高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5_3 平面向量的数量积课件 文 北师大版

5 3平面向量的数量积 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 向量的夹角已知两个非零向量a和b 作 a b 则 AOB 0 180 叫作向量a与b的夹角 知识梳理 2 平面向量的数量积 b cos 3 平面向量数量积的性质设a b都是非零向量 e是单位向量 为a与b 或e 的夹角 则 1 e a a e a cos 2 a b 3 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 特别地 a a 或 a 4 cos 5 a b a b 0 a 2 a b 4 平面向量数量积满足的运算律 1 a b 2 a b 为实数 3 a b c a b a c 5 平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a x1 y1 b x2 y2 则a b 由此得到 1 若a x y 则 a 2 或 a 2 设A x1 y1 B x2 y2 则A B两点间的距离AB b a a b a b x1x2 y1y2 x2 y2 3 设两个非零向量a b a x1 y1 b x2 y2 则a b 4 若a b都是非零向量 是a与b的夹角 则cos x1x2 y1y2 0 1 两个向量a b的夹角为锐角 a b 0且a b不共线 两个向量a b的夹角为钝角 a b 0且a b不共线 2 平面向量数量积运算的常用公式 1 a b a b a2 b2 2 a b 2 a2 2a b b2 3 a b 2 a2 2a b b2 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 向量在另一个向量方向上的射影为数量 而不是向量 2 两个向量的数量积是一个实数 向量的加 减 数乘运算的运算结果是向量 3 由a b 0可得a 0或b 0 4 a b c a b c 5 两个向量的夹角的范围是 0 1 教材改编 已知向量a 2 1 b 1 k a 2a b 0 则k等于A 12B 6C 6D 12 考点自测 2a b 4 2 1 k 5 2 k 由a 2a b 0 得 2 1 5 2 k 0 10 2 k 0 解得k 12 答案 解析 2 2016 南宁质检 已知向量a与b的夹角为30 且 a 1 2a b 1 则 b 等于 答案 解析 答案 解析 A 直角梯形B 矩形C 菱形D 正方形 故平行四边形的对角线垂直 所以该四边形一定是菱形 故选C 答案 解析 设a与b的夹角为 5 2016 厦门模拟 设x R 向量a x 1 b 1 2 且a b 则 a b 答案 解析 a b a b 0 即x 2 0 x 2 a 2 1 a2 5 b2 5 题型分类深度剖析 例1 1 2016 天津 已知 ABC是边长为1的等边三角形 点D E分别是边AB BC的中点 连接DE并延长到点F 使得DE 2EF 则的值为 题型一平面向量数量积的运算 答案 解析 如图 由条件可知 因为 ABC是边长为1的等边三角形 2 已知正方形ABCD的边长为1 点E是AB边上的动点 则的值为 的最大值为 答案 解析 1 1 几何画板展示 方法一以射线AB AD为x轴 y轴的正方向建立平面直角坐标系 则A 0 0 B 1 0 C 1 1 D 0 1 设E t 0 t 0 1 方法二由图知 无论E点在哪个位置 平面向量数量积的三种运算方法 1 当已知向量的模和夹角时 可利用定义法求解 即a b a b cos a b 2 当已知向量的坐标时 可利用坐标法求解 即若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 3 利用数量积的几何意义求解 思维升华 答案 解析 A 30 B 45 C 60 D 120 又 0 ABC 180 ABC 30 A 20B 15C 9D 6 答案 解析 故选C 题型二平面向量数量积的应用 答案 解析 命题点1求向量的模 2 答案 解析 即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆 例3 1 已知单位向量e1与e2的夹角为 且cos 向量a 3e1 2e2与b 3e1 e2的夹角为 则cos 答案 解析 命题点2求向量的夹角 因为b2 3e1 e2 2 9 2 3 1 12 cos 1 8 所以 b 因为a2 3e1 2e2 2 9 2 3 2 12 cos 4 9 所以 a 3 2a 3b与c的夹角为钝角 2a 3b c 0 即 2k 3 6 2 1 0 4k 6 6 0 k 3 又若 2a 3b c 则2k 3 12 即k 当k 时 2a 3b 12 6 6c 即2a 3b与c反向 综上 k的取值范围为 2 若向量a k 3 b 1 4 c 2 1 已知2a 3b与c的夹角为钝角 则k的取值范围是 答案 解析 思维升华 平面向量数量积求解问题的策略 1 求两向量的夹角 cos 要注意 0 2 两向量垂直的应用 两非零向量垂直的充要条件是a b a b 0 a b a b 3 求向量的模 利用数量积求解长度问题的处理方法有 跟踪训练2 1 2016 江西高安中学等九校联考 已知平面向量a b满足a