高考数学一轮复习专题2.14参数的分类讨论练习（含解析）.docx

第15讲 参数的分类讨论【套路秘籍】-千里之行始于足下用分类讨论思想研究函数的单调性含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：方程f(x)0是否有根；若f(x)0有根，求出根后判断其是否在定义域内；若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一一次函数型【例1】已知常数a0，f(x)aln x2x.当f(x)的最小值不小于a时，求实数a的取值范围【答案】见解析【解析】因为f(x)，所以当a0，x(0，)时，f(x)0，即f(x)在(0，)上单调递增，没有最小值；当a0得，x，所以f(x)在上单调递增；由f(x)0得，0x，所以f(x)在上单调递减所以当a0时，f(x)的最小值为f aln2.根据题意得f aln2a，即aln(a)ln 20.因为a0，所以ln(a)ln 20，解得2a0，所以实数a的取值范围是2,0)【套路总结】用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤第一步：(求导数)求函数f(x)的导数f(x)；第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范【举一反三】1.已知函数f(x)kln x，k，求函数f(x)在上的最大值和最小值【答案】见解析【解析】f(x).若k0，则f(x)，在上恒有f(x)0，所以f(x)在上单调递减若k0，则f(x).()若k0，则在上恒有0，由ke，则x0在上恒成立，所以0，所以f(x)在上单调递减综上，当k0时，求函数f(x)在1,2上的最小值【答案】见解析【解析】(1)f(x)a(x0)，当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的单调增区间为(0，)当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x0；当x时，f(x)0时，函数f(x)的单调增区间为，单调减区间为(2)当1，即a1时，函数f(x)在1,2上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)ln 22a.当2，即0a时，函数f(x)在1,2上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)a.当12，即a1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数又f(2)f(1)ln 2a，所以当aln 2时，最小值是f(1)a；当ln 2a1时，最小值为f(2)ln 22a.综上可知，当0a0，f(x)12ax2+1，求a的取值范围.【答案】(1) f(x)极小值=1，无极大值；(2) (-,1.【解析】（）令f(x)=ex-1=0，x=0x(-,0)0(0,+)f(x)-0+f(x)极小值f(x)极小值=f(0)=1，无极大值；（II）对任意x0，f(x)12ax2+1即ex-x-12ax2-10，设g(x)=ex-x-12ax2-1，g(x)=ex-1-ax，当a0时，g(x)单调递增，g(0)=0,g(x)0,g(x)单调递增，g(x)g(0)=0，成立；当00，g(x)单调递增，g(0)=0,g(x)0,g(x)单调递增，g(x)g(0)=0，成立；当a1时，当0xlna时，h(x)=ex-a0，g(x)单调递减，g(0)=0,g(x)0,g(x)单调递减，g(x)0；当x(1,0)时，f(x)0.故f(x)在(，1)，(0，)上单调递增，在(1,0)上单调递减(2)由题意，函数f(x)x(ex1ax)，令g(x)ex1ax，则g(x)exa，若a1，则当x(0，)时，g(x)0，g(x)为增函数，而g(0)0，从而当x0时，g(x)0，即f(x)0，若a1，则当x(0，ln a)时，g(x)0，g(x)为减函数，而g(0)0，从而当x(0，ln a)时，g(x)0，即f(x)0，不符合题意，综上，实数a的取值范围为(，1考向三对数型函数中的参数【例3】已知函数f(x)=x+alnx（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；（2）求f(x)的单调区间【答案】（1）2x-y-1=0；（2）当a0时，f(x)的单调增区间是0,+；当a0所以，f(1)=2，所以切线方程为（2）f(x)=x+ax(x0)当a0时，在x(0,+)时f(x)0，所以f(x)的单调增区间是0,+；当a0时，函数f(x)与f（x)在定义域上的情况如下：x(0,-a)(-a,+)f（x)-0+f(x)极小值所以f(x)的单调递减区间是(0,-a)；递增区间是(-a,+)综上所述：当a0时，f(x)的单调增区间是0,+；当a0，所以fx在0,+上单调递增，无极值点，当a0时，解fx=1x-a0得0x1a，解fx=1x-a1a，所以fx在0,1a上单调递增，在1a,+上单调递减，所以函数fx有极大值点1a，无极小值点.（2）由条件可得lnx-x2-ax0(x0)恒成立，则当x0时，alnxx-x恒成立，令hx=lnxx-x(x0)，则hx=1-x2-lnxx2，令kx=1-x2-lnx(x0)，则当x0时，kx=-2x-1x0；在1,+上，hx0.所以hx在0,1上为增函数；在1,+上为减函数.