高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 2_1 抛物线及其标准方程课件 北师大版选修2-11

第三章 2抛物线 2 1抛物线及其标准方程 学习目标1 掌握抛物线的定义及焦点 准线的概念 2 掌握抛物线的标准方程及其推导 3 明确抛物线标准方程中p的几何意义 并能解决简单的求抛物线标准方程的问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一抛物线的定义 思考1 平面内 到两定点距离相等的点的轨迹是什么 连接两定点所得线段的垂直平分线 答案 思考2 平面内 到两个确定平行直线l1 l2距离相等的点的轨迹是什么 一条直线 答案 思考3 到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是什么 抛物线 答案 梳理 1 平面内与一个定点F和一条定直线l l不过F 的距离的点的集合叫作抛物线 点F叫作抛物线的 直线l叫作抛物线的 2 定义的实质可归纳为 一动三定 一个动点 设为M 一个定点F 抛物线的焦点 一条定直线 抛物线的准线 一个定值 即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1 1 相等 焦点 准线 知识点二抛物线的标准方程 思考 抛物线的标准方程有何特点 1 以方程的解为坐标的点在抛物线上 2 对称轴为坐标轴 3 p为大于0的常数 其几何意义表示焦点到准线的距离 4 准线与对称轴垂直 垂足与焦点关于原点对称 5 焦点 准线到原点的距离都等于 答案 梳理 由于抛物线焦点位置不同 方程也就不同 故抛物线的标准方程有以下几种形式 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 现将这四种抛物线对应的图形 标准方程 焦点坐标及准线方程列表如下 题型探究 类型一抛物线的定义及理解 设动点M x y 上式可看作动点M到原点的距离等于动点M到直线3x 4y 12 0的距离 所以动点M的轨迹是以原点为焦点 以直线3x 4y 12 0为准线的抛物线 A 椭圆B 双曲线C 抛物线D 以上都不对 答案 解析 设动点Q x y 则有x x y y xy 又有x2 y2 1 即 x y 2 2xy 1 所以x 2 2y 1 故Q x y xy 的轨迹所在的曲线是抛物线 2 已知点P x y 在以原点为圆心的单位圆x2 y2 1上运动 则点Q x y xy 的轨迹所在的曲线是 在圆 抛物线 椭圆 双曲线中选择一个作答 答案 解析 抛物线 抛物线的判断方法 1 可以看动点是否符合抛物线的定义 即到定点的距离等于到定直线 直线不过定点 的距离 2 求出动点的轨迹方程 看方程是否符合抛物线的方程 反思与感悟 跟踪训练1平面上动点P到定点F 1 0 的距离比点P到y轴的距离大1 求动点P的轨迹方程 解答 方法一设点P的坐标为 x y 两边平方并化简得y2 2x 2 x 方法二由题意 动点P到定点F 1 0 的距离比到y轴的距离大1 由于点F 1 0 到y轴的距离为1 故当x 0时 直线y 0上的点适合条件 当x 0时 原命题等价于点P到点F 1 0 与到直线x 1的距离相等 故点P的轨迹是以F为焦点 x 1为准线的抛物线 方程为y2 4x 类型二抛物线标准方程及求解 命题角度1抛物线的焦点坐标或准线方程的求解例2求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 1 y2 40 x 2 4x2 y 焦点坐标为 10 0 准线方程为x 10 解答 解答 3 3y2 5x 解答 4 6y2 11x 0 解答 根据抛物线方程求准线方程或焦点坐标时 应先把抛物线的方程化为标准方程 即等式左端是二次项且系数是1 等式右端是一次项 这样才能准确写出抛物线的准线方程 反思与感悟 因为抛物线的焦点坐标为 1 0 跟踪训练2若抛物线y2 2px的焦点坐标为 1 0 则p 准线方程为 2 x 1 答案 解析 命题角度2求解抛物线的标准方程例3根据下列条件分别求抛物线的标准方程 1 已知抛物线的准线方程是x 解答 设抛物线的标准方程为y2 2px p 0 因此标准方程为y2 6x 设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2 2px p 0 A m 3 又 3 2 2pm p 1或p 9 故所求抛物线的标准方程为y2 2x或y2 18x 2 抛物线的焦点F在x轴上 直线y 3与抛物线交于点A AF 5 解答 抛物线标准方程的求法 1 定义法 建立适当坐标系 利用抛物线的定义列出动点满足的条件 列出方程 进行化简 根据定义求出p 最后写出标准方程 2 待定系数法 由于标准方程有四种形式 因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上 进而确定方程的形式 然后再利用已知条件确定p的值 反思与感悟 跟踪训练3已知抛物线的顶点在原点 对称轴为x轴 抛物线上的点M 3 m 到焦点的距离等于5 求抛物线的方程和m的值 并写出抛物线的焦点坐标和准线方程 解答 设抛物线方程为y2 2px p 0 抛物线的焦点坐标为 2 0 准线方程为x 2 类型三抛物线在实际生活中的应用 例4河上有一抛物线形拱桥 当水面距拱桥顶5m时 水面宽为8m 一小船宽4m 高2m 载货后船露出水面上的部分高0 75m 问 水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时 小船开始不能通航 解答 如图 以拱桥的拱顶为原点 以过拱顶且平行于水面的直线为x轴 建立平面直角坐标系 设抛物线方程为x2 2py p 0 当船面两侧和抛物线接触时 又知船面露出水面上的部分高为0 75m 所以h yA 0 75 2 m 船不能通航 设此时船面宽 所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m时 小船开始不能通航 为AA 则A 2 yA 反思与感悟 涉及拱桥 隧道的问题 通常需建立适当的平面直角坐标系 利用抛物线的标准方程进行求解 跟踪训练4喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处 喷出水流的最高点B高5m 且与OA所在的直线相距4m 水流落在以O为圆心 半径为9m的圆上 则管柱OA的长是多少 解答 如图所示 建立直角坐标系 设水流所形成的抛物线的方程为x2 2py p 0 因为点C 5 5 在抛物线上 所以25 2p 5 因此2p 5 所以抛物线的方程为x2 5y 点A 4 y0 在抛物线上 所以管柱OA的长为1 8m 当堂训练 答案 解析 A y 1B y 2C x 1D x 2 2 3 4 5 1 2 已知抛物线的顶点在原点 焦点在y轴上 抛物线上的点P m 2 到焦点的距离为4 则m的值为A 4B 2C 4或 4D 12或 2 由题意可设抛物线的标准方程为x2 2py p 0 由定义知点P到准线的距离为4 故 2 4 p 4 x2 8y 将点P的坐标代入x2 8y 得m 4 答案 解析 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 因为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离 所以抛物线上的动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离 即 1 p 2 3 若抛物线y2 2px p 0 上的动点Q到焦点的距离的最小值为1 则p 2 答案 解析 4 过 2 4 点 顶点在原点 焦点在y轴上的抛物线的标准方程为 2 3 4 5 1 由已知可设抛物线方程为x2 my 代入点 2 4 得4 4m m 1 故方程为x2 y 答案 解析 x2 y 5 已知M为抛物线y2 4x上一动点 F为抛物线的焦点 定点N 2 3 则 MN MF 的最小值为 答案 解析 2 3 4 5 1 规律与方法 2 设M是抛物线上一点 焦点为F 则线段MF叫作抛