（试题 试卷 真题）传统与创新的有机结合

传统与创新的有机结合新课程下立体几何命题特点浅析福州八中 周平在新课程实施的大背景下，立体几何高考命题是一道最富有特色的靓丽风景线。作为中学数学传统的主体内容之一，立体几何高考命题始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与距离的计算作为考查的重点。对学生的空间想象能力、逻辑思维、演绎推理能力等传统的考查方式，仍保持相对的稳定。同时，随着新课程改革的不断深化，立体几何无疑又成为数学学科高考命题改革的“突破口”与“试验田”，有时还成为“风向标”，这些改革尝试的目的在于“激发学生独立思考，从数学的角度去发现和提出问题，并加以探索和研究，有利于提高学生的思维能力和创新意识”。从近十年来，特别是2004、2005年高考全国及各省市自主命题中对立体几何试题的分析、我们可以清楚地看到，传统与创新的有机结合，正是在新课程理念下立体几何高考命题的新走向与新特色。一、 试题分布特点分析表1、2004年夏季全国及部分省市自主命题高考试卷中立体几何题分布表类型题号试题所占分数整体分数占总分比例题型考查知识点提要全国I10521两小一大14%选择题截面与正四面体表面积之比的计算164填空题异面直线在平面射影的位置关系判定2012解答题四棱锥中的点面距离，二面角的计算全国II7521两小一大14%选择题球心到小圆截面距离的计算164填空题直四棱柱的判定2012解答题直三棱柱中线面垂直的论证：二面角的计算全国III9521两小一大14%选择题正三棱锥的体积计算134填空题小圆面积与球表面之比的计算2012解答题三棱锥中的线线垂直的论证，线面角的计算全国IV文13522两小一大14.67%选择题理7正三棱锥体积的计算，线面平行、相交、线线平等的判定理105填空题球心到小圆截面的距离计算文72012解答题四棱锥体积计算，线线垂直论证类型题号试题所占分数整体分数占总分比例题型考查知识点提要北京3526三小一大17.33%选择题线线垂直、平行、线面垂直、面面平行的判定45选择题正方体内动点到直线距离与轨迹问题综合115填空题球的小圆弧长与表面积的计算1614解答题正三棱柱侧面展开图对角线及相关线段长与二面角大小计算上海13420一小一大13.33%填空题线面垂直、平行的判定2116解答题正四面体的判定，二面角的计算、等体积的直平行六面体的探索天津6522两小一大14.67%选择题正方体中异面直线成角余弦值的计算文85选择题线面垂直关系与动点轨迹的综合105选择题长方体截面面积的计算理1912解答题四棱锥中线面垂直、平行的论证、二面角大小的计算四棱锥中线石平行论证，线面成角正切值计算文19重庆文16522两小一大14.67%填空题地球与火星大圆周长计算选择题线面平行、垂直、异面直线的判定85选择题三棱锥侧面点动点到底面距离，及到直线距离引出动点轨迹（与解析几何综合）125选择题正方体铅孔后的表面积计算1912解答题四棱锥中异面直线分垂线的论证，线面成角二面角（文）的计算湖北11517一小一大11.33%选择题二面角、线面成角的有关计算及直线与平面位置关系的判定文65选择题四面体的表面积的计算1812解答题正方体中动点位置探求，使得线与面垂直、二面角大小的计算湖南4522两小一大14.67%选择题由翻折图形得三棱锥体积最大的，线面成角的计算105选择题正八面体顶点与排列组合综合1912解答题四棱锥中线面垂直的证明，二面角的计算，探求动点的位置，使线面平行类型题号试题所占分数整体分数占总分比例题型考查知识点提要浙江10521两小一大14%选择题正三棱柱中线面成角大小的计算164填空题点面距离，点线距离的计算1912解答题不规则图形（正方体变化而来）中线面平行（垂直）论证，二面角大小，点面距离、异面直线成角的计算福建5526三小一大17.33%选择题线线平行、线面平行、面面平行判定105选择题球的小圆截面与斜线成角的计算164填空题六棱柱容器容积最大的计算（与导数综合）1912解答题三棱锥中线线垂直的证明、二面角、点面距离的计算辽宁3526三小一大17.33%选择题线面、面面位置关系判定及充分条件与必要条件105选择题球的小圆截面与球距离及球体积的计算154填空题斜四棱柱侧棱与截面距离的计算1712解答题四棱锥中面面垂直的论证，二面角余弦值的计算江苏4517一小一大11.33%选择题由球心到小圆截面距离求球的体积1812解答题正方体中，线面成角，点面距离的计算，线线垂直的论证广东7521两小一大14%选择题正方体截去八个小棱距后剩余体积的计算154填空题由平面图形面积的比例关系，推广到空间图形的体积比例关系1812解答题长方体中二面角，异面直线成角的计算 