二次函数的图象与性质

第课时1.经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验.2.能够利用描点法作出函数y=x2的图象,能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.3.能够作出二次函数y=-x2的图象,并能够比较它与y=x2图象的异同,初步建立二次函数表达式与图象之间的联系.1.在讨论函数图象的过程中,进一步提高学生运用描点法画函数图象的能力.2.充分运用函数图象认识和理解二次函数的性质,提高发现问题、分析问题和解决问题的能力.1.激发学生学习数学的兴趣,体会学习数学的快乐.2.通过学生之间互相交流合作,让学生学会与人合作,并能与他人交流思维的过程,培养学生的合作交流意识.【重点】作出函数y=x2的图象,并根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.【难点】类比函数y=x2的图象及性质学习y=-x2的图象及性质,并能比较出它们的异同点.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习利用描点法画函数图象的方法及一次函数和反比例函数的图象与性质.导入一:课件出示:是什么样的?【学生分析】运行路线先高后低,有一定的弧度,整体是弧形.【引入】这种运行路线所形成的图形在我们日常生活中无处不在,比如喷泉流经过的路线、一些拱形桥的桥拱的形状、导弹运行的路线等.问题这和我们以前所学的函数图象一样吗?设计意图通过学生生活中常见的一些物体的运动轨迹引出二次函数的图象,激发学生学习兴趣,提出本节课学习的内容,课堂效果非常好.导入二:思考下面的问题:在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么?你想直观地了解它的性质吗?【师生活动】复习一次函数与反比例函数中y随x的变化而变化的规律及其性质.【学生活动】猜想二次函数的图象及其性质,并与其他同学进行交流.设计意图开门见山,直入正题,既揭示了本节课的主题,又通过对旧知识的复习,明确了本节课的探究任务.过渡语我们在前面学习了正比例函数、一次函数的图象都是一条直线,反比例函数的图象是双曲线,那么二次函数的图象是什么样的呢?一、画二次函数y=x2的图象老师引导学生回忆:画函数图象的一般步骤是什么?【学生活动】1.回忆画函数图象的步骤:列表,描点,连线.2.按上面的步骤画出y=x2的图象.代表展示:(1)列表.x-3-2-10123y=x29410149(2)在直角坐标系中描点.(3)用光滑的曲线连接各点.【师生活动】共同订正学生画图过程中所出现的错误.二、二次函数y=x2的性质课件出示:【议一议】对于二次函数y=x2的图象:(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.(2)图象与x轴有交点吗?如果有,交点坐标是什么?(3)当x0时呢?(4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?(5)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴进行交流.思路一【师生活动】要求学生认真观察图象,分组完成5个问题.【学生活动】先独立解决问题后与同伴交流,然后小组内统一答案.代表依次发言.【教师点评】二次函数y=x2的图象是一条抛物线,它的开口方向向上,且关于y轴对称.对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点,它是图象的最低点.思路二【教师明确】二次函数的性质基本上从:开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值这五个方面研究.【师生活动】根据对5个问题的探究,完成下面的表格.二次函数y=x2的性质函数表达式y=x2大致图象开口方向向上对称轴y轴(或直线x=0)顶点坐标原点(0,0)增减性当x0时,y随x的增大而增大最值当x=0时,y有最小值,最小值是0设计意图让学生结合图象回答问题,在图象中找出答案,有助于理解和记忆,体会数形结合思想.此外,通过小组交流解决问题,进一步培养了团结协作能力.三、再探新知过渡语我们知道了二次函数y=x2的图象的形状,那么二次函数y=-x2的图象又是什么样的呢?【做一做】二次函数y=-x2的图象是什么形状?先想一想,然后画出它的图象.它与二次函数y=x2的图象有什么关系?与同伴进行交流.【学生活动】要求学生类比画y=x2图象的操作步骤,独立画出函数y=-x2的图象.代表板演.【教师活动】出示下面四种不同类型的图象,学生找出正确的图象,并指出其他图象的错误.