电磁场理论第十二周课件2.ppt

2020 2 18 Review Poynting stheorem conservationofenergy PoyntingVector powerthroughasurface Poynting stheoremofthecomplexform complexPoyntingvector time averagepowerdensity Note effectivevalueandmaximumvalue D Alembert sequation retardedpotetial scalar andvectorA Helmholtz sequation phasorform 2020 2 18 电磁场理论第十二周讲稿 5 5电磁场的能量守恒定律和坡印亭矢量 5 6电磁场的矢量势和标量势 5 7推迟势和似稳电磁场作业 5 145 155 175 185 195 22 2020 2 18 电磁场的能量守恒定律和坡印亭矢量 一 电磁场的能量守恒定律 坡印亭定理二 坡印亭矢量 能流密度矢量三 正弦场的复数坡印亭矢量与复功率例题 2020 2 18 电磁场的矢量势和标量势 一 电磁场的矢量势和标量势二 洛仑兹条件与电磁动态势的波动方程 达朗贝尔方程 2020 2 18 推迟势和似稳电磁场 1 达朗贝尔方程的解 推迟势2 似稳电磁场和似稳条件3 电磁理论与电路理论之间的关系 2020 2 18 电磁场是一种特殊形式的物质 而能量又是物质的主要属性 电磁波的传播过程 就是电磁能量的传播过程 应用矢量恒等式 并代入麦克斯韦第一和第二方程得 电磁场的能量守恒定律 2020 2 18 电磁场的能量守恒定律 因同理有故由于电场和磁场的能量密度分别为则 2020 2 18 电磁场的能量守恒定律 为电磁场的能量密度 因此应用高斯散度定理 有W是电磁场的总能量因则 2020 2 18 电磁场的能量守恒定律 上式表明单位时间V内增加的电磁能量和损耗的能量只能从闭合面S外流进来 于是是穿出S的功率 电磁场能量守恒定律 也称为坡印亭定理的微分形式为对应的积分形式是 2020 2 18 电磁场的能量守恒定律 当S在无限远处时有若V内有局外场时 因则代入坡印亭定理 故有和这便是普遍情况下的坡印亭定理 2020 2 18 坡印亭矢量 能量密度矢量 是穿出S的功率 则是穿出单位面积的功率 定义称为坡印亭矢量 即电磁场的能量密度矢量或功率流 这是一个表示电磁能流传播的重要物理量 E H S三者相互垂直 2020 2 18 坡印亭矢量 能量密度矢量 若场域V内无传导电流 则有称为电磁能流的连续性方程 它与定理连续性方程相对应 2020 2 18 应用矢量恒等式代入得 正弦场的复数坡印亭矢量与复功率 2020 2 18 正弦场的复数坡印亭矢量与复功率 或应用高斯散度定理 可得左端是流入的功率 右端实部是损耗功率 虚部是乘以磁场能量与电场能量的有效值之差 2020 2 18 正弦场的复数坡印亭矢量与复功率 于是 复功率为复数坡印亭矢量有功功率 平均功率 为其中是坡印亭矢量的平均值 而无功功率则是能量转换的量度 即 2020 2 18 正弦场的复数坡印亭矢量与复功率 穿入的复功率和有功功率及无功功率组成功率三角形 2020 2 18 例题 设同轴线内导体的半径为 外导体的内外半径分别为和 其电导率为 内外导体中载有等值而异号的电流I 两导体间的电压为U 其中填充介质的介电常数为 试求同轴线传输的功率及导体中的损耗功率 2020 2 18 例题 r 0时Si 0 2020 2 18 例题 r r3时Se 0 传输能量的S分量 其中Q0是单位长度导线所带的电荷 2020 2 18 例题 虽然P UI在形式上与电路的结果相同 但能量不是在导线中传输的 而是在介质中传输的 导线只是引导能量传输的方向 好象导游小姐 导线输能是小姐导游 介质中内导体附近的场为 2020 2 18 其中内导体的功耗是介质传输的能量通过其表面流入的 同样 在外导体表面有 例题 2020 2 18 例题 求上例中同轴线介质中的场因问题与方位角无关 故电势满足得 2020 2 18 例题 由边界条件和可知 Et Ez与z无关 故有解得则故若取且则 2020 2 18 例题 故由得因此 2020 2 18 例题 内外导体表面的电荷面密度分别为内外导体表面单位长度的电荷量分别为 2020 2 18 例题 可见 与静电场不同 载流同轴线内外导体表面上的电荷分布并不均匀 而且与z成正比 正是由于它在z方向上的变化 才在导线内形成了切向即z方向的电场 从而引起电流的流动 2020 2 18 应用麦克斯韦方程组直接求解电磁场很困难 与静态场一样 引入势函数间接求解 由引入动态矢量势A 即或 电磁场的矢量势和标量势 2020 