表2、2005年夏季全国及部分省市自主命题高考试卷中立体几何题分布表类型题号试题所占分数整体分数占总分比例题型考查知识点提要全国I3526三小一大17.33%选择题由小圆面积求球表面积55选择题求不规则五面体的体积164填空题截面图形判定，面面垂直判定1812解答题四棱锥中,证面面垂直,求异面直线成角，二面角大小全国II2526三小一大17.33%选择题截面图形判定125选择题求正四面体内切球与高的关系164填空题正三棱锥的判定2012解答题四棱锥中证线面垂直求二面角大小全国III4422两小一大14.67%选择题三棱柱中求四棱锥的体积114选择题点面距离、位置判定1812解答题证线面垂直，求二面角的大小北京65一小一大12.67%选择题线面平行，垂直面面垂直的垂直的判定文16理161419解答题证线线垂直，线面平行，求异面直线线角大小解答题直四棱柱中，证线线垂直求二面角及异面直线成角大小天津4517一小一大11.33%选择题线面垂直充要条件1912解答题斜三棱柱中求线面成角大小，证线面平行，求四面体外接球体积重庆7522两小一大14.67%选择题面面平行判定105选择题求三棱锥体积2012解答题三棱柱中，求异面直线距离，二面角平面角正弦值辽宁4321两小一大14%选择题面面平行判定144填空题求点面距离1712解答题三棱锥中证线面垂直，求二面角平面角余弦值，三棱柱外接球表面积求棱长江苏8524两小一大16%选择题线线、线面、面面平等判定45选择题求点面距离2114解答题五棱锥中求异面直线线角，二面角大小证线面垂直类型题号试题所占分数整体分数占总分比例题型考查知识点提要浙江6522两小一大14.67%选择题线线平行，面面垂直判定125选择题求翻折图形中异面直线成角大小1812解答题三棱锥中，证线面平行，求线面成角大小，求点在面射影位置福建4522两小一大14.67%选择题线线平行、垂直，面面垂直判定85选择题求异面直线成角2012解答题在不规则图形（直三棱柱变形）中，证线面垂直求二面角大小，求点面距离湖北10522两小一大14.67%选择题线面平行判定文2012解答题求截面的边长，求点面距离125选择题平行六面体中点面关系与概率综合题理2012解答题四棱锥中，求异面直线成角余弦值，由点面距求点线距离湖南5517一小一大11.33%选择题求点面距离1712解答题由翻折图形，证异面直线垂直，求二面角大小广东4524两小一大16%选择题三棱柱中求三棱锥体积75选择题线面平行判定1614解答题四面体中，证线面垂直求二面角大小山东8521两小一大14%填空题线线、线面、面面平行判定2012选择题地球上两地之间的球面距离164解答题在长方体中，求异面直线成角、二面角（锐角）大小，求点面距离江西9521两小一大14%选择题求四面体外接球的体积154填空题求棱柱表面两点间最短路径长（展开图）2012解答题在长方体中，证线线垂直求点面距离，求二面角大小求线段长（1）占分比重：立体几何在高考中的占分比重，随课程内容的变化有所下降，2003年前的试卷中，一般有三小一大，约26分，占全卷的17.4%，而2004年江苏、湖北试卷中的一小一大共17分，而2005年天津与湖南试卷中也仅一小一大共17分，仅占11.3%，全国绝大多数省、市两年基本上是两大一小，约2122分，占全卷的14%。这与立体几何所占的学时比例（36/324）基本相当，由于立体几何内容与方法较多，又是考查空间想象能力的重要途径，我们认为题量“两小一大”较为合理。（2）解答题位置从2004年15份理科试卷及2005年16份理科试卷中，每份均有一道立体几何解答试题，2004年处在解答题的第1个位置的仅有辽宁1道试题，第2个位置的有北京、湖北、江苏、广东4道试题，而全国卷的4道题都处在解答题的第4个位置；第3个位置的有天津、重庆、湖北、湖南、浙江、福建6道。而2005年，处在解答题的第1个位置的仍是辽宁与上海两道试题，第2位置的有全国I、全国III，北京、广东、湖南5道题，第3个位置的有江苏、天津2道试题，而处在第4位置的有全国II、福建、湖北、山东、浙江、重庆、江西等7道试题，这说明立体几何解答题属于中档题，但又有难度提高并后移的趋势。（3）考查方式大题以考查直线与平面位置关系的证明角度与距离的计算为主，通常以多面体为载体：如正方体、长方体、三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥，2004年试卷中涉及棱锥的试题出现的几率较大，有9道之多当中涉及四棱锥的有6道，三棱锥的有3道。涉及柱体的有5道，当中三棱柱2道，正方体2道，长方体的1道。事实上，浙江的试题也可以看做是以长方体为模型的立体几何题。当中，关于二面角的计算的试题多达11道试题；判断垂直与平行的有10道。 2005年试卷中，涉及三棱锥的有3道，四棱锥的有3道，江苏还出了一道五棱锥，涉及三棱柱3道，四棱柱2道，长方体2道，福建的试题中不规则图形，也可以看成柱体切去一部分，当中关于二面角的计算14道，证明垂直与平行的有13道。（4）大小题型考查内容解答题多采用一题多问的方式，这样既降低了起点，又分散了难点，试题既包含了一定量的证明步骤，也包含了计算部分，能较全面地考查逻辑推理能力，空间想象能力和运算能力，同时还应注意利用前面的结论、图形等分析后面的结论。