数学人教版五年级下册找次品（发表于《福建教育》的论文）.pdf

g u a n z h u I 关 注 一 实践与思考 找次 品 是一 类经 典的智 力问题 能为加强基 础知识 基本技 能 基本 思想 基本 活动经验 和提 高运算 能力 空 间想象 能力 逻 辑思维 能 力等 提供 很好 的载 体 解 决这一 问题 有 助于学 生理解 随机 事件 掌握 基本 的逻 辑 推理 方法 和化 归 思想 方法 学生通过 观察 想 象 猜 测 验证 等 可 以积 累丰 富的数学 活动经验 体验 解决 问题 方法 的多样 性与 优化 思想 1 如何 引导 学生有效推理 教学 本课 之初 我 曾走过误 区 受课本 情境 图的 误 导 让四人小 组用实物 天平称 零 件 结 果影 响 了 学生 的想 象和 推理 用天平从 3 个 零件 中找 1 个 质量 较轻 的次 品是 随机 事件 即任取 2个放在 天平两端 天平可 能平衡 也可能不平衡 如果给 的是 实物天平 那 么 学 生就 不 可 能 进行 如 果 平衡 如 果 不 平 衡 的想象和推理 了 思考后 我将教学调整如下 师 现在 王老师邀 请全班 同学做 个小 小的质 量 检测 员 假 如我这里 有 3个科 学零件 其 中只有 1 个 是质量较轻的次品 你有什么好办法把它找出来 生 用天 平 称 师 不错 的方法 精 细的物 品用天 平称量 比较准 确 现在就 用天平来称 请 问称 至少几次 可 以保 证找 到次品 出示课件 师 请答 案是 只称 1次的学 生上 台 别急 你能 不能 用手 势表示 天平平衡 的样 子 教 师帮助 学生调 整 手臂侧平举 掌心朝上 天平平衡说 明什 么7 生 说明两边 的物体质量相等 师 不平衡的样子 呢 引导学生用手 势表 示 师 翘起 的这边 比较 3 4 塥 止 2 0 1 2 2 生 轻 师 现 在请你 说 明 为 什么 只要一次就 可 以找到 次品 学生表 演并 推 理 假 如 天 平平 衡 次 品 就 是 天 平 外 的 那 个 假 如 天 平 不 平 衡 次 品 就 是 翘 起 来 的 那 个 接着 我让学生想 象桌上有一台天 平并借助 零 件 围棋 在 判 断 推 理 的过 程 中找 出次 品 得 出结论每 次称量 只要 天平 上有零件 就 一 定 出现 平衡或不 平衡两 种情 况 然后 再称 再判 断推理 从 而找 出次 品 这样 的过 程让逻 辑推 理思 想贯 穿始终 2 如 何 理 解 至 少称 几 次保 证 能 找 出次 品 不少教 师纠结 于如何 向学生说清 至少称几 次保 证 能找 出次 品 至少 表示最 少 但为 了 保证找 出 次 品 又要考 虑不凑巧的情况 所 需次数更多 要 往 最 少 想 又要考虑次 数更 多的情况 似 乎有 点矛 盾 怎 么向学生说 清楚 呢 在学生推 理完 3找 1 后 我 的教学如下 师 只要 称 1 次 就能保 证找 到次 品 那 我们可 以 说 3 找 1 至少要称几次能保证找 到次品 教 师板书 3找 1 至 少称 1次 这里的 至少 是什么意思 生 最 少 教 师板 书 最 少 师 有的 同学一 个一个地 称 称 2次 3次也 能找 到次品 但这是最少 的吗7 显然 一 个个地 称量 称 2次或 3次也能 找到次 品 但 不是最快 的 因此这里 需要 用一台没 有砝码 的 天 平 接 下来 的 5找 1 环节 我继续 突破 这一难点 师 5找 1 至少需要称几次才能保证找 到次 品 请 同学们想 象桌子上 有一台天 平 用围棋 当零件 推 算 一 下 同 桌合 作 师 谁来介绍 请 两个学生上 台汇报 一个解说 一 个 在 黑板 上 摆 生 天平 两边 各放 2个零件 假 如平衡 次 品就 是外 面的这个 假 如不 平衡 次品就 在翘起 的 2个 中 接 着 在 天平两边 各放 1个零件 翘起 的那 个 就是次 