高中数学第一章计数原理章末复习课课件北师大版选修2_3

章末复习课 第一章计数原理 学习目标1 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理 会利用两种原理解决一些实际问题 2 理解排列数和组合数公式的推导过程 掌握排列组合在实际问题中的应用 3 掌握二项式定理和二项展开式的性质 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 1 分类加法计数原理完成一件事 可以有n类办法 在第一类办法中有m1种方法 在第二类方案中有m2种方法 在第n类办法中有mn种方法 那么 完成这件事共有N 种方法 2 分步乘法计数原理完成一件事需要n个步骤 缺一不可 做第一步有m1种方法 做第二步有m2种方法 做第n步有mn种方法 那么 完成这件事共有N 种方法 m1 m2 mn m1 m2 mn 3 排列数与组合数公式及性质 n m 1 1 4 二项式定理 1 二项式定理的内容 a b n 3 二项式系数的性质 与首末两端等距离的两个二项式系数相等 题型探究 命题角度1分类讨论思想 类型一数学思想方法在求解计数问题中的应用 例1有12名划船运动员 其中3人只会划左舷 4人只会划右舷 其余5人既会划左舷又会划右舷 现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左 右舷划船参加比赛 则有多少种不同的选法 解答 解分四类第一类 3个只会左舷的人全不选 有 200 种 第二类 3个只会划左舷的人中只选1人 有 1050 种 第三类 3个只会划左舷的人中只选2人 有 840 种 第四类 3个只会划左舷的人全选 有 84 种 所以共有200 1050 840 84 2174 种 选法 反思与感悟 解含有约束条件的排列 组合问题 应按元素的性质进行分类 分类时需要满足两个条件 1 类与类之间要互斥 保证不重复 2 总数要完备 保证不遗漏 跟踪训练1从1 2 3 4 5 6这6个数字中 任取3个数字组成无重复数字的三位数 其中若有1和3时 3必须排在1的前面 若只有1和3中的一个时 它应排在其他数字的前面 这样不同的三位数共有 个 用数字作答 解析1与3是特殊元素 以此为分类标准进行分类 分三类 没有数字1和3时 有个 只有1和3中的一个时 有个 同时有1和3时 把3排在1的前面 再从其余4个数字中选1个数字插入3个空当中的1个即可 有个 解析 答案 60 命题角度2 正难则反 思想 例2设集合S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 集合A a1 a2 a3 是S的子集 且a1 a2 a3满足a1 a2 a3 a3 a2 6 那么满足条件的集合A的个数为A 78B 76C 83D 84 解析 答案 解析若从正面考虑 需分当a3 9时 a2可以取8 7 6 5 4 3 共6类 当a3 8时 a2可以取7 6 5 4 3 2 共6类 分类较多 而其对立面a3 a2 6包含的情况较少 当a3 9时 a2取2 a1取1 只有这一种情况 利用正难则反思想解决 集合S的含有三个元素的子集的个数为 84 在这些含有三个元素的子集中能满足a16的集合只有 1 2 9 故满足题意的集合A的个数为84 1 83 反思与感悟 对于正面处理较复杂或不易求解的问题 常常从问题的对立面去思考 跟踪训练2由甲 乙 丙 丁4名学生参加数学 写作 英语三科竞赛 每科至少1人 且每人仅报一科 若学生甲 乙不能同时参加同一竞赛 则不同的参赛方案共有 种 解析 答案 解析从4人中选出两个人作为一个元素有种方法 同其他两个元素在三个位置上排列有 36 种 方案 其中有不符合条件的 即学生甲 乙同时参加同一竞赛有种结果 不同的参赛方案共有36 6 30 种 30 解答 类型二排列与组合的综合应用 例3在高三一班元旦晚会上 有6个演唱节目 4个舞蹈节目 1 当4个舞蹈节目要排在一起时 有多少种不同的节目安排顺序 解第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来 看成1个节目 与6个演唱节目一起排 有 5040 种 方法 第二步再松绑 给4个节目排序 有 24 种 方法 根据分步乘法计数原理 一共有5040 24 120960 种 安排顺序 2 当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时 有多少种不同的节目安排顺序 解答 解第一步将6个演唱节目排成一列 如下图中的 一共有 720 种 方法 第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个演唱节目中间 这样相当于7个 选4个来排 一共有 840 种 方法 根据分步乘法计数原理 一共有720 840 604800 种 安排顺序 3 若已定好节目单 后来情况有变 需加上诗朗诵和快板2个节目 但不能改变原来节目的相对顺序 有多少种不同的节目演出顺序 解答 解若所有节目没有顺序要求 全部排列 则有种排法 但原来的节目已定好顺序 需要消除 所以节目演出的方式有 132 种 排列 排列与组合的综合问题 首先要分清何时为排列 何时为组合 对含有特殊元素的排列 组合问题 一般先进行组合 再进行排列 对特殊元素的位置有要求时 在组合选取时 就要进行分类讨论 分类的原则是不重 不漏 