估计这种命题的特点还将保持下去。考查线线、线面、面面关系的论证，此类题目常以客观题或解答题的第一步出现。计算空间的角或距离，常以客观题或解答题的第二步出现。小题类型大体有：用于覆盖大题未考查到的直线、平面位置关系的判定，角度、距离的计算及球的问题，体积、表面积问题，空间想象问题，与其它知识（如排列组合概率等）综合的问题。2005年试卷的选填题中，涉及线线、线面、面面关系的判断题有14道，求空间角与距离的仅有5道，简单几何体及其体积有10道，翻析与展开的有2道，与排列、组合、概率综合的问题有2道。二试题创新特色分析（1）传统内容的“双轨”处理2005年理科16份试卷中，有13道立体几何解答题明显给出了空间坐标系的框架，只要利用空间向量的意识，建立空间坐标系后就容易求解，即立体几何问题大多可以用向量作工作解决，兼顾了九（A）、九（B）两种教材版本。由于近几年高考命题倾向于新教材的内容，因此，同一道立体几何综合题，利用空间向量求解比用传统方法求解相对较易，尤其是确定点的位置或探索性问题，利用空间向量的坐标形式求解更凸现其解法的优越法。例1如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AF=1，M是线段EF的中点，（1）求证：AM/平面BDE（2）求二面角ADFB的大小；（3）在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是。分析：此题既可用传统方法求解，也可用空间向量求解，但要确定一个点的位置，一般情况下用空间向量比较容易解答，可避免传统解法中的一些几何性质的论证。解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设，连结NE，则点，E（0，0，1），又，所以且NE与AM不共线，故NE/AM， 所以AM/平面BDE（2）为平面ADF的法向量。，所以为平面BDF的法向量。与的夹角是，即二面角ADFB的大小是。（3）设得，由于与所成的角是，解得：或（舍去） 所以P是AC的中点点评：本题考查空间线面关系及空间向量概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力。例2如图2，直三棱柱中ABCAl Bl Cl，ACB=90，AC=1，CB=，侧棱AA11，侧面AA1 B1B的两条对角线的交点为D，C1 Bl的中点为M，（I）求证CD平面BDM；（II）求面B1BD与面CBD 所成二面角的大小。本题第I问证明CD平面BDM，则要设法在该 平面内找到与CD垂直的直线。先从该平面已有的三条直线BD、BM、DM入手，因为B点为棱柱的顶点，涉及的已知条件比较多，可以先考查从B点上出发的直线BD。从已知条件可以求得BD1，BG=，但CD长度未知，且不易求出，这时要放开眼界，找出和BD有关的条件。BD进一步延长就是BA1，在A1BC中，BC=CA1，D为A1B的中点，则CDA1B。此时CD=CC1，DM=AC1=C1M，所以CDMCC1M，所以CDBM。本题也可以连结CB1BM，从而CDBM 第问是求二面角的大小，要首先找出该二面角的平面角，再找出数量关系。虽然已经证明CDA1B，但在平面A1BB1内，垂直于棱A1 B的垂线不易求得，所以要进行相应的“移动”BlBD是等边三角形，BD边上的中线Bl G垂直于棱AlB，其长为。作GFCD，GF=CD=,利用勾股定理可求得FB1=，再利用余弦定理可以求出FCBl度数。本题也可以应用空间向量解决。因为题目给出的三棱锥是“躺倒”放置的，从C点出发的一条侧棱和两条底边自然组成了互相垂直的“坐标架”，因此可以以C点为原点，以上述的三条直线为坐标轴建立坐标系。建立坐标系以后就可以求出各点的坐标，以及各向量的坐标，利用向量的数量积可以证明垂直关系、求出两个向量的夹角。值得注意的是，在解决本题的第问时，可以不用把垂直于二面角棱的两条直线移到同一点，只要能证明他们都垂直于二面角的棱，则他们的夹角的大小就是二面角的大小，直接应用向量的夹角公式计算即可。本题采用一题两法的设计，方便考生根据自己的情况，选择自己熟悉的方法。但通过解题过程的比较可以发现，向量的方法比较规范、简捷。本题对空间想像能力的考查与计算紧密结合，而且有多条途径可以解决问题，给考生以发挥的空间。既重视传统解法，也彰显向量解法的魅力。多法并举，宽入口，多角度凸显学生的能力。结合新课程新引入向量知识，丰富与拓展研究手段，既重视传统的方法又注重向量的方法是高考在立体几何方面的新动向。用向量这一有力的工具解决立体几何问题，融推理于计算，两种方法有机结合，相得益彰。 （2）客观题提高了思维深度由于新高考的题型的比例由各省自定，对易、中、难题分数比和选修部分不再强调“以容易题和中等题为主”的要求出现，势必形成客观题的思维深度进一步提高。