品 教 师根据学生的推理 板书 5 2 2 1 2 1 1 师 那 么至少要称几次才能保证找到次品 生 2次 师 有不 同的意见吗 个别 学生认为 只要 1 次 师 是啊 1 1 次 不是 比 2次更少 吗 到底是 1 次 还 是 2次正确呢 生 称 1次不平衡 就能 找到次 品 说 明我们 的运 气好 师 说得 真好 从数学 的角度来说 这是属 于偶 然 情况 但是称 1 次一定能找到次品吗 生 运气不好就找不到 师 称 2次呢 生 哪怕运气再不好也可以找到 师 可见 这里要求 的次 数不仅要 最少 还要 考 虑什么 生 保证能找到次品 教师板书 保证 能找到 师 所 以这里 要求的次数是保证找 到次品所 用的 最少次数 3 平均分 3份 是 否有 必要探 究 平均分 3 份 的称量方 法该不该让学 生探究 如 何让学 生理解 这 些问题 曾困惑 了我很久 不 少教 师 在 9找 1 呈现 多种称 法后 就 用不 完全 归纳 法得 出 平均分 3份 最快 并让学 生应 用结论 要说 清为何 这种方 法最快 需 要概 率论知 识 超 出了小学 生 的学 习能 力范围 但避 而不究 让学生 被动地 接受 应 用 又背离本课 的教学 目标 如何用通俗 的方 式让学生理 解其 中的道理呢 经过 多次 尝试 我 的最 终执 教情况 如 下 师 下面我 们来研 究 9找 1 课件 出示题 目 请 大家先想想天平两边可 以各放几 个零件称 可 以分 成几份7 板 书学生说 的方法 师 哪种 方法 能最快 找 出次 品呢 给你 们几分 钟 时间推 算 同桌合作 试试看 学生小组合作探 究后 教 师请 学 生 以 小组 为 单位 汇报 师 显然最少的是 2次 这种称法有什么特点呢 生 平均分 3 份 教 师板书 平均分 3份 师 平均分 3 份 能 帮助我们从 9个 中最t 央找 出 1 个次 品 这是偶然的还是必然的呢 课件 出示整 理 后的表格 最右边的一列暂不 出现 关 注E三l g u a n z h u 零件 份数 分 法 保证能找到次 称完第一次后 个数 品至少称几次 还要称的个数 1 1 1 1 1 1 1 9 9 4 7 1 1 9 5 2 2 2 2 1 3 5 9 3 3 3 3 2 3 9 3 4 4 1 3 4 师 指着上表 中的 第一种称法 天平两边各放 1 个零件 如果天平平衡 还要找的零件个数就是剩 下的 7个 把后 7个 1 画上圈 并在最后一 列填上 7 接 着 逐一分析其他称法 也就是说 称 完第一次 后还要称 的零件个数分 别是 7 5 3 4 你能根据这些 数据说 明为什 么 平均分 3份 称量最快吗 生 平均分 3份后 还要称 的零件 个数最少 所 以 找出次 品的速度最快 师 平均分 3份 可 以让 9找 1 最快 那 么这方 法对于从任意多个零件 中找 1 个次 品是否也管 用呢 大 多数 学生 不 敢 肯 定 师 出示课 件 这 么一大 堆零件 里有 1 个 次 品 用天平称 怎样最 快呢 老师把 它平均分成 2份 还要 称 的肯定是其 中的 1 份 演示课 件 同样 的零件 如 果 平均分成 3份 那么无 论天 平平衡 或不平衡 还要 称 的肯定是其 中的 1 份 演示课件 你 喜欢用哪种 分 法找次 品 为什么 生 喜欢平 均分 3 份 因为 平均分 3份 比 2份 的 每份少 所以要找的零件个 数少 就找得快 师 平均分 3份找得 t 央 那 么平均分 4份 是不是 更 快呢 教师 让学 生先 想 象 再 出示课件 引导他们 观 察 若 天平 平衡 还 要称 的是 4份 中的 2份 比 3 份 中的 1 份 多还是少 生 4份 中的 2份 比 3份 中的 1 份 多 找得慢 师 如 果是平均分成 5份呢 出示课件 生 还要从 3份 中找 显然要找的零件更 多 师 再平均分 6份 7份 呢7 生 运气不好还要在更 多零件 