所以hxmax=h1=-1，所以a-1.2已知函数f(x)=(1+a)x2-lnx-a+1(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a0时，函数y=xf(x)的图像恒在函数y=lnx+(1+a)x3-x2的图像上方.【答案】（1）见解析；（2）见证明【解析】(1)函数的定义域为0,+且fx=21+ax-1x=21+ax2-1x当a-1时，fx-1时，令fx=0，解得x=21+a21+a此时函数fx在0,21+a21+a上递减，在21+a21+a,+上递增(2)证明：若a0时，问题转化为不等式xfxlnx+1+ax3-x2在0,+上恒成立只需要证明x1+ax-lnx-a+1lnx+1+ax3-x2在0,+上恒成立即证lnx-xlnxx-a+1在0,+上恒成立令Fx=lnx-x,gx=-lnxx-a+1因为Fx=1x-1=1-xx，易得Fx在0,1单调递增，在1,+上单调递减，所以FxF1=-1又gx=-1-lnxx2=lnx-1x2，当0xe时，gxe时，gx0，所以gx在0,e上递减，在e,+上递增，所以gxge=-1e-a+1又a-1e-1即Fxmaxgxmin，所以lnx-xlnxx-a+1在0,+上恒成立所以当a0，得0x1，由g(x)1.当a0时，令g(x)0，得x1或x，若，由g(x)0，得x1或0x，由g(x)0，得x1，即0a0，得x或0x1，由g(x)0，得1x，若1，即a，在(0，)上恒有g(x)0.综上可得：当a0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0a时，函数g(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，)上单调递增2. 已知函数f(x)x2eax1(a是常数)，求函数yf(x)的单调区间【答案】见解析【解析】根据题意可得，当a0时，f(x)x21，f(x)2x，函数在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减当a0时，f(x)2xeaxx2(a)eaxeax(ax22x)因为eax0，所以令g(x)ax22x0，解得x0或x.当a0时，函数g(x)ax22x在(，0)和上有g(x)0，即f(x)0，函数yf(x)单调递减；函数g(x)ax22x在上有g(x)0，即f(x)0，函数yf(x)单调递增当a0，即f(x)0，函数yf(x)单调递增；函数g(x)ax22x在上有g(x)0，即f(x)0，函数yf(x)单调递减综上所述，当a0时，函数yf(x)的单调增区间为(0，)，单调减区间为(，0)；当a0时，函数yf(x)的单调减区间为(，0)，单调增区间为；当a0（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)在定义域内有两个极值点x1，x2，求证：fx1+fx23-2ln2.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）由题意得：fx的定义域为0,+，fx=-1x-2ax+1=-2ax2+x-1xx0令gx=-2ax2+x-1a0，=1-8a当=1-8a0，即a18时，gx0恒成立即：fx0fx在0,+上单调递减当=1-8a0，即0a18时令gx=0，解得：x1=-1+1-8a2-4a=1-1-8a24a，x2=1+1-8a24a当x0,x1x2,+时，gx0，即fx0，即fx0fx在0,1-1-8a24a，1+1-8a24a,+上单调递减；在1-1-8a24a,1+1-8a24a上单调递增（2）fx在定义域上有两个极值点x1,x2由（1）知0a18且x1,x2是方程-2ax2+x-1=0的两个不等实根则x1+x2=12a，x1x2=12afx1+fx2=ln1x1-ax12+x1+ln1x2-ax22+x2=ln1x1x2-ax1+x22-2x1x2+x1+x2=ln2a-a14a2-1a+12a=ln2a+14a+1设va=ln2a+14a+1，则v(a)=4a-14a20a184a-10vav18=ln14+2+1=3-2ln2则fx1+fx23-2ln2成立【举一反三】已知函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，证明：.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）解：由题得，其中，考察，其中对称轴为，.若，则，此时，则，所以在上单调递增；若，则，此时在上有两个根，且，所以当时，则，单调递增；当时，则，单调递减；当时，则，单调递增，综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.（2）证明：由（1）知，当时，有两个极值点，且，所以.令，则只需证明，由于，故在上单调递减，所以.又当时，故，所以，对任意的，.综上，可得.考向六导数与不等式【例6】已知函数f(x)1，g(x)xln x.(1)证明：g(x)1；(2)证明：(xln x)f(x)1.【答案】见解析【解析】(1)由题意得g(x)(x0)，当0x1时，g(x)1时，g(x)0，即g(x)在(0,1)上为减函数，在(1，)上为增函数所以g(x)g(1)1，得证(2)由f(x)1，得f(x)，所以当0x2时，f(x)2时，f(x)0，即f(x)在(0,2)上为减函数，在(2，)上为增函数，所以f(x)f(2)1(当x2时取等号)又由(1)知xln x1(当x1时取等号)，所以等号不同时取得，所以(xln x)f(x)1.