我们从2003年全国高考第（8）题：棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）（A） （B） （C） （D）又如2004年全国高考理第（10）题：已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体EFGH的的表面积为T，则等于（ ）（A） （B） （C） （D）比较可以看出，这两道题目一脉相承，解法相仿，均需要用推理运算进行求解，并且后者稍难于前者。前者为正方体，后者为四面体，解决这两题的难度由此一目了然。这正是思维深度进一步提高的诠释。再如2005年重庆卷第10题：如图，在体积为1的三棱锥ABCD侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G使AE：EBAF：FCAC：CD2：1， 记O为三平面 BCG、CDE、DFB的交点，则三棱锥O-BCD的体积等于（A） （B） （C） （D）此题对空间想象能力、思维能力、运算能力的要求都较高。要求考生对图形作出细致的观察和理性的分析，对图形提供的信息进行合理加工，会根据需要对图形进行拆分与组合。此题实际上是求体积比，由于底面相同，则其值等于h0：ha。方法1不妨设ABCD为正三棱锥，如图DH为底面边BC上的中线，设A、C在底面上的射影分别是R、S，则HR：RDRS=3：6：4，所以OR：CS：AR3721，故两高的比h0：ha1：7方法2 设DEBG=M，BFCE=N，则CMDN=0观察下面的两个分拆出来的平面图形，如图：DM：ME=BD：EC=ADAC3：2，EDEM5：2。又CO：OMCD：MNED：EM=5：2，CO：CM57h0：ha1：7将立体图形拆分成或抽拿出若干平面图形，通过平面图形实施具体运算，可大大简化空间图形的抽象程度，这是解决较复杂问题的常用手法。在立体几何中引入空间向量以后，很多问题都可以应用向量的方法解决特别是近两年解答题采取“一题两法”的设计之后，应用空间向量的方法，可以通过建立空间坐标系，将几何元素之间的关系数量化，进而通过计算解决求角、证明的问题，空间向量更显现出解题的优势，因此对空间想像能力的考查正由大题向小题转移，特别是在新课程卷中一些多面体和旋转体不作要求，小题中对这些几何体的计算要求较低，更多地承担起考查空间想像能力的重任。例3对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是（A）如果m,n,m、n是异面直线，那么n（B）如果m,n,m、n是异面直线，那么n与相交（C）如果m, n，m、n共面，那么mn（D）如果m，n，m、n共面，那么mn分析：首先要读懂题，将文字语言、符号语言转化为图形语言进行研究。在选项（A）（B）中，n包含两种情况，n或n与a只有一个交点，这两种情况都可以使m、n为异面直线，因此（A）和（B）都不正确选项（C）恰是由线面平行推出线线平行定理的语言符号表述，是正确的。于是选项（D）肯定不正确，就不用再判断了。 本题考查空间直线与平面位置关系的判定，涉及到异面直线，直线与平面的三种位置关系，两条直线平行的判定等内容？体现出文字语言、符号语言转化为图形语言的能力，判断几何命题真假的方法与能力，体现出思维能力与空间想像能力的综合，属于中等题。在解决这类问题时，读题画图是关键，往往采用举特例排除的方法进行判断。例4 已知a、b为不垂直的异面直线，a是一个平面，则a、b在上的射影可能是：两条平行线 两条相互垂直的直线同一条直线 一条直线及其外一点在上面的结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）分析：因为本题是判断a、b在上的射影的可能的情况，对每个结论，如果能作出这种情境就是可能，如果不能构造出这种情境还需要证明这个结论是不成立的。过直线a作一个平面和b平行，再作一个平面与垂直，则a、b在上的射影为两条平行线这个结论是成立的。过直线a作平面，过直线b作平面垂直于，再作一个平面与、垂直，则a、b在上的射影互相垂直。这个结论是成立的。如果a、b在上的射影为同一直线，则a、b都在垂直于的平面内，与a、b为异面直线的条件矛盾。这个结论是不成立的。作一个平面和其中的一条直线垂直，则a在上的射影为一个点，而b的射影为一条直线。这个结论是成立的。分析：本题考查空间线面关系、空间想像能力、射影的概念和性质中画出图形将有助于解题。本题实际上是一个多选题，需要对结论进行逐个地判断。填空题虽然没有中间步骤、没有备选答案提示，但其中的题型是丰富多彩的，象本题就是一个典型的考查概念的题目，通过设置多个可能的情况，比较全面、深刻、精细地考查了直线及其在平面上射影的关系。