在用间接法计数时 要注意考虑全面 排除干净 反思与感悟 跟踪训练3有5个男生和3个女生 从中选出5人担任5门学科的课代表 分别求符合下列条件的选法数 1 有女生但人数必须少于男生 2 某女生一定要担任语文课代表 解答 解除去该女生后 即相当于剩余的7名学生选4名担任4门学科的课代表 有 840 种 选法 3 某男生必须包括在内 但不担任数学课代表 4 某女生一定要担任语文课代表 某男生必须担任课代表 但不担任数学课代表 解答 于是有理项为T1 x5和T7 13440 解答 类型三二项式定理及其应用 命题角度1二项展开式的特定项问题 例4已知在的展开式中 第5项的系数与第3项的系数之比是56 3 1 求展开式中的所有有理项 3 3 2 求展开式中系数绝对值最大的项 解答 又因为r 1 2 3 9 所以r 7 又因为当r 0时 T1 x5 解答 1 确定二项式中的有关元素 一般是根据已知条件 列出等式 从而可解得所要求的二项式中的有关元素 2 确定二项展开式中的常数项 先写出其通项公式 令未知数的指数为零 从而确定项数 然后代入通项公式 即可确定常数项 3 求二项展开式中条件项的系数 先写出其通项公式 再由条件确定项数 然后代入通项公式求出此项的系数 4 求二项展开式中各项系数的和差 赋值代入 5 确定二项展开式中的系数最大或最小项 利用二项式系数的性质 反思与感悟 跟踪训练4已知的展开式的倒数第三项的系数为45 1 求含有x3的项 解答 2 求系数最大的项 解答 解令x 1 代入已知式可得 a0 a1 a2 a10 0 而令x 0 得a0 32 a1 a2 a10 32 解 x2 3x 2 5 x 1 5 x 2 5 a2是展开式中x2的系数 解答 命题角度2二项展开式的 赋值 问题 例5若 x2 3x 2 5 a0 a1x a2x2 a10 x10 1 求a2 2 求a1 a2 a10 3 求 a0 a2 a4 a10 2 a1 a3 a7 a9 2 解令x 1可得 a0 a2 a4 a10 a1 a3 a7 a9 65 再由 a0 a2 a4 a10 a1 a3 a7 a9 0 把这两个等式相乘可得 a0 a2 a4 a10 2 a1 a3 a7 a9 2 65 0 0 解答 与二项式系数有关 包括求展开式中二项式系数最大的项 各项的二项式系数或系数的和 奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和 主要方法是赋值法 通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系 确定给字母所赋的值 有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项 此时要专门求出这一项 而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时 往往要两次赋值 再由方程组求出结果 反思与感悟 跟踪训练5若 x2 1 x 3 9 a0 a1 x 2 a2 x 2 2 a3 x 2 3 a11 x 2 11 则a1 a2 a3 a11的值为 解析 答案 解析令x 2 得a0 22 1 2 3 9 5 令x 3 则a0 a1 a2 a3 a11 32 1 3 3 9 0 所以a1 a2 a3 a11 a0 5 5 当堂训练 解析分两类 第一类 有3名被录用 有 24 种 第二类 4名都被录用 则有一家企业录用2名 有 36 种 根据分类加法计数原理得 共有24 36 60 种 2 3 4 5 1 1 4名大学生到三家企业应聘 每名大学生至多被一家企业录用 则每家企业至少录用一名大学生的情况有A 24种B 36种C 48种D 60种 解析 答案 2 3 4 5 1 2 已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32 常数项为80 则a的值为A 1B 1C 2D 2 答案 解析 解析由条件知2n 32 即n 5 令15 5r 0 得k 3 3 3 2 3 4 5 1 3 某校一社团共有10名成员 从周一到周五每天安排两人值日 若甲 乙必须排在同一天 且丙 丁不能排在同一天 则不同的安排方案有A 21600种B 10800种C 7200种D 5400种 答案 解析 2 3 4 5 1 解析 解析令x 1 得a0 a1 a2 a12 36 令x 1得a0 a1 a2 a3 a12 1 得a0 a2 a4 a12 令x 0 得a0 1 a2 a4 a12 364 4 若 1 x x2 6 a0 a1x a2x2 a12x12 则a2 a4 a12 答案 364 5 航天员拟在太空授课 准备进行标号为0 1 2 3 4 5的六项实验 向全世界人民普及太空知识 其中0号实验不能放在第一项 最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号 则实验顺序的编排方法种数为 用数字作答 答案 解析 解析由于0号实验不能放在第一项 所以第一项实验有5种选择 因为最后两项实验的顺序确定 所以共有 300 种 不同的编排方法 2 3 4 5 1 300 规律与方法 1 排列与组合 1 排列与组合的区别在于排列是有序的 而组合是无序的 2 排列问题通常分为无限制条件和有限制条件 对于有限制条件的排列问题的考虑途径 元素分析法 先考虑特殊元素的要求 再考虑其他元素 位置分析法 先考虑特