2007级《复变函数期》期中试题A答案.doc

班级 学号 姓名 长治学院2007级复变函数期中试题(A)长治学院2009-2010学年第一学期期中考试A卷答案课程 复变函数 适用专业年级 数学系2007级各专业一、 单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。题号12345678910答案CAADACBCAD1下列复数中，位于第象限的复数是（ C ）A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i2下列等式中，对任意复数z都成立的等式是（ A ）A.z=Re(z) B. z=Im(z) C. z=arg(z)D. z=|z|3. 关于复数的对数函数，下面式子正确的是（ A ）.A. Ln(z1z2)=Lnz1+Lnz2 B. ln(z1z2)=lnz1+lnz2 C. Ln(z)2=2Lnz D. ln(z)2=2lnz4函数 把z平面上的单位圆周|z|=1变成w平面上的（ D ）A.不过原点的直线 B.双曲线 C.椭圆 D.单位圆周5下列函数中，不解析的函数是（ A ）A.w=B.w=z2 C.w=ez D.w=z+cosz6在复平面上，下列关于正弦函数sinz的命题中，错误的是( C )A.sinz是周期函数B.sinz是解析函数C.|sinz|D.7在下列复数中，使得ez=2成立的是（ B ）A.z=2 B.z=ln2+2 C.z= D.z=ln2+8若f(z)在D内解析，为f(z)的一个原函数，则（ C ）A. B. C. D. 9设C为正向圆周|z|=1,则等于（ A ）A.0B.C.D.10若，则A. B. C. D. 二、填空题(每小题2分，共20分)11. z=x+iy,已知x= -1,argz=,则y, |z|分别等于. 12. 则argz= -5/12 . 13. 曲线的复数方程为z=t-,t0. tR，它的直角坐标方程是: xy=-1 14. f(z)=sinz,则f(i)= cos(i) . 15. 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，并且v(x,y)=1-x,则:f (z)= -i fz=vy+ivx=-i16. 在w=z3的映射下，z平面上的区域-argz映射成w平面上的区域-/2argw/2.17. 设C为自z=0到z=1的直线段，则积分= 0 C:z=x,0x1,所以18. 设C1为正向圆周|z|=1,C2为正向圆周|z-2|=1,则积分= e2 19. 叙述摩勒拉(Morea)定理： 设D为单连通区域,(1) fzAD,(2)对D内任意周线C,均有Cfzdx=0,则fzAD20叙述柯西(Cauchy)积分定理：设D为单连通区域,(1) fzAD,则对D内任意周线C,均有Cfzdx=0,则fzAD三、计算题(每小题10，共30分)21. 已知变换，求：(1) 圆周|z|=2的像；(2) 直线y=x的像；解 (1) w=1zz=1w,于是,z=1w=1/zw=1/2(2)令w=u+iv,z=x+iyw=1zz=1wx+iy=1u+ivx=uu2+v2,y=-vu2+v2x=yw=1/zuu2+v2-vu2+v2u=-v解2：因为y=x，所以 w=1z=1x+iy=1x(1+i)=1-i2xu=12x, v=-12xu=-v22. 论函数的可微性与解析性，并求相应的导数解 u=x3-y3,v=2x2y2dudx=3x2,dudy=-3y2 ,dvdx=4xy2,dvdy=4x2y由C-R方程得3x2=4x2y-3y2 =-4xy2x23-4y=0y23-4x=0x=0y=0x=3/4y=3/4即函数fz=x3-y3+2x2y2i仅仅在点z=0与z=3/4+i3/4点可微,在z平面上处处不解析.又因为fz=3x2+i3y2 ,所以f0=0,f34+i34=3342+i3342=27161+i 23. 计算积分.解:周C:z=2,C1:z=1/3,C2:z-1=1/3,则 =C+C1-+C2-,则G 构成复周线,f(z)A(),于是利用复周线情形的Cauchy积分定理得:z=21zz-12dz=C11zz-12dz+C21zz-12dz =C11/z-12zdz+C21/zz-12dz =2i1z-12z=0+2i1zz=1= 2i-2i=0四、证明题（每小题10分，共30分）24. 计算(2+i)(3+i),并证明：解及证 (1) 2+i3+i=5(1+i)(2)因为arg2+i=arctan12,arg3+i=arctan13arg5(1+i=4由辐角公式,可得arg51+i=arg2+i3+i=arg2+i+arg3+i4=arctan12+arctan13解2 因为 arctan12+arctan13=12iln1+12i1-12i+ln1+13i1-13i=12iln2+i2-i+ln3+i3-i=12iln2+i2-i3+i3-i=12iln5(1+i)5(1-i)=12ilni=12i2i=425. 证明：若函数在区域D内为解析函数，且arg f(z)在D内为常数，则在D内为常数证明: 设 fz=ux,y+iv(x,y),则(1).若ux,y0或v(x,y)0,則在D内为常数(2).若ux,y0且v(x,y)0,則因为argfz=arctanv(x,y)u(x,y)为常数,所以arctanv(x,y)u(x,y)=C(常数)v(x,y)u(x,y)=tanC=常数上式两端分别关于x,y求偏导数,得vxu-uxvu20vyu-uyvu20vxu-uxv0vyu-uyv0C-R-uyu-uxv0uxu-uyv0,对任意的u,v均成立uy uxux -uy0ux2+uy20ux0,uy0C-Rvx0,v0u常数,v常数fz=u+iv常数ABEFD26. 设函数f(z)