例5下面是关于四棱柱的四个命题：若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱若两个过相对侧棱的两个截面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱若四个侧面两两全等，刚该四棱柱为直四棱柱若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 分析：本题是一个多选题，需要对四个命题逐个一进行判断？判定所给的条件是否能组成直棱柱。若有两个侧面垂直于底面，如果是两个相邻的侧面垂直于底面，则其交线必垂直于底面，就职可以判定为直棱柱；两个相对的侧面垂直于底面，则不能判定，但题目没有强调是相邻，所以不能判定。 若两个过相对侧棱的两个截面垂直于底面，则其交线垂直于底面，而侧棱与该交线平行，所以侧一棱垂直于底面，满足条件的四棱柱为直棱柱。 由各边长相等且全等的菱形为侧面，可组成个四棱柱，则其可能为平行六面体，并非一定是直一四棱柱。四棱柱的过相对侧棱的截面为平行四边形，二若其对角线相等则其为矩形，即侧棱垂直于底面，所以满足条件的四棱柱为直四棱柱。本题考查棱柱的定义和性质，直线和平面平行和垂直等位置关系的判定本题作为一个多选题，从侧棱、侧面、截面等几个角度考查直棱柱的充分或必要条件。题目中有的条件是直四棱柱的性质，如、，直四棱柱有这样的性质，但具备这个性质的四棱柱不一定是直四棱柱。而成立的两个都可以作为直四棱柱的性质或判定条件、在解题过程应当注意，对于这样的判断题，如果条件成立应当能够加以证明，如果不成立，需要举出反例。本题在考查直四棱柱的性质、空间想像能力的同时，还考查了严格的逻辑推理能力。（3）运动变化的观点解决空间图形问题新考纲对考生的空间想象能力的考查提出了“能够想象几何图形的运动和变化情况”的更高要求。因此立体几何题中除了固定的线线、线面、面面关系外，还渗透了一些“动态”的点、线、面元素，给“静态”的立体几何赋予了新的活力，新的亮点。例6（2005，江西）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动。I）证明：D1EA1D； II）（III）略。 略解 以D为坐标原点，直线DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系。 设AE=x，则A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0) “动”“静”结合，运动与变化相联系，向量法的运用，也为处理动态化问题找到了一条简捷有效的新途径。此类问题已成为高考命题的新增长点，如2001上海，2002全国，2004湖北，2005江西答卷中均有体现。例7（2004年高考重庆卷）若三棱锥A-BCD，侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等；则动点P的轨迹与ABC组成的图形可能是（ ） 解析：当AC上平面BCD时，问题化为点P到AB和BC距离相等的点的轨迹。显然，P点的轨迹是ABC的平分线。如图（1），排除（A）、B）当AC不垂直平面BCD时，如图2）。设P到平面DBC、到边BC的距离、到边AB的距离分别为h、dBC、dAB，设ABCD的大小为，则=sin1，所以排除（C），选（D）。点拨：此题将立体几何与解析几何巧妙结合，是对过去分离考核的创新。许多同学对此茫然。但此题的解答却很简单，利用普遍性与特殊性的关系转化，首先考虑特殊图形，然后考虑一般情形。（4）知识交汇点上命题，考查综合能力关注知识交汇点，把握知识纵横联系，揭示普遍规律，注重综合应用，在知识交汇点命题，考查综合分析问题、解决问题的能力，已成为命题的新热点。考纲要求，命题“从学科整体和思维价值的高度的考虑问题，在知识交汇点上设计考题”，“用统一的数学观点组织材料，对知识的考查侧重于理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力”。 例8（2005年全国卷1）过三棱柱任意两个顶点的直线共有15条，其中异面直线有（ ）（A）18对 （B）24对 （C）30对 （D）36对此题依托空间图形，借助于考查排列组合，着重考查概括村理论证能力。以这种形式结构命题的还有湖北理科的（12）题、江苏理科的12）题等。对分类、整合、等价转化的思维要求较高，是考查综合素质的优秀题目。一般来说，排列组合的分析计数过程就是概括推理论证的思维运作过程，它与立体几何的巧妙结合是体现“多考一点想，少考一点算”的很好题材。分析1（直接数）棱与棱成异面直线的有12对；棱与对角线成异面直线的有18对；对角线与对角线成异面直线的有6对；故异面直线共有（12186）对36对。分析2（间接数）上、下底面的共面直线各有对；每一个侧面的共面直线共有对；不同侧面的相交对角线与底面下棱构成的三角形的共面直线共有6对；故异面直线共有（）对=36对。分析3（等价转化）每四个不共面的点对应3对异面直线，在三棱柱中不共面四点的组数为3=12，所以异面直线的对数为12336。 三种思路体现三个不同的思维层次，分析3最简捷，这取决于对总是理解与契入的深度。