中找次品 师 显然 并不 是分 的份数越 多 就 找得越 快 哪 种方法能帮我们最快找到次品呢 生 平均分 3份的方法 师 确定 了吗 生 确定 师 那 我们就 用平均分 3份 的方 法解 决下 面的 问题 4 如何利用化归思想方法简化表达 把复杂转化成 简单 把未知 转化成已知 的化 归思 2 0 1 2 1 2福 J L 抽 35 g u a n z h u 1 关注 想 方法 也 是学生学 习本课 的重点 引入 时 我提 出 了 从 7 2 9个零件 中找 1 个次 品 至少要称几次 才能保 证 找到次品 的问题 学生觉得很难 我引导说 有什 么办法能帮助我们又快又准确地找 出次品呢 在数学 中有一种解决 问题的重要 策略 就是面对较难 解决 的 问题时 尝试先解决同类型的简单问题 在探究 5找 l 时 我提 醒学生 第一次 称量 5 1 1 3 若平衡 就 化归为研究过的 3找 1 在探 究 9找 1 平均分 3份 时 第一次称 量后 我提醒 学生 这个 问题 已经化归为 已研究过 的 3找 1 在 2 7找 l 8 l找 1 2 4 3找 1 直至 7 2 9找 1 时 我 引导 学生 化 未知 为已 知 快 速 解决 问题 让学 生在探 究和发现 中感 受数学 思想 的 魅 力 有 了对上述问题 的深入思考 我以问题 从 7 2 9 个零件 中找 1 个次 品 至少要称几次 才能保证找到次 品 激发学生探究 并分五步落实教学 目标 第一环节 3找 1 让学 生进行简单推理 我通 过个体 演示 推 理叙述 等 让学生理 解并领 会 至 少 的含义 第 二环节 5找 1 让学 生借 助 零 件 推理 感 受并理 解两种方法的不同 并 引导学 生看懂 数字化 的思维 表达 如 5 1 1 3 表示把 5个零 件分成 1 1 3 这样 的 3 份 并且第一次称 量时在天平两边各放 1个 零件 促进学 生进一步理 解所 求的次数是保证 找到次 品所 用的最少次数 第三环节 9找 1 先让学生说说可 以怎么称 板 书各种 称法后 引导学 生小 组合作 推 算保证 找 出 次 品 的最 少次数 并 找 出最 快 的方法 平均 分 3 份 最后通过课件演示让学生理 解方法 第四环节 应用结论解 决 2 7个 找 1 8 1个找 1 2 4 3个找 1 7 2 9个 找 1 的 问题 使学 生感悟最优方 法的有效性 理解并掌握化归思想方法 第五环节 引导学生提 出 如 果不能平均分 3 份 该怎样称 解决 8找 l 的问题 得 出 尽 量 接 近 平 均分 3份 的方法 一 回应与反思 回顾课 前 的思考 实践 课 中的 生成 及课 后的短 信点 评 我再 次感 受到教学 的不确定 性 发 现一些 缺憾 但正是 这些难 以消除 的缺憾 才促使 我不 断 地改进教学 1 怎样让探 究更有效 评课短信平 台中 听课教 师质疑 较多的是关 于 9 找 1 的探 究 如 反馈 时立即让 回答最少次 数的学生 36 辐 止 教 2 0 1 2 1 2 上来汇 报 其他 同学 是否就没 了成 功的体验 反馈 时 是否要按 4次 3 次 到 2 次 的顺序 汇报 老师 先诘 回 答最少次数 的小组展示想 法并大加赞许 而后再请 其 他组发 言 试 问谁愿献 丑 从 中可 以 了解 到 他们 不 了解我这个环节 的教学设 计意图 9找 1 是本课 重 点 这个环节 也是在 权衡再 三后设计 的 是先 探究 再 交流得 出结论 还 是先交流再 探究 得 出结论 前者 的 设计是先让学生 随意称 天平 再交流反 馈得 出多种 方 法 最后观察 得出结论 这 样的设计较开放 但浪 费时 间 为 了充分 利 用课 堂时 间 我 将教 学顺 序 调整 为 先 让 学 生 说 出 可 以怎 样 称 1个 1个 称 2个 2 个 称 板 书各种 称法 后 再让 学 生推 算 这时 有 的 