a b 5 且 a 2 b 1 则向量a与b的夹角的正切值为 答案 解析 a a b 5 即a2 a b 5 a b 1 答案 解析 1 若m n 求tanx的值 例4 2015 广东 在平面直角坐标系xOy中 已知向量m n sinx cosx x 题型三平面向量与三角函数 解答 所以sinx cosx 所以tanx 1 2 若m与n的夹角为 求x的值 解答 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 1 题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式 运用向量共线或垂直或等式成立等 得到三角函数的关系式 然后求解 2 给出用三角函数表示的向量坐标 要求的是向量的模或者其他向量的表达形式 解题思路是经过向量的运算 利用三角函数在定义域内的有界性 求得值域等 思维升华 由题意知6sin2 cos 5sin 4cos 0 即6sin2 5sin cos 4cos2 0 上述等式两边同时除以cos2 得6tan2 5tan 4 0 由于 则tan 0 解得tan 故选A 答案 解析 由题意得 a 1 又 OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形 答案 解析 1 所以 a b 2 a 2 b 2 2 利用数量积求向量夹角 现场纠错系列5 错解展示 纠错心得 典例已知直线y 2x上一点P的横坐标为a 直线外有两个点A 1 1 B 3 3 求使向量与夹角为钝角的充要条件 现场纠错 返回 解错解中 cos 0包含了 即反向的情况 此时a 1 故夹角为钝角的充要条件是0 a 2且a 1 返回 利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时 不要忽视两向量共线的情况 返回 课时作业 A x B x 1C x 5D x 0 1 2016 北师大附中模拟 已知向量a x 1 2 b 2 1 则a b的充要条件是 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 2B 2C 4D 12 2 若向量a b满足 a b 2 a与b的夹角为60 则 a b 等于 答案 解析 a b 2 a 2 b 2 2 a b cos60 4 4 2 2 2 12 a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 2016 山西四校二联 已知平面向量a b满足a a b 3 且 a 2 b 1 则向量a与b夹角的正弦值为 答案 解析 a a b a2 a b 22 2 1 cos a b 4 2cos a b 3 cos a b 又 a b 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 正三角形B 直角三角形C 等腰三角形D 等腰直角三角形 答案 解析 所以 ABC是等腰三角形 故选C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 如图所示 取BC的中点D 连接AD OD 则由平面向量的加法的几何意义得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 在 ABC中 M是BC的中点 AM 3 点P在AM上 且满足 则的值为 4 答案 解析 由题意得 AP 2 PM 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 由三角形面积公式及已知条件知 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 2016 江西白鹭洲中学调研 已知在直角三角形ABC中 ACB 90 AC BC 2 点P是斜边AB上的中点 则 4 由题意可建立如图所示的坐标系 可得A 2 0 B 0 2 P 1 1 C 0 0 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 建立如图所示坐标系 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 2016 江西玉山一中模拟 已知向量a b满足 a 1 b 2 a与b的夹角为60 1 若 ka b a b 求k的值 解答 ka b a b ka b a b 0 ka2 k 1 a b b2 0 a 1 b 2 a b 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若 ka b 2 求k的取值范围 解答 k2 2k 0 0 k 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 2016 西安八校联考 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 且2sin2 cos2C 1 1 求角C的大小 解答 2cos2C cosC 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若向量m 3a b 向量n a m n m n m n 16 求a b c的值 解答 又 m n m n 16 由 可得a2 1