例9（2005年江苏卷）四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的代工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱所代表的代工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为的四个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ）（A）96 （B）48 （C）24 （D）0例10（2005，湖北）以平等六面体ABCD-ABCD的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率P为（ ）。（A） （B） （C） （D）答：（A） 例11（2004，北京）如图，在正方体ABCD-ABCD中，P是侧面BB1C1C中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的的曲线是（ ）（A）直线 （B）圆 （C）双曲线 （D）抛物线答：（D）。以能力立意，命题注重对知识网络交汇部分的考查，深入开发立体几何题的综合考查功能，十分引人注目。近几年的高考试题中，以空间图形为背景的试题，其考查的知识内容和范围，已不再局限于立体几何的内部，而是旁及到代数、几何、三角、向量、组合等学科分支，对综合运用各种知识技能解题的灵活性，要求有所加强，应予以重视。 例12（2004年湖北理，11题）已知平面，所成的二面角为80，P为，外一定点，过点P的一条直线与,所成的角都是30，则这样的直线有且仅有（ ）（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条这类综合问题，虽为小题，但形式新颖，知识的交汇自然，具有一定的深度，已成为考查数学思想和方法，考查知识迁移能力的重要渠道。（5）精心设计与编制研究型、探索型、开放型问题考纲对考生的能力提出了创新意识的要求，并指出“设计考查数学主体内容，体现数学素质的题目，反映数、形运动变化的题目，研究型、探索型、开放型的问题”。例13（2003年全国，15题）在平面几何里，有勾股定理：“设ABC 的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则”。 这是一个将勾股定理拓展到空间的探究式问题。考查学生的空间想像能力和探究能力，检查了研究性学习的开展情况和效果。这道题得分率很低。 从平面到空间的类比问题，近年来多次出现，如：2002年上海春12题、2004年广东15题教师面积到体积的类比问题。应注意的是，这里的类比不是简单的知识迁移，还需要感知从二维到三维时，图形、度量的对应关系，在猜想、归纳的基础上进行证明。此类考题为考查创新意识提供了有效途径。通过开放条件、结论、策略、情景，让学生的思维在创造的气氛中得到锻炼与发展，并让学生在开放探索中发散思维，寻求问题众多的结构或结果，从而使学生的主体意识得以唤起，创新精神得以呈现。例14，是两个不同的平面，m,n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：mn, , n, m。以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题。略解 四个论断中选三个论断定作为条件，余下一个作为结论，一共可以构造四个命题：； ；。其中只有两个正确命题。此类试题通过开放条件、结论、策略、情况，考查学生发散性恩维能力和创新思维的能力。以立体几何为载体的探索性问题成为近年的命题热点之一。利用向量数量积的性质解决有关几何、代数问题，具有新颖、直观简明等优点，特别是对一些探索性问题用向量法去思考，思路清晰，目标明确，从而大大降低了求解难度，值得引起大家的重视。在复习中对它的研究将有利于培养学生的探索精神，开拓解决立体几何问题的新领域。研究性学习的目的是发现事物的规律（知识的规律与方法的规律），培养学生的创新意识与实践能力，引入课题式的设计是检测课改成果的一种有效尝试。例15（2004，上海）如图，PABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱PA、PB、PC上的点，截面DEF底面ABC，且棱台DBF-ABC与棱锥PABC的棱长和相等。（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）。（1）、（2）略；（3）设棱台DEF一ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的平行六面体，使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由。 