学生通过数形结 合找到次数 如观 察 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 就可得 出至少称 4次 从 而较快找到最优 方 法 另外 反馈是 随机 的 若先汇报 的小组说 出的是最 少次数 就请别的组验证 再次强化推理 何来 献丑 之意 2 怎样让课堂教学省时又进发 智慧 数学广角 侧重让学 生理 解教学 内容 的数学思 想 方法 侧重 活动体 验 有教师认 为这 节课 的要 求 过 高 如质疑 这一策 略能让学 习有 困难 的学生 理 解吗 本 节课 我着 力要 体现 如何把 找次 品 教得 深 入浅 出 既简约 又促进 学生智 力发展 如 让学 生借助零件 围棋 推理 使学 生 的思 维发展 有物 可依 考 虑到完整 表达 解决问题 的思维 过程会 让学 生觉得 困难 我 除 了引导学 生用 如果平衡 如 果不平衡 规 范想 象和推理 外 还 引导 学生通 过 5 1 1 3 等 数字化 的表达形式记录推理过程 再如 有教师提到把 2 7找 1 写成 2 7 9 9 9 是 否太简单 是否要把思考过程记录成 2 7 9 9 9 9 3 3 3 3 1 1 1 其 实 这是不必要 的 把 2 7找 1 化 归为 已研究 的 9找 1 体现 的是化 归思想 能使 推理过程简约 体现数学的简洁美 这节课还有许多可探究的知识点 如 从 3到 9 再到 2 7 最 后到 7 2 9 零 件个数 以 乘 3 的速度 递增 为什 么保证找到次品的最少次数只以 加 1 的速度递 增 找 出次品所 用的最少次 数与零件 总数之 间有何 关 系 这些都是可拓展 的知识 3 怎 样 让 结 论 更 明 晰 平均分 3份 或 接近 平均分 3 份 可 以最快 找 出次 品 这是整节课探究得 出的结论 课 末 学生谈 收获 时也提到 了这点 有 的教 师质疑 1 4个为什么不 可 以分成 4 4 6 的确 把 1 4分成 5 5 4 与 4 4 6 回顾备课往 昔 一 次次研读 课程标 准 教 学参考 用书 教科 书 一次次推敲 分析学生 的知识背景和学 习心理 一次次 试教 反思 修 改的 画面历历 在 目 在 不 断 的 磨课 中 我 有过 独上高 楼 望 断天 涯路 的 困惑 有过 衣带渐宽终不悔 的坚持 也 有过 那人却 在灯火 阑珊处 的顿 悟 一 我所认识的 分数 分 数是什 么 通 过 查找 资料 我发现分 数有 四种 形 式的定义 定 义 1 份数定 义 分 数是一个 单位平均 分后 的 一 份或几份 定义 2 商定义 分数是两个数相除的商 定义 3 比定 义 分数是 q与 P之 比 定 义 4 公 理化定义 有序 的整数对 P q 其 中 P Oo 在我 国很 多版本 的小学教材 中 分数 的定 义是这 样 的 把单位 1 平均分成 若干 份 表示 这样 的一份 或几份 的数叫做 分数 用份数定义 引入 分数是 自然 直 观的 不仅强 调 了 平均分 还对 几 分之 几 做 了 贴切说 明 对之后 的分数运 算也 有重要 的价值 但 是 份 数定 义没有体 现分数的本质 分数是一个不 同于 自 然 数的新数 o J 学生对分 数 的认 识分两 个阶段 第一 时 保证 找到次 品所需 的最 少次 数一样 我们要 明确 的是 接 近 平均分 3份 找次 品所 用的次 数最 少 而别的方法所需次数可能 与它一样 多 但 不会 比它更 少 同时 接近 的情况也 不是唯 一的 有教 师提 出 1 2个是最优方案的验证 教 师可先让学生猜测 再 列举 出不同的分 法 从 而得 出 没有 比 3次 更少 的 分法 来验证 最优策 略 这个 思路 很好 我 曾在 8找 1 时设 计过 但 发 现 学生 体 验 不 深 回避 阶段 当单位 1 是一个西瓜 时 一 个西瓜的 就 是 4 个西瓜 这时学生比较容易把