a+3+2a,解得a=3 经检验a=3时,an=3n,Sn=,Sn-1=满足S=3n2an+S.(2)由S=3n2an+S,得S-S=3n2an,即(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=3n2an,即(Sn+Sn-1)an=3n2an,因为an0,所以Sn+Sn-1=3n2,(n2), 所以Sn+1+Sn=3(n+1)2,-,得an+1+an=6n+3,(n2). 所以an+2+an+1=6n+9,-,得an+2-an=6,(n2)即数列a2,a4,a6,及数列a3,a5,a7,都是公差为6的等差数列, 因为a2=12-2a,a3=3+2a.所以an= 要使数列an是递增数列,须有a1a2,且当n为大于或等于3的奇数时,anan+1,且当n为偶数时,anan+1,即a12-2a,3n+2a-63(n+1)-2a+6(n为大于或等于3的奇数),3n-2a+63(n+1)+2a-6(n为偶数),解得a0,所以只要证明当时不等式成立即可. 而 当时, 当时,由于0,所以k),都有+=2成立,求数列an的通项公式;(3)记bn=a (a0),求证:.【答案】解(1)设等差数列an的公差为d,则Sn=na1+d,从而=a1+d. 所以当n2时,-=(a1+d)-(a1+d)=.即数列是等差数列 (2)因为对任意正整数n,k(nk),都有+=2成立,所以+=2,即数列是等差数列 设数列的公差为d1,则=+(n-1)d1=1+(n-1)d1,所以Sn=1+(n-1)d12,所以当n2时,an=Sn-Sn-1=1+(n-1)d12-1+(n-2)d12=2dn-3d+2d1,因为an是等差数列,所以a2-a1=a3-a2,即(4d-3d+2d1)-1=(6d-3d+2d1)-(4d-3d+2d1),所以d1=1,即an=2n-1.又当an=2n-1时,Sn=n2,+=2对任意正整数n,k(nk)都成立,因此an=2n-1 (3)设等差数列an的公差为d,则an=a1+(n-1)d,bn=a,所以=a-=ad,即数列bn是公比大于0,首项大于0的等比数列 记公比为q(q0).以下证明:b1+bnbp+bk,其中p,k为正整数,且p+k=1+n.因为(b1+bn)-(bp+bk)=b1+b1qn-1-b1qp-1-b1qk-1=b1(qp-1-1)( qk-1-1).当q1时,因为y=qx为增函数,p-10,k-10,所以qp-1-10,qk-1-10,所以b1+bnbp+bk.当q=1时,b1+bn=bp+bk.当0q1时,因为y=qx为减函数,p-10,k-10,所以qp-1-10,qk-1-10,所以b1+bnbp+bk.综上,b1+bnbp+bk,其中p,k为正整数,且p+k=1+n 所以n(b1+bn)=(b1+bn)+(b1+bn)+(b1+bn)(b1+bn)+(b2+bn-1)+(b3+bn-2)+(bn+b1)=(b1+b2+bn)+(bn+bn-1+b1),即 已知数列中,且点在直线上.(1)求数列的通项公式; (2)求函数的最小值;(3)设表示数列的前项和.试问:是否存在关于的整式,使得对于一切不小于2的自然数恒成立? 若存在,写出的解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由.【答案】解:(1)由点P在直线上, 即, 且,数列是以1为首项,1为公差的等差数列 ,同样满足,所以 (2) 所以是单调递增,故的最小值是 (3),可得, , ,n2 故存在关于n的整式g(x)=n,使得对于一切不小于2的自然数n恒成立 已知数列an满足:.(1)若,求数列an的通项公式;(2)若,试证明:对,an是4的倍数.【答案】解