略解 棱台DEF-ABC的棱长和6（等于正四面体的各棱长和，而正四面体的棱长为1），正四面体P ABC体积为，故0V，所以存在满足，条件的平行六面体。设直平行六面体各棱长均为，底面相邻两边夹角为，则该平行六面体的棱长和为6，体积为。若=V，则sin=8V，所以0V，08V0),用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是_.分析和解 这两个相同的直三棱柱各有5个面，但是拼合的方法却有7种，由于底面三角形是直角三角形，所以拼合底面的方法只有一种，而每个侧面都有两种不同的拼合方法，拼成后的三棱柱或四棱柱，其俯视图如图所示。如果拼合成四棱柱，俯视图有（2），（4），（6），（7）四种，由于粘合的面积越大，四棱柱的表面积越小，所以表面积最小的四棱柱当属（6），（7）两种，且其表面积都是。如果拼合成三棱柱，俯视图有（1），（3），（5）三种，计算可知对应的三棱柱的表面积分别为：12a2+48,24a2+36,24a2+32。为使S最小，只须满足24a2+2812a2+48,解得a。回顾十年来高考中立体几何例题的改革创新历程，记忆犹新：1996年主观试题客观化，1997年的填空题以组合的面目出现，1998年的填空题由已知结果探求条件，且答案不唯一，使试题更具开放性和探索性，1999年则要求考生将四个论断中的三个作条件，余下一个为结论，写出正确命题，2002年是多选题，通过一个空间图形在不同平面上的映射，考查学生多角度思考问题和空间想象的能力，进入新世纪后又在大题上进行了改革使其更有综合性、开放性。展望立体几何高考命题趋势，方向更明：考查空间线面关系和几何量的计算仍是高考的核心和热点，但表现形式由重结果向重形成过程转移。对基本技能和基本方法的考查由应用向提出问题、发现问题、并创造性的解决问题转移，设置开放式的题型，引导研究性学习与教学创新。正是体现了传统与创新的有机结合。三、备考复习建议1、强化基础知识由于立几的命题整体稳定，考查的重点没有变化，所以教学中仍然需要在着力培养空间想象能力的前提下，对平行、垂直及有关几何体的性质重点过关，注意归纳历年来各类问题的常规题型(如：球的问题主要有截面、球面距、体积与表面积、与多面体的组合问题等)，力保常规问题不失分，注意到大题中的线、面关系较多，如何有效地选择和组合题中的信息，需要有规范合理的思维程序，在教学中应注意提示这些思维程序。复习时应注意以下几点：（1）理解定义、定理本质，科学地进行判断与论证。依据定义、定理，定义定理是对立体几何中各元素间的关系或几何体的某些特性的存在与否进行判定与论证的依据，是高考的重要内容之一，高考中常以判断题的形式出现，解此类问题，关键是相关的概念、判定定理、性质定理要清楚，其次要否定某些错误的判断，可运用运动变化的思想，让点或直线或平面在满足条件的情况下充分运动，往往可以发现一些特殊情况或极端位置时出现错误。将文字语言、符号语言、图形语言灵活准确地进行转化是解答这类题目的前提，举反例是解判断题的常用方法。（2）重视九（A）与九（B）教材的互补作用。立体几何九（B）考试要求与九（A）相比，除了一些次序上的变化和空间向量内容的增加外，绝大多数要求都是一致的，立体几何九（B）最显著的特点就是：将原有的“平面向量”知识引申拓宽到“空间向量”，完善了向量的知识体系；同时，以空间向量为工具，利用向量的代数运算来解决空间的几何问题。既开阔了解决立体几何问题的视野，增加了解决空间问题的途径，也顺应了几何改革代数化的方向，因此，使用立体几何九（A）的学校在高三复习中，在原有立体几何九（A）的基础上，老师也应根据学生的具体情况，适时地增加一些立体几何九（B）中空间向量的有关知识，顺应新课程改革的潮流，以增加我们对新教材、新高考的适应能力，丰富我们解决这类问题的手段。高三复习中如何将两种教材中的优势揉合在一起，让九（B）成为九（A）的延伸和补充，充分发挥其独特的优势，有很多的工作要我们去做。又如二面角作为空间中最重要的角之一，是高考的必考内容之一，我们认为不管是哪一种教材体系，都应当把它列为重要的研究对象，而九（B）教材对二面角的处理仅仅设置了1课时，给师生以一带而过的感觉，特别是对二面角平面角的作法，绝大多数学生在一节课的时间内难以掌握，所以当学生都无法找到计算对象时，就更谈不上去求解它了。另外，该部分内容又不容易自然地纳入向量方法体系之中。因此，建议复习时增加关于二面角的例题，一方面把二面角的求解与向量方法结合起来；另一方面借此适当地提高综合推理的训练，因为空间的角度（也包括距离）是立体几何中重要的度量问题，这些问题的解决又一定程度依赖于综合推理。正如课程标准中要求所说：“把几何推理与代数运算推理有机地结合起来，为学生的思维活动开发了更加广阔的空间，在教学中要紧紧把握这个大方向，不能有所偏废。”2、把握向量方法利用向量方法来研究立体几何问题，这给传统的高中立体几何的教学注入了一股新鲜的气息，使学生初步体会到作为解决几何问题的通法-向量方法的威力。