十年真题（2010_2019）高考数学真题分类汇编专题07数列文（含解析）.docx

专题07数列历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2015等差数列2015年新课标1文科07单选题2013等比数列2013年新课标1文科06单选题2012数列综合题2012年新课标1文科12填空题2019等比数列2019年新课标1文科14填空题2015等比数列2015年新课标1文科13填空题2012等比数列2012年新课标1文科14解答题2019等差数列2019年新课标1文科18解答题2018数列综合题2018年新课标1文科17解答题2017数列综合题2017年新课标1文科17解答题2016数列综合题2016年新课标1文科17解答题2014数列综合题2014年新课标1文科17解答题2013数列综合题2013年新课标1文科17解答题2011数列综合题2011年新课标1文科17解答题2010数列综合题2010年新课标1文科17历年高考真题汇编1【2015年新课标1文科07】已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S84S4，则a10（）ABC10D12【解答】解：an是公差为1的等差数列，S84S4，8a114（4a1），解得a1则a1091故选：B2【2013年新课标1文科06】设首项为1，公比为的等比数列an的前n项和为Sn，则（）ASn2an1BSn3an2CSn43anDSn32an【解答】解：由题意可得an1，Sn33232an，故选：D3【2012年新课标1文科12】数列an满足an+1+（1）nan2n1，则an的前60项和为（）A3690B3660C1845D1830【解答】解：由于数列an满足an+1+（1）nan2n1，故有 a2a11，a3+a23，a4a35，a5+a47，a6a59，a7+a611，a50a4997从而可得 a3+a12，a4+a28，a7+a52，a8+a624，a11+a92，a12+a1040，a15+a132，a16+a1456，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列an的前60项和为 152+（158）1830，故选：D4【2019年新课标1文科14】记Sn为等比数列an的前n项和若a11，S3，则S4【解答】解：等比数列an的前n项和，a11，S3，q1，整理可得，解可得，q，则S4故答案为：5【2015年新课标1文科13】在数列an中，a12，an+12an，Sn为an的前n项和，若Sn126，则n【解答】解：an+12an，a12，数列an是a12为首项，以2为公比的等比数列，Sn2n+12126，2n+1128，n+17，n6故答案为：66【2012年新课标1文科14】等比数列an的前n项和为Sn，若S3+3S20，则公比q【解答】解：由题意可得，q1S3+3S20q3+3q240（q1）（q+2）20q1q2故答案为：27【2019年新课标1文科18】记Sn为等差数列an的前n项和已知S9a5（1）若a34，求an的通项公式；（2）若a10，求使得Snan的n的取值范围【解答】解：（1）根据题意，等差数列an中，设其公差为d，若S9a5，则S99a5a5，变形可得a50，即a1+4d0，若a34，则d2，则ana3+（n3）d2n+10，（2）若Snan，则na1da1+（n1）d，当n1时，不等式成立，当n2时，有da1，变形可得（n2）da1，又由S9a5，即S99a5a5，则有a50，即a1+4d0，则有（n2）a1，又由a10，则有n10，则有2n10，综合可得：n的取值范围是n|1n10，nN8【2018年新课标1文科17】已知数列an满足a11，nan+12（n+1）an，设bn（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；（3）求an的通项公式【解答】解：（1）数列an满足a11，nan+12（n+1）an，则：（常数），由于，故：，数列bn是以b1为首项，2为公比的等比数列整理得：，所以：b11，b22，b34（2）数列bn是为等比数列，由于（常数）；（3）由（1）得：，根据，所以：9【2017年新课标1文科17】记Sn为等比数列an的前n项和已知S22，S36（1）求an的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列【解答】解：（1）设等比数列an首项为a1，公比为q，则a3S3S2628，则a1，a2，由a1+a22，2，整理得：q2+4q+40，解得：q2，则a12，an（2）（2）n1（2）n，an的通项公式an（2）n；（2）由（1）可知：Sn 2+（2）n+1，则Sn+12+（2）n+2，Sn+22+（2）n+3，由Sn+1+Sn+22+（2）n+22+（2）n+3，4+（2）（2）n+1+（2）2（2）n+1，4+2（2）n+12（2+（2）n+1），2Sn，即Sn+1+Sn+22Sn，Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列10【2016年新课标1文科17】已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足b11，b2，anbn+1+bn+1nbn（）求an的通项公式；（）求bn的前n项和【解答】解：（）anbn+1+bn+1nbn当n1时，a1b2+b2b1b11，b2，a12，又an是公差为3的等差数列，an3n1，（）由（I）知：（3n1）bn+1+bn+1nbn即3bn+1bn即数列bn是以1为首项，以为公比的等比数列，bn的前n项和Sn（13n）11【2014年新课标1文科17】已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程x25x+60的根（1）求an的通项公式；（2）求数列的前n项和【解答】解：（1）方程x25x+60的根为2，3又an是递增的等差数列，故a22，a43，可得2d1，d，故an2+（n2）n+1，（2）设数列的前n项和为Sn，Sn，Sn，得Sn，解得Sn212【2013年新课标1文科17】已知等差数列an的前n项和Sn满足S30，S55（）求an的通项公式；（）求数列的前n项和【解答】解：（）设数列an的首项为a1，公差为d，则由已知可得，即，解得a11，d1，故an的通项公式为ana1+（n1）d1+（n1）（1）2n；（）由（）知从而数列的前n项和Sn13【2011年新课标1文科17】已知等比数列an中，a1，公比q（）Sn为an的前n项和，证明：Sn（）设bnlog3a1+log3a2+log3an，求数列bn的通项公式【解答】证明：（I）数列an为等比数列，a1，qan，Sn又SnSn（II）anbnlog3a1+log3a2+log3anlog33+（2log33）+（nlog33）（1+2+n） 数列bn的通项公式为：bn14【2010年新课标1文科17】设等差数列an满足a35，a109（）求an的通项公式；（）求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值【解答】解：（1）由ana1+（n1）d及a35，a109得a1+9d9，a1+2d5解得d2，a19，数列an的通项公式为an112n（2）由（1）知Snna1d10nn2因为Sn（n5）2+25所以n5时，Sn取得最大值考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：数列的概念与简单表示法，等差数列及其前n项和，等比数列及其前n项和，数列求和，数列求通项等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现.