高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理学案 苏教版必修4.doc

23向量的坐标表示23.1平面向量基本定理学习目标1.通过研究一向量与两不共线向量之间的关系体会平面向量基本定理的含义，了解基底的含义.2.理解并掌握平面向量基本定理知识链接1如图所示，e1，e2是两个不共线的向量，试用e1，e2表示向量，a.答通过观察，可得：2e13e2，e14e2，4e14e2，2e15e2，2e15e2，a2e1.20能不能作为基底？答由于0与任何向量都是共线的，因此0不能作为基底3平面向量的基底唯一吗？答不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面内所有向量的一组基底预习导引1平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.(2)基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2正交分解：一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a1e12e2的形式，我们称它为向量a的分解当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解.要点一平面向量基本定理的理解例1下列说法：一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底；一个平面内有无数多对不共线的向量可作为该平面所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量；e1，e2是平面内所有向量的一组基底，若实数1，2使1e12e20，则120；e1与e2是一组基底，则1e12e2不一定在平面内其中正确的是_(写出正确的所有序号)答案解析平面向量的基底不唯一，在同一平面内任何一组不共线向量都可以作为平面向量的一组基底零向量可看成与任何向量平行，故零向量不能作为基底中的向量，故正确；正确；错，因为在平面内任一向量都可以表示为1e12e2的形式，故1e12e2表示的向量在平面内规律方法对平面向量基本定理的理解是解题的关键，因为零向量与任意向量共线，故不能作基底，1e12e20，在e1与e2不共线时，有120.跟踪演练1给出下面四个命题：若ab，则必存在唯一的实数，使ba；若a a，则(，r)；若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么向量e1e2和e1e2也能作为一组基底；若1e12e21e12e2(1，2，1，2r)，则11，22.写出其中所有正确命题的序号_答案解析若a为零向量，满足ab(b0)，但不存在实数，使ba；若a为零向量满足3a2a，但32；假设e1e2与e1e2共线，则存在实数，使e1e2(e1e2)即(1)e1(1)e2，所以e1和e2共线，与e1和e2不共线矛盾从而e1e2与e1e2不共线，故它们可以作为一组基底；当e1与e2共线时，结论不一定成立要点二用基底表示向量例2如图所示，设m，n，p是abc三边上的点，且，若a，b，试用a，b将、表示出来解ab，b(ab)ab，()(ab)规律方法(1)用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则，结合数乘定义，解题时要注意解题途径的优化与组合(2)将向量c用a，b表示，常采用待定系数法，其基本思路是设cxayb，其中x，yr，然后得到关于x，y的方程组求解跟踪演练2已知梯形abcd中，abdc，且ab2cd，e、f分别是dc、ab的中点，设a，b，试以a、b为基底表示、.解如图，连结fd.dcab，ab2cd，e、f分别是dc、ab的中点，dcfb且dcfb，四边形dcbf为平行四边形b，ab，bba.要点三平面向量基本定理的应用例3如图，在abc中，点m是边bc的中点，点n在边ac上，且an2nc.am与bn相交于点p，求appm的值解设e1，e2，则3e2e1，2e1e2.a，p，m和b，p，n分别共线，存在实数，使得e13e2，2e1e2.故(2)e1(3)e2.而2e13e2，由平面向量基本定理，得解得，appm41.规律方法(1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线注意方程思想的应用(2)用基底表示向量也是用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握跟踪演练3如图，在oab中，延长ba到c，使abac，d是将分成21的一个分点，dc和oa交于点e，设a，b.(1)用a，b表示向量，；(2)若，求实数的值解(1)a为bc中点，()，2ab.2abb2ab.(2)，a2ab(2)ab.与共线，存在实数m，使得m，即(2)abm，即(2m2)ab0.a，b不共线，解得.1若e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是_e12e2和e12e2；e1与3e2；2e13e2和4e16e2；e1e2与e1.答案解析2e13e2与4e16e2共线不能作为基底2若e1，e2是表示平面所有向量的一组基底，且a3e14e2，b6e1ke2不能作为一组基底，则k的值为_答案8解析当ab时，a，b不能作为一组基底，故存在，使得ab，即3e14e2(6e1ke2)，63，且k4.解得，k8.3如图，已知a，b，3，用a，b表示，则_.答案ab解析()ab.4已知g为abc的重心，设a，b.试用a、b表示向量.解如图，连结ag并延长，交bc于点d，则d为bc的中点，()()ab.1.对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件(2)零向量与任一向量共线，故不能作为基底2准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决一、基础达标1若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是_e1e2，e2e1；2e1e2，e12e2；2e23e1,6e14e2；e1e2，e1e2.答案2设d，e，f分别为abc的三边bc，ca，ab的中点，则_.答案解析如图，()2.3若a，b，(1)，则_.答案ab解析，()，(1)，ab.4.如图所示，平面内的两条直线op1和op2将平面分割成四个部分，(不包括边界)，若ab，且点p落在第部分，则实数a，b满足_a0，b0；a0，b0；a0；a0，b0.答案解析当点p落在第部分时，按向量与分解时，一个与反向，一个与同向，故a0.5设向量m2a3b，n4a2b，p3a2b，若用m，n表示p，则p_.答案mn解析设pxmyn，则3a2bx(2a3b)y(4a2b)(2x4y)a(3x2y)b，得所以pmn.6在abc中，c，b.若点d满足2，则_.答案bc解析()bc.7如图，在abcd中，a，b，e、f分别是ab、bc的中点，g点使，试以a，b为基底表示向量与.解ab.abaab.二、能力提升8如图，在abc中，ad是bc边上的中线，f是ad上的一点，且，连结cf并延长交ab于e，则_.答案解析设a，b，.，()ab.ab.，.9如图，已知abc中，2，2，若f为de的中点，则_，_.答案解析()()()，.10如图，abc中，若a，b，ab，则_.答案0解析()babba，0.11在平行四边形abcd中，a，b，(1)如图1，如果e，f分别是bc，dc的中点，试用a，b分别表示，.(2)如图2，如果o是ac与bd的交点，g是do的中点，试用a，b表示.解(1)ab.ab.(2)ba，o是bd的中点，g是do的中点，(ba)，a(ba)ab.12.如图所示，在abc中，点m为ab的中点，且，与相交于点e，设a