新课程高考立体几何题目设计的立意是考查思维能力和空间想象能力，特别是在解答题中使用向量代数方法解决立体几何问题的能力，让几何问题代数化。在复习空间向量这个内容时，由于空间向量与平面向量的框架结构、内容基本一致或相似，所以要注意多使用类比法复习空间向量。要侧重于简单多面体和球中所涉及的空间直线与平面各种位置关系的复习，着眼于空间观念和公理化体系处理问题的思想方法的训练。让学生在解决空间有关垂直、角度、距离等问题时，多从代数的角度考虑基底的选择和适当坐标系的建立，把相关问题转化为向量的模和夹角的问题来分析处理。这也需要我们老师多加引导，让学生在解决这类问题时多留个心眼儿，优先从空间向量的角度考虑。近几年来高考命题着重考查图形辨识、几何元素间的位置关系及一些几何量的计算，所出现的综合题基本是以简单多面体和球为依托，把论证和计算的几何问题寓于其间，带有一定的综合性，因而我们在这部分内容的复习上，也应做好知识立意向能力立意的转化，将逻辑思维能力、推理能力、计算能力融于空间想象能力和使用向量代数方法解决立体几何问题的能力之中。当然，将空间问题转化为平面问题，仍是我们解决立体几何问题的最基本的思维策略，难度宜把握在中档题水平，不必把面积和体积的计算作为重点。2003年前空间向量以解决线线角、线面角为主，2004年与2005年扩充到二面角、点面距、探索性问题等，能力要求相应提高，坐标系建立的隐蔽性加大，平面的法向量在各地的参考答案中被大量地采用。例17（2004年重庆文，19题）如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，AM=EF（1）证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；（2）若PA=3AB，求二面角E-AB-D的平面角的大小。（2）中，通过几何推理很容易得到，就是二面角两面的法向量，再用向量方法求二面角的大小变得极为简单，综合法与向量法在解立几题时各有优势，因此，在解题时最好用几何推理对线面关系进行准确“定性”的基础上，再利用空间向量进行“定量”计算，实现两法的优势互补。利用空间向量解决立体几何问题，关键是要建立适当的坐标系，能准确地用向量表示空间点、线，善于求解空间面的法向量，能熟练运用距离及夹角公式进行计算。策略上将线面角、面面角转化为线线角，把空间距离转化为求某个向量的模或点面距。空间向量数与形兼备，用它解决空间角、空间距离等问题简洁、直观，且有代数推理的严密性。空间向量的引入，导致解题方法增加，如点面距的求法有：传统的体积法，作垂线段求长度及求斜线段在法向量方向的射影长等，不同的方法因题设条件的不同而各有长短，需要针对具体的情况选择合理、简捷、有效的解法，因此，教学中应通过典型问题给学生对比辨析，提高“选法”能力和考试中的应变能力。3、强调数学思想方法化归思想是立体几何中最常见、最重要的数学思想方法，在解答问题时，往往需要定理之间的相互转化，这当中，一个定理的结论，常常又是后续定理的前提条件。在对问题的证明或计算时，一般需要将立体图形化归为平面图形，把新的问题情景纳入到原有的认知结构中去，用我们熟悉的平面几何知识或三角方法解答。立体几何中，平面与空间图形间的变换（如把平面图形折叠、旋转成空间图形，把空间图形展开成平面图形，把空间图形切割、补形与换底等），点、线、面之间的平行与垂直关系，把陌生的问题转化为熟悉的问题等等都属常见的化归与转化。例18（全国卷III）在正方体ABCD-ABCD中，过对角线BD的一个平面交AA于E，交CC于F，则（1）四边形BFDE一定是平行四边形。（2）四边形BFDE有可能是正方形。（3）四边形BFDE在底面ABCD内的投影一定是正方形。（4）平面BFDE在底面ABCD内的投影一定是正方形。以上结论正确的为。（写出所有正确结论的编号）解答此题，考生需对每一命题进行分析，画出图形且对图形中的点、线、面有一个清晰的认识，然后作出准确的判断这需要有一定的空间想象能力。正方体是学生熟悉的基本图形。但这类问题仍可常考常新，此题有着较好的体现当四边形BFDE以BD为轴转动时，对其几何性态如何改变作出准确判断是解决问题的关键，求解时应注意对“一定”、“可能”等语言的准确理解。由面面平行的性质定理，有BEFD，BFED。故(1)正确：E、F分别为AA、CC的中点时四边形的四条边才相等，此时显然不是正方形，（2）不对；四边形BFDE在底面的投影就是底面ABCD。（3）正确；当E、F分别为AA,CC的中点时，EF与BD、BB都垂直。（4）正确。面面平行或面面垂直的判断，关键是能否将其转化为线线平行或线线垂直的判断，这是立体几何中的“降维等价转换”，即面面线面线线的转换（如图）。空间图形位置的不确定性，某些最值问题（如异面直线间的距离即异面直线上任意两点之间的距离的最小值），三角形的边角关系等，常常要建立目标函数，运用函数的性质求解，或列方程（组），运用方程的观点解决。 立体几何中的计算与证