重点考查的知识点为：等差数列及其前n项和，等比数列及其前n项和，数列求和，数列求通项等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点等差数列及其前n项和，等比数列及其前n项和，数列求和，数列求通项为重点较佳.最新高考模拟试题1等差数列，等比数列，满足，则能取到的最小整数是（ ）ABCD【答案】B【解析】等差数列的公差设为，等比数列的公比设为，由，可得，则，可得能取到的最小整数是故选：B2中国古代数学名著九章算术中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？ABCD【答案】D【解析】因为斗=升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为，由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且则，解得，所以马主人要偿还的量为：，故选D.3我国古代的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方.记阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么 的值为（ ）A41B45C369D321【答案】C【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，故.故选：C4设数列的前项和为，且，则数列的前10项的和是（ ）A290BCD【答案】C【解析】由得，当时，整理得，所以是公差为4的等差数列，又，所以，从而，所以，数列的前10项的和.故选.5意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2019项的和为（ ）A672B673C1346D2019【答案】C【解析】由数列各项除以2的余数，可得为，所以是周期为3的周期数列，一个周期中三项和为，因为，所以数列的前2019项的和为，故选C.6已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则的值是（ ）A1BCD【答案】D【解析】是等比数列 是等差数列 本题正确选项：7已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【解析】解：数列满足，当时，得：，故：，数列满足：，则： ，由于恒成立，故：，整理得：，因为在上单调递减，故当时， 所以故选：D8已知函数的定义域为，当时，且对任意的实数，等式成立，若数列满足，且，则下列结论成立的是（ ）AB CD 【答案】A【解析】由，令，则时， 当时，令，则，即又 当时， 令，则，即在上单调递减又令，；令，；令，数列是以为周期的周期数列， 在上单调递减 ， 本题正确选项：9在数列中，则的值为_【答案】1【解析】因为所以，,各式相加，可得，所以，故答案为1.10已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为_【答案】2【解析】正项等比数列满足，整理，得，又，解得，存在两项，使得，整理，得，则的最小值为2当且仅当取等号，但此时，又，所以只有当，时，取得最小值是2故答案为：211已知数列满足对，都有成立，函数，记，则数列的前项和为_【答案】【解析】解：对，都有成立，可令即有，为常数，可得数列为等差数列，函数，由，可得的图象关于点对称，可得数列的前项和为故答案为：12已知数列的前项和为，满足，则=_【答案】【解析】由题意，数列满足，则，两式相减可得，即整理得，即，即，当时，即，解得，所以数列表示首项为，公比为的等比数列，所以，所以.13等差数列中，且，成等比数列，数列前20项的和_【答案】200或330【解析】设数列的公差为，则，由成等比数列，得，即，整理得，解得或，当时，；当时，于是，故答案为200或330.14已知正项等比数列的前项和为若，则取得最小值时，的值为_【答案】【解析】由，得：q1，所以，化简得：，即，即，得，化简得，当，即时，取得最小值，所以故答案为：15设数列的前项和为，且满足，则_【答案】【解析】解：，可得时， ，时，又，两式相减可得，即，上式对也成立，可得数列是首项为1，公比为的等比数列，可得故答案为：16已知数列满足，则数列的前项和为_.【答案】【解析】由，得，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，于是，所以，因为，所以的前项和.17定义：从数列中抽取项按其在中的次序排列形成一个新数列，则称为的子数列；若成等差（或等比），则称为的等差（或等比）子数列.（1）记数列的前项和为，已知.求数列的通项公式；数列是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请说明理由.（2）已知数列的通项公式为，证明：存在等比子数列.【答案】（1）；见解析；（2）见证明【解析】解：（1）因为，所以当时，当时，所以.综上可知：.假设从数列中抽3项成等差，则，即，化简得：.因为，所以，且，都是整数，所以为偶数，为奇数，所以不成立.因此，数列不存在三项等差子数列.若从数列中抽项，其前三项必成等差数列，不成立.综上可知，数列不存在等差子数列.（2）假设数列中存在3项，成等比.设，则，故可设（与是互质的正整数）.则需满足，即需满足，则需满足.取，则.此时，.故此时成立.因此数列中存在3项，成等比，所以数列存在等比子数列.18在等差数列中，已知公差，是与的等比中项（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的通项公式；（3）令，数列的前项和为.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）因为是与的等比中项，所以，数列的通项公式为.（2）得：，故。（3），令，则得：，。数列的前项和19已知等差数列满足，等比数列满足，且.（1）求数列，的通项公式；（2）记数列的前项和为，若数列满足，求的前项和为.【答案】(1) ， (2) .【解析】（1）设的首项为，公差为，则有，解得所以， 设，由已知，可得，由可得，可得，所以，（2）由（1）知， 所以，两式相减可得， 当时，满足上式，所以， ， 两式相减可得， 所以.20等差数列前项和为，且，（1）求的通项公式；（2）数列满足且，求的前项和【答案】(1) (2) 【解析】（1）等差数列的公差设为，前项和