高中数学 第三章 函数的应用 3_1_2 用二分法求方程的近似解课件 新人教a版必修1

3 1 2用二分法求方程的近似解 学习目标1 能用二分法求出方程的近似解 2 了解二分法求方程近似解 1 满足的条件 在区间 a b 上 的函数y f x 且在区间端点的函数值满足 2 操作过程 把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近 进而得到零点的近似值 连续不断 f a f b 0 一分为二 零点 预习评价 二分法求函数的零点的近似值适合于 A 零点两侧函数值异号B 零点两侧函数值同号C 都适合D 都不适合解析由函数零点的存在性定理可知选A 答案A 知识点2二分法求函数零点近似值的步骤 预习评价 正确的打 错误的打 1 二分法所求出的方程的解都是近似解 2 函数f x x 可以用二分法求零点 3 用二分法求函数零点的近似值时 每次等分区间后 零点必定在右侧区间内 提示 1 如果函数x 2 0用二分法求出的解就是精确解 2 对于函数f x x 不存在区间 a b 使f a f b 0 所以不能用二分法求其零点 3 函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内 例1 1 下列函数中 不能用二分法求零点的是 2 用二分法求方程2x 3x 7 0在区间 1 3 内的根 取区间的中点为x0 2 那么下一个有根的区间是 题型一二分法概念的理解 解析 1 观察图象与x轴的交点 若交点附近的函数图象连续 且在交点两侧的函数值符号相异 则可用二分法求零点 故B不能用二分法求零点 2 设f x 2x 3x 7 f 1 2 3 70 f 2 3 0 f x 零点所在的区间为 1 2 方程2x 3x 7 0有根的区间是 1 2 答案 1 B 2 1 2 规律方法运用二分法求函数的零点应具备的条件 1 函数图象在零点附近连续不断 2 在该零点左右函数值异号 只有满足上述两个条件 才可用二分法求函数零点 训练1 已知函数f x 的图象如图 其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为 A 4 4B 3 4C 5 4D 4 3解析图象与x轴有4个交点 所以零点的个数为4 左 右函数值异号的有3个零点 所以可以用二分法求解的个数为3 答案D 例2 用二分法求函数f x x3 x 1在区间 1 1 5 内的一个零点 精确度0 01 解经计算 f 1 0 所以函数在 1 1 5 内存在零点x0 取区间 1 1 5 的中点x1 1 25 经计算f 1 25 0 因为f 1 25 f 1 5 0 所以x0 1 25 1 5 如此继续下去 得到函数的一个零点所在的区间 如下表 题型二用二分法求函数的零点 因为 1 328125 1 3203125 0 0078125 0 01 所以函数f x x3 x 1的一个精确度为0 01的近似零点可取为1 328125 规律方法用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 1 需依据图象估计零点所在的初始区间 m n 一般采用估计值的方法完成 2 取区间端点的平均数c 计算f c 确定有解区间是 m c 还是 c n 逐步缩小区间的 长度 直到区间的两个端点符合精确度要求 终止计算 得到函数零点的近似值 训练2 证明函数f x 2x 3x 6在区间 1 2 内有唯一一个零点 并求出这个零点 精确度0 1 解设函数f x 2x 3x 6 f 1 10 又 f x 是增函数 函数f x 2x 3x 6在区间 1 2 内有唯一的零点 则方程6 3x 2x在区间 1 2 上有唯一一个实数解 设该解为x0 则x0 1 2 取x1 1 5 f 1 5 1 33 0 f 1 f 1 5 0 x0 1 1 5 取x2 1 25 f 1 25 0 128 0 f 1 f 1 25 0 x0 1 1 25 取x3 1 125 f 1 125 0 44 0 f 1 125 f 1 25 0 x0 1 125 1 25 取x4 1 1875 f 1 1875 0 16 0 f 1 1875 f 1 25 0 x0 1 1875 1 25 1 25 1 1875 0 0625 0 1 可取x0 1 25 则方程的一个实数解可取x0 1 25 例3 用二分法求方程2x3 3x 3 0的一个正实数近似解 精确度0 1 解令f x 2x3 3x 3 经计算 f 0 3 0 f 1 2 0 f 0 f 1 0 所以函数f x 在 0 1 内存在零点 即方程2x3 3x 3在 0 1 内有解 取 0 1 的中点0 5 经计算f 0 5 0 又f 1 0 所以方程2x3 3x 3 0在 0 5 1 内有解 题型三用二分法求方程的近似解 规律方法用二分法求方程的近似解的思路和方法 1 思路 求方程f x 0的近似解 可按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解 2 方法 对于求形如f x g x 的方程的近似解 可以通过移项转化成求函数F x f x g x 的零点的近似值 然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解 训练3 求方程x2 2x 1的一个近似解 精确度0 1 解设f x x2 2x 1 因为f 2 10 所以可以确定区间 2 3 作为计算的初始区间 用二分法逐步计算 列表如下 1 下列函数中能用二分法求零点的是 课堂达标 解析在A和D中 函数虽有零点 但它们均是不变号零点 因此它们都不能用二分法求零点 在B中 函数无零点 在C中 函数图象是连续不断的 且图象与x轴有交点 并且其零点为变号零点 所以C中的函数能用二分法求其零点 答案C 2 用二分法求函数f x 的一个正实数零点时 经计算f 0 64 0 f 0 68 0 则函数的一个精确度为0 1的正实数零点的近似值为 A 0 9B 0 7C 0 5D 0 4解析由题意可知函数的零点在 0 68 0 72 内 四个选项中只有0 7 满足 0 7 0 68 0 1 故选B 答案B 3 用二分法求关于x的方程lnx 2x 6 0的近似解时 能确定为解所在的初始区间的是 A 2 3 B 0 2 C 1 2 D 0 解析令函数f x lnx 2x 6 可判断在 0 上单调递增 f 1 4 f 2 ln2 20 根据函数的零点判断方法可得 零点在 2 3 内 方程lnx 2x 6 0的近似解在 2 3 内 故选A 答案A 4 某方程有一无理根在区间D 1 3 内 若用二分法求此根的近似值 将D等分 次后 所得近似值可精确到0 1 答案5 5 判定方程3x x2 0在区间 1 2 内是否有实数解 若有 求出精确度为0 01的近似解 若没有 请说明理由 解方程3x x2 0在区间 1 2 内没有实数解 下面说明理由 设f x 3x x2 则f 1 2 0 f 2 5 0 又根据函数y 3x y x2增长速度可知 当x 1 2 时 3x x2 0恒成立 故不存在x 1 2 使3x x2 0 即方程3x x2 0在区间 1 2 内没有实数解 1 二分法就是通过不断地将所选