高中数学第二章平面向量5从力做的功到向量的数量积(一)课件北师大版必修4

5从力做的功到向量的数量积 一 第二章平面向量 学习目标1 了解平面向量数量积的物理背景 即物体在力F的作用下产生位移s所做的功 2 掌握平面向量数量积的定义和运算律 理解其几何意义 3 会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一两向量的夹角 思考1 以上几组向量中 a b共线吗 答案 答案存在夹角 不一样 思考2 ABC为正三角形 设 a b 则向量a与b的夹角是多少 答案 答案如图 延长AB至点D 使AB BD 则 a ABC为等边三角形 ABC 60 则 CBD 120 故向量a与b的夹角为120 1 夹角 已知两个a和b 作 a b 则 0 180 叫作向量a与b的夹角 如图所示 梳理 当 0 时 a与b 当 180 时 a与b 2 垂直 如果a与b的夹角是90 我们说a与b垂直 记作a b 规定零向量可与任一向量垂直 非零向量 AOB 同向 反向 知识点二平面向量数量积的物理背景及其定义 思考1 如何计算这个力所做的功 答案 答案W F s cos 一个物体在力F的作用下产生位移s 如图 思考2 力做功的大小与哪些量有关 答案 答案与力的大小 位移的大小及它们之间的夹角有关 1 数量积 已知两个非零向量a与b 它们的夹角为 我们把叫作a与b的数量积 或内积 记作a b 即a b 2 数量积的特殊情况当两个向量相等时 a a 当两个向量e1 e2是单位向量时 e1 e2 梳理 a b cos a b cos a 2 e1 e2 cos cos 知识点三平面向量数量积的几何意义 答案 思考1 什么叫作向量b在向量a上的射影 什么叫作向量a在向量b上的射影 答案如图所示 a b 过B作BB1垂直于直线OA 垂足为B1 则OB1 b cos b cos 叫作向量b在a方向上的射影 a cos 叫作向量a在b方向上的射影 答案 思考2 向量b在向量a上的射影与向量a在向量b上的射影相同吗 答案 答案由射影的定义知 二者不一定相同 1 射影 若非零向量a b的夹角为 则叫作向量b在a方向上的射影 简称为投影 2 a b的几何意义 a与b的数量积等于a的长度 a 与b在a方向上的射影的乘积 或b的长度 b 与a在b方向上的射影的乘积 梳理 b cos b cos a cos 知识点四平面向量数量积的性质 答案 思考1 向量的数量积运算的结果和向量的线性运算的结果有什么区别 答案 答案向量的线性运算的结果是向量 而向量的数量积运算的结果是数量 思考2 非零向量的数量积是否可为正数 负数和零 其数量积的符号由什么来决定 答案 答案由两个非零向量的夹角决定 当0 90 时 非零向量的数量积为正数 当 90 时 非零向量的数量积为零 当90 180 时 非零向量的数量积为负数 向量的数量积的性质 1 若e是单位向量 则e a 2 a b 3 4 cos a b 0 5 对任意两个向量a b 有 a b a b 当且仅当a b时等号成立 梳理 a e a cos a b 0 a 题型探究 类型一求两向量的数量积 例1已知 a 4 b 5 当 1 a b 2 a b 3 a与b的夹角为30 时 分别求a与b的数量积 解答 解 1 a b 若a与b同向 则 0 a b a b cos0 4 5 20 若a与b反向 则 180 a b a b cos180 4 5 1 20 2 当a b时 90 a b a b cos90 0 3 当a与b的夹角为30 时 a b a b cos30 4 5 10 求平面向量数量积的步骤 1 求a与b的夹角 0 180 2 分别求 a 和 b 3 求数量积 即a b a b cos 要特别注意书写时a与b之间用实心圆点 连接 而不能用 连接 也不能省去 反思与感悟 跟踪训练1已知菱形ABCD的边长为a ABC 60 则 等于 答案 解析 解析如图所示 由题意 得BC a CD a BCD 120 例2已知 a b 5 向量a与b的夹角为 求 a b a b 类型二求向量的模 解答 引申探究若本例中条件不变 求 2a b a 2b 解答 此类求解向量模的问题就是要灵活应用a2 a 2 即 a 勿忘记开方 反思与感悟 跟踪训练2已知 a b 5 且 3a 2b 5 求 3a b 的值 解 3a 2b 2 9 a 2 12a b 4 b 2 9 25 12a b 4 25 325 12a b 3a 2b 5 325 12a b 25 a b 25 3a b 2 3a b 2 9a2 6a b b2 9 25 6 25 25 400 故 3a b 20 解答 例3设n和m是两个单位向量 其夹角是60 求向量a 2m n与b 2n 3m的夹角 类型三求向量的夹角 解答 解 n m 1且m与n的夹角是60 a b 2m n 2n 3m m n 6m2 2n2 设a与b的夹角为 当求向量夹角时 应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角 注意向量夹角的范围是 0 反思与感悟 跟踪训练3已知a b 9 a在b方向上的射影为 3 b在a方向上的射影为 求a与b的夹角 又 0 180 120 解答 当堂训练 1 已知 a 8 b 4 a b 120 则向量b在a方向上的射影为A 4B 4C 2D 2 2 3 4 5 1 解析向量b在a方向上的射影为 b cos a b 4 cos120 2 答案 解析 2 3 4 5 1 答案 解析 2 设向量a b满足 a b a b 则a b等于A 1B 2C 3D 5 解析 a b 2 a b 2 a2 2a b b2 10 a b 2 a b 2 a2 2a b b2 6 由 得4a b 4 a b 1 3 若a b c与a及与b的夹角均为60 a 1 b 2 c 3 则 a 2b c 2 答案 2 3 4 5 1 解析 11 解析 a 2b c 2 a2 4b2 c2 4a b 2a c 4b c 12 4 22 32 4 0 2 1 3 cos60 4 2 3 cos60 11 2 3 4 5 1 4 在 ABC中 13 5 12 则 的值是 25 答案 解析 解答 2 3 4 5 1 5 已知正三角形ABC的边长为1 求 解答 2 3 4 5 1 规律与方法 1 两向量a与b的数量积是一个实数 不是一个向量 其值可以为正 当a 0 b 0 0 90 时 也可以为负 当a 0 b 0 90 180 时 还可以为0 当a 0或b 0或 90 时 2 两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算 与实数乘实数 实数乘向量的乘法运算是有区别的 在书写时一定要把它们严格区分开来 绝不可混淆 3 在a b a b cos 中 b cos 和 a cos 分别叫作b