【套路总结】一证明不等式的基本步骤是：(1)将不等式构造成f(x)0(或0)的形式；(2)利用导数将函数yf(x)在所给区间上的最小值(或最大值)求出；(3)证明函数yf(x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)即可证得原不等式成立(4)证明f(x)g(x)的一般方法是证明h(x)f(x)g(x)0(利用单调性)，特殊情况是证明f(x)ming(x)max(最值方法)，但后一种方法不具备普遍性5)证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式，一种方法为变换不等式使两个变元成为一个整体，另一种方法为转化后利用函数的单调性，如不等式f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)对x10时，fx2elnx+1.【答案】（1）a=-1，b=0；（2）详见解析.【解析】（1）因为fx=x+1ex+2ax-1，函数fx在点0,f0处的切线方程的斜率为3，所以f0=1-2a=3，解得a=-1.又f0=-1，所以-0-12+b=-1，解得b=0.（2）由（1）得fx=xex-x-12.设gx=fx-2elnx-1=xex-2elnx-x-12-1，则gx=x+1ex-2ex-2x-1.令hx=x+1ex-2ex-2x-1，x0，则hx=x+2ex+2ex2+2.所以当x0,+时，hx0，故hx在0,+上单调递增.又h1=0，所以当x0,1时，gx0.所以gx在0,1上单调递减，在1,+上单调递增.所以当x=1时，gx取得最小值g1=e-10.所以gx0，即fx2elnx+1.2. 已知函数f(x)xln xex1.(1)求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)证明：f(x)sin x在(0，)上恒成立【答案】见解析【解析】(1)解依题意得f(x)ln x1ex，又f(1)1e，f(1)1e，故所求切线方程为y1e(1e)(x1)，即y(1e)x.(2)证明依题意，要证f(x)sin x，即证xln xex1sin x，即证xln xexsin x1.当00，xln x0，故xln xexsin x1，即f(x)1时，令g(x)exsin x1xln x，故g(x)excos xln x1.令h(x)g(x)excos xln x1，则h(x)exsin x，当x1时，exe11，所以h(x)exsin x0，故h(x)在(1，)上单调递增故h(x)h(1)ecos 110，即g(x)0，所以g(x)在(1，)上单调递增，所以g(x)g(1)esin 110，即xln xexsin x1，即f(x)sin x.综上所述，f(x)0)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)讨论函数f(x)在区间(1，e2)上零点的个数(e为自然对数的底数)【答案】见解析【解析】(1)f(x)2a2ln xx2，f(x)2x，x0，a0，当0x0，当xa时，f(x)0.f(x)的单调增区间是(0，a)，单调减区间是(a，)(2)由(1)得f(x)maxf(a)a2(2ln a1)讨论函数f(x)的零点情况如下：当a2(2ln a1)0，即0a时，函数f(x)无零点，在(1，e2)上无零点；当a2(2ln a1)0，即a时，函数f(x)在(0，)内有唯一零点a，而1a0，即a时，由于f(1)10，f(e2)2a2ln(e2)e44a2e4(2ae2)(2ae2)，当2ae20，即a时，1ae2，f(e2)时，f(e2)0，而且f()2a2ea2e0，f(1)10，由函数的单调性可知，无论ae2，还是ae2，f(x)在(1，)内有唯一的零点，在(，e2)内没有零点，从而f(x)在(1，e2)内只有一个零点综上所述，当0a时，函数f(x)在区间(1，e2)上无零点；当a或a时，函数f(x)在区间(1，e2)上有一个零点；当a0，当a0时，f(x)0，函数f(x)的增区间为(0，)；当a0时，f(x)，令f(x)0，因为x0，所以x0，所以x，所以函数f(x)的单调增区间为(，)综上，当a0时，f(x)的单调增区间为(0，)；当a0时，f(x)的单调增区间为(，)(2)由(1)知，若a0，f(x)在(0，)上为增函数，函数f(x)至多有一个零点，不合题意若a0，当x(0，)时，f(x)0，f(x)在(，)上为增函数，所以f(x)minf()aaln aa(1ln a)要使f(x)有两个零点，则f(x)mina(1ln a)e.下面证明：当ae时，函数f(x)有两个零点因为ae，所以1(0，)，而f(1)0，所以f(x)在(0，)上存在唯一零点方法一又f(a)ea2aa(ea12ln a)，令h(a)ea12ln a，ae，h(a)e0，所以h(a)在(e，)上单调递增，所以h(a)h(e)e230，所以f(x)在(，)上也存在唯一零点综上，当ae时，函数f(x)有两个零点所以当f(x)有两个零点时，实数a的取值范围为(e，)方法二先证x(1，)有ln xx2axa.因为ae，所以aa.因为(a)2a(a)a0.所以f(a)0，所以f(x)在(，)上也存在唯一零点；综上，当ae时，函数f(x)有两个零点所以当f(x)有两个零点时，实数a的取值范围为(e，)2 .已知函数f(x)xln x，g(x)x2ax3(a为实数)，若方程g(x)2f(x)在区间上有两个不等实根，求实数a的取值范围【答案】见解析【解析】由g(x)2f(x)，可得2xln xx2ax3，ax2ln x，设h(x)x2ln x(x0)，所以h(x)1.