【师生总结】画二次函数图象的注意事项:(1)列表时,选取的自变量的值,应以O为中心,左边取-1,-2,-3,右边对应取1,2,3(取互为相反数的一对数),不要一边多,一边少,不对称.(2)描点时要严格按照表中所列的对应值描点,绝对不能把点的位置描错.(3)按自变量从小到大的顺序依次画线,连线时用光滑的曲线连接各点,不能用折线连接.(4)图象是延伸的,不要画成有明确的端点.【类比归纳】类比y=x2的性质总结出y=-x2的性质.函数表达式y=-x2大致图象开口方向向下对称轴y轴(或直线x=0)顶点坐标原点(0,0)增减性当x0时,y随x的增大而减小最值当x=0时,y有最大值,最大值是0设计意图利用类比的方法,让学生根据前面所作图象,用表格的形式归纳总结出二次函数y=-x2的图象及性质,训练学生分析问题、解决问题的能力,并学会数学中最常用到的数学思想类比思想.知识拓展二次函数y=x2的图象与二次函数y=-x2的图象的关系:(1)二次函数y=x2的图象与二次函数y=-x2的图象关于x轴对称.(2)如果把两个图象看成一个图形,这个图形是中心对称图形,对称中心是坐标原点.1.二次函数y=x2与二次函数y=-x2的图象及其性质.2.二次函数y=x2与二次函数y=-x2的图象的异同点.1.下列说法正确的是()A.二次函数y=x2图象上的点,其纵坐标的值随着x值的增大而增大B.二次函数y=-x2图象上的点,其纵坐标的值随着x值的增大而增大C.二次函数y=x2与y=-x2的图象开口方向不同,其对称轴都是y轴,y值都随着x值的增大而增大D.当x0时,y=-x2中y随x的增大而减小解析:二次函数y=x2的函数图象在对称轴左右两边的增减性是不一样的,所以A,B,C均不正确.故选D.2.已知点A(2,a),B(b,9)在抛物线y=x2上,则a=,b=.解析:分别把x=2和y=9代入y=x2,解得a=4,b=3.答案:433.通过列表、描点、连线的方法画函数y=-x2的图象.解:列表:x-3-2-10123y-9-4-10-1-4-9描点,连线,如图所示.第1课时函数y=x2y=-x2开口方向向上向下对称轴y轴(或直线x=0)顶点坐标原点(0,0)最值当x=0时,有最小值,为0当x=0时,有最大值,为0增减性当x0时,y随x的增大而增大;当x0时,y随x的增大而减小;当x0时,y随x的增大而增大一、教材作业【必做题】教材第34页习题2.2第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.抛物线y=x2与y=-x2的关系是()A.开口方向不同,顶点相同,对称轴相同B.开口方向不同,顶点不同,对称轴相同C.开口方向相同,顶点相同,对称轴相同D.开口方向相同,顶点不同,对称轴不同2.如图所示,A,B分别为抛物线y=x2上两点,且线段ABy轴,若AB=6,则直线AB的表达式为()A.y=3B.y=6C.y=9D.y=363.函数y=x2与y=-x2的图象关于对称,也可以认为函数y=-x2的图象是函数y=x2的图象绕旋转得到.4.若二次函数y=-x2的图象过A(-2,y1),B(-1,y2),C(5,y3)三点,判断y1,y2,y3的大小关系.【能力提升】5.二次函数y=-x2和一次函数y=x-1在同一坐标系的大致图象为()6.已知a-1,点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=x2的图象上,则()A.y1y2y3B.y1y3y2C.y3y2y1D.y2y1y37.二次函数y=m的图象有最高点,则m=.8.函数y=mx|m|+1是关于x的二次函数.(1)求满足条件的m值;(2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点.这时,当x为何值时,y随x的增大而增大?(3)m为何值时,函数有最大值?最大值是多少?这时,当x为何值时,y随x的增大而减小?【拓展探究】9.二次函数y=x2与一次函数y=2x+3的图象交于A,B两点,在下面的直角坐标系中画出图象,并求SAOB.【本节课首先利用生活中学生所熟悉的抛物线图片,让学生感受到抛物线的美与实用性,激发了学生的学习欲望与积极性,因而学生很投入.学生已经掌握了画函数图象的一般步骤(列表,描点,连线),为本节课的教学奠定了良好的基础.本节课的一个难点是用光滑的曲线连接各点.初学时,学生会感觉有难度,往往会画成折线,所以通过设置一些问题让学生进一步讨论交流:列表时注意对称取点,用光滑曲线连接各点,注意图象的对称性等过程后就可以突破这一难点了.对于y=-x2的图象与性质,利用类比y=x2的图象与性质的方法进行探究,取得了非常好的效果.最后可以利用表格形式让学生对本节课进行小结,目的是对本节课知识进行回顾,同时也便于比较两个图象的异同.在“用光滑的曲线连线”时老师没有进行演示,所以学生对光滑的理解不透彻,连出的图象成了折线.利用几何画板或者课件进行演示二次函数