2 18 电磁场的矢量势和标量势 则得故 2020 2 18 洛仑兹条件与达朗贝尔方程 由前面论述可知 Maxwell方程组中已经使用了两个方程 剩余两个方程 2020 2 18 洛仑兹条件与达朗贝尔方程 即由即 2020 2 18 洛仑兹条件与达朗贝尔方程 可见未规定A的散度 A和都不惟一 因对任意标量函数f 对应同一电磁场 有故必须规定A的散度 若选择则动态势与场源的关系简单 A和也分开了 分别依赖于电流和电荷密度 方程形式也对称 这称为洛仑兹条件 2020 2 18 洛仑兹条件与达朗贝尔方程 于是微分方程简化为这是动态势的波动方程 称为达朗贝尔方程 因J和由联系着 故在实际应用中 由J求A则得到B 再由洛仑兹条件求得 从而得到E 2020 2 18 洛仑兹条件与达朗贝尔方程 在无源区 达朗贝尔方程变为齐次的 静态场退化为势函数的拉普拉斯方程 对正弦电磁场 有称为波数 这是动态势的亥姆霍兹方程 2020 2 18 洛仑兹条件与达朗贝尔方程 洛仑兹条件为可得正弦电磁场分别为对于无源区 有实际上 这时电磁场可直接由电磁场的齐次亥姆霍兹方程求出 2020 2 18 1 达朗贝尔方程的解 推迟势 电磁波的传播具有一定的速度 故传播一段距离需要一定的时间 距离波源为R的观察点 某一时刻的势函数是由较早时刻的波源所决定 这表明电磁作用是以有限的速度传递的 在真空中电磁波的速度就是光速c 由于观察点处的电磁场决定于较早时刻的场源 因此 场点处的标量势和矢量势A称为推迟势 2020 2 18 下面求推迟势 先考虑某一体积元内变化电荷所产生的标量势 设坐标原点处有一变化的点电荷 其密度为 于是标量势所满足的达朗贝尔方程可表示为其中 1 达朗贝尔方程的解 推迟势 2020 2 18 由于点电荷的势函数具有球对称性 则仅为r和时间t的函数 而与极角和方位角无关 因此 上式用球坐标可以表示为除原点外 即处 满足齐次波动方程 1 达朗贝尔方程的解 推迟势 2020 2 18 上式又可以写为该式是关于的一维波动方程 其解为达朗贝尔公式 即 1 达朗贝尔方程的解 推迟势 回忆 数学物理方法 2020 2 18 式中是以速度v沿 r方向离开波源的球面波 而是以速度v沿 r方向朝着波源会聚的球面波 对于辐射问题 一般只需考虑沿 r方向行进的球面波 将的宗量改为 则式中也是r t的函数 它的具体形式由场源激发时的条件所决定 1 达朗贝尔方程的解 推迟势 2020 2 18 根据静电势的泊松方程的解可将结论推广到时变场 可以推想的解应为证明过程如下 作一个半径为的小球包围原点 并在小球内计算下列积分 1 达朗贝尔方程的解 推迟势 2020 2 18 令 则有 上式中第二项趋近于零 而第一项则为考虑到则 1 达朗贝尔方程的解 推迟势 2020 2 18 对于在有限区域V内连续分布的变化电荷 电荷元在P点所激发的标量势为根据场的迭加原理 可得内所有电荷在场点所激发的总标量势为 1 达朗贝尔方程的解 推迟势 2020 2 18 类似地 矢量势A在有限区域内连续分布的变化电流在场点所激发的矢量势应为对于正弦电磁波 1 达朗贝尔方程的解 推迟势 2020 2 18 如果波源变化较快或者场点距离波源较远 则推迟作用显著 反之 若波源变化缓慢或场点距离波源较近 虽有推迟作用但不明显 若 可不考虑推迟作用 此时有满足上述条件的电磁场称为似稳电磁场 也称为缓变场或准静态场 2 似稳电磁场和似稳条件 2020 2 18 近区近区的电磁波是束缚电磁波 频率随其场域的扩大而降低 感应区远区远区的电磁波是自由电磁波 对于似稳场或近区场可不计推迟作用 而对于迅变场或感应区和远区场则必须考虑推迟作用 2 似稳电磁场和似稳条件 2020 2 18 似稳场或近区场的动态标量势和矢量势可分别表示为对于场源随时间按正弦规律变化的似稳场或近区场 则有 2 似稳电磁场和似稳条件 2020 2 18 在无界的导电媒质中的似稳电场必将引起传导电流密度和位移电流密度 对麦克斯韦第一方程取散度 并考虑到第四方程 可得其解为式中称为弛豫时间 在时变场的情形下 与静电场的情形相同 导电媒质内部没有自由电荷 3 电磁理论与电路理论之间的关系 2020 2 18 由于导电媒质中似稳场变化缓慢 或正弦似稳场的频率很低 有或 则导电媒质中的位移电流可以忽略 并且导电媒质中的电荷密度 于是导电媒质中的似稳电磁场方程组可表示为 3 电磁理论与电路理论之间的关系 2020 2 18 对于如图所示的似稳场中的一个由电阻R 电感L和电容C所组成的串联电路 似稳条件很容易满足 可由似稳场的方程得到似稳电路方程 似稳场的场源中的传导电流密度为 3 电磁理论与电路理论之间的关系 2020 2 18 上式右端第一项中的被积式是长为l的电路的电阻 故积分为电路的总电阻 右端第二项是