所以x在上变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x1(1，e)h(x)0h(x)极小值又h3e2，h(1)4，h(e)e2.且h(e)h42e0.所以h(x)minh(1)4，h(x)maxh3e2，所以实数a的取值范围为40)，由f(x)0，得xe.当x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增，当xe时，f(x)取得极小值f(e)ln e2，f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)f(x)(x0)，令g(x)0，得mx3x(x0)设(x)x3x(x0)，则(x)x21(x1)(x1)，当x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递增；当x(1，)时，(x)时，函数g(x)无零点；当m时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)无零点；当m或m0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m0，则由f(x)0得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0.故f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增若a0，则由f(x)0得xln.当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递减，在上单调递增综上所述，当a0时，f(x)在(，)上单调递增；当a0时，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增；当a0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增3.已知函数f(x)x3ax1，试讨论f(x)的单调性【答案】见解析【解析】f(x)3x2a.当a0时，f(x)0，所以f(x)在(，)上为增函数当a0时，令3x2a0，得x；当x或x时，f(x)0；当x时，f(x)0.因此f(x)在(，)，(，)上为增函数，在(，)上为减函数综上可知，当a0时，f(x)在R上为增函数；当a0时，f(x)在(，)，(，)上为增函数，在(，)上为减函数4.已知函数f(x)k，若x2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围_【答案】(，e【解析】因为函数f(x)k，所以函数f(x)的定义域是(0，)，所以f(x)k.因为x2是函数f(x)的唯一一个极值点，所以x2是yf(x)的唯一变号零点所以yk在(0，)上无变号零点，设g(x)k，则g(x).当x(0,1)时，g(x)0，所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以g(x)ming(1)ek，若g(x)在(0，)上无变号零点，则需要g(x)0在(0，)上恒成立，所以g(x)min0，即ek0，即ke，所以若x2是函数f(x)的唯一一个极值点，则应需ke.5.已知函数f(x)ex1xax2.(1)当a0时，求证：f(x)0；(2)当x0时，若不等式f(x)0恒成立，求实数a的取值范围【答案】见解析【解析】(1)证明当a0时，f(x)ex1x，f(x)ex1.当x(，0)时，f(x)0.故f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，f(x)minf(0)0，f(x)0.(2)解f(x)ex12ax，令h(x)ex12ax，则h(x)ex2a.当2a1，即a时，在0，)上，h(x)0，h(x)单调递增，h(x)h(0)，即f(x)f(0)0，f(x)在0，)上为增函数，f(x)f(0)0，当a时满足条件当2a1，即a时，令h(x)0，解得xln(2a)，在0，ln(2a)上，h(x)0，h(x)单调递减，当x(0，ln(2a)时，有h(x)h(0)0，即f(x)f(0)0，f(x)在区间(0，ln(2a)上为减函数，f(x)f(0)0，不合题意综上，实数a的取值范围为.6已知函数f(x)axex(aR)，g(x).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)x(0，)，使不等式f(x)g(x)ex成立，求a的取值范围【答案】见解析【解析】(1)因为f(x)aex，xR.当a0时，f(x)0时，令f(x)0，得xln a.由f(x)0，得f(x)的单调增区间为(，ln a)；由f(x)0时，f(x)的单调增区间为(，ln a)，单调减区间为(ln a，)(2)因为x(0，)，使不等式f(x)g(x)ex，则ax，即a.设h(x)，则问题转化为amax，由h(x)，令h(x)0，得x.当x在区间(0，)内变化时，h(x)，h(x)随x变化的变化情况如下表：x(0，)(，)h(x)0h(x)极大值由上表可知，当x时，函数h(x)有极大值，即最大值为，所以a.故a的取值范围是.7已知函数f(x)=ex-ax2（1）若a=1，证明：当x0时，f(x)1；（2）若f(x)在(0,+)只有一个零点，求a的值.【答案】（1）见解析；（2