14等差与等比数列综合.doc

第 1 页 共 19 页 江苏省江苏省 2014 届一轮复习数学试题选编届一轮复习数学试题选编 14 等差与等比数列综合 等差与等比数列综合 填空题 1 数列 n a中 1 2a 1nn aacn c是常数 12 3n 且 123 aaa 成公比不为1的等比数列 则 n a的通项公式是 答案 2 2 n ann 2 已知数列满足 则 n a 1 4 3 a 1 12 2 6 n n anN a 1 1 n i i a 答案 2 32 4 n n 3 已知各项均为正数的等比数列 an 的前n项和为Sn 若a3 18 S3 26 则 an 的公比q 答案 3 4 设数列 an 满足 则a1的值大于 20 的概率为 311 8220 nnnn aaaaan N 答案 1 4 5 已知数列 n a满足 1 22 nn aqaq q为常数 1q 若 3456 a a a a 18 6 2 6 30 则 1 a 答案 2 或 126 6 观察下列等式 1 1 3 1 2 1 2 1 22 3 1 2 1 2 4 2 3 1 22 1 3 22 3 1 2 1 2 4 2 3 1 22 1 由以上等式推测到一个一般的结论 对于n N 5 3 4 1 23 1 4 23 3 1 2 1 2 4 2 3 1 22 n 2 n n 1 1 2n 答案 n n21 1 1 7 已知等比数列 n a的首项是1 公比为 2 等差数列 n b的首项是1 公差为1 把 n b 中的各项按照 如下规则依次插入到 n a的每相邻两项之间 构成新数列 n c 1122334 a b a b b a b 564 b b a 即 在 n a和 1n a 两项之间依次插入 n b中n个项 则 2013 c 答案 1951 8 若数列是各项均为正数的等比数列 则当时 数列也是等比数列 类比 n a 12 n nn ba aa n b 上述性质 若数列是等差数列 则当 时 数列也是等差数列 n c n d n d 第 2 页 共 19 页 答案 n ccc n 21 9 已知等差数列满足 若将 都加上同一个数 所得的三个数依次成等 n a2 1 a0 2 a 1 a 4 a 5 a 比数列 则所加的这个数为 答案 7 10 过点作曲线 的切线 切点为 设在轴上的投影是点 过点再作曲线的 1 0 P Cexy 1 T 1 Tx 1 H 1 HC 切线 切点为 设在轴上的投影是点 依次下去 得到第个切点 则点的 2 T 2 Tx 2 H1n n N 1n T 1n T 坐标为 答案 enn 11 已知数列 an 满足 3an 1 an 4 n N 且a1 9 其前n项之和为Sn 则满足不等式 Sn n 6 2 的n的取值范围 n nn ab 2 n T n b n T 3 设为非零整数 试确定的值 使得对任意 都有 2 1 4 1 n ann n c n N n N 成立 nn cc 1 答案 解 1 由已知 11 1 nnnn SSSS 2n n N 即 且 1 1 nn aa 2n n N 21 1aa 数列是以为首项 公差为 1 的等差数列 n a 1 2a 1 n an 2 1 n an n n nb 2 1 1 21 231 1111 23 1 1 2222 11111 23 1 2 22222 n nn n nn Tnn Tnn L 231 11111 1 2 1 1 22222 n nn Tn L得 n T n n 2 3 3 代入不等式 得 01 2 3 2 2 3 3 nn nn 即 设 0 2 2 1 1 2 3 1 nn n nfnf n nf则 在上单调递减 nf N 0 4 1 3 0 4 1 2 01 1 fff 当n 1 n 2 时 0 3 0f nnf n 当时 所以n的取值范围 为 3 nn N 且 3 要使恒成立 1 n an Q 11 4 1 2 nnn n c 1nn cc 第 13 页 共 19 页 即恒成立 1211 1 44 1 2 1 20 nnnnnn nn cc 恒成立 恒成立 11 3 43 1 20 nnn 11 1 2 nn i 当为奇数时 即恒成立 当且仅当时 有最小值为 n 1 2n 1n 1 2n 11 ii 当为偶数时 即恒成立 当且仅当时 有最大值 即n 1 2n 2n 1 2n 2 2 又为非零整数 则 21 1 综上所述 存在 使得对任意的 都有 1 n N 1nn cc 22 已知等差数列 an 的首项a1为a 0 aR a 设数列的前n项和为Sn 且对任意正整数n都有 2 41 21 n n an an 1 求数列 an 的通项公式及Sn 2 是否存在正整数n和k 使得Sn Sn 1 Sn k 成等比数列 若存在 求出n和k的值 若不存在 请 说明理由 答案 23 设是首项为 公差为的等差数列 是其前项和 记 其中 n aad 0 d n Sn cn nS b n n 2 Nn 为实数 c 1 若 且成等比数列 证明 0 c 421 bbb knk SnS 2 Nnk 2 若是等差数列 证明 n b0 c 第 14 页 共 19 页 答案 本题主要考察等差数列等比数列的定义 通项 求和等基础知识 考察分析转化能力及推理论 证能力 证明 是首项为 公差为的等差数列 是其前项和 n aad 0 d n Sn d nn naSn 2 1 1 0 cd n a n S b n n 2 1 成等比数列 421 bbb 41 2 2 bbb 2 3 2 1 2 daada 0 4 1 2 1 2 dad0 2 1 2 1 dad0 dda 2 1 ad2 ana nn nad nn naSn 2 2 2 1 2 1 左边 右边 aknankSnk 222 aknSn k 222 左边 右边 原式成立 2 是等差数列 设公差为 带入得 n b 1 d 11 1 dnbbn cn nS b n n 2 对恒成 11 1 dnb cn nSn 2 2 1 2 1 111 2 11 3 1 bdcncdndadbndd Nn 立 0 0 0 2 1 0 2 1 11 1 11 1 bdc cd dadb dd 由 式得 dd 2 1 1 0 d0 1 d 由 式得 0 c 法二 证 1 若 则 0 cdnaan 1 2 2 1 adnn Sn 2 2 1 adn bn 当成等比数列 421 bbb 41 2 2 bbb 即 得 又 故 2 3 2 2 d aa d aadd2 2 0 dad2 由此 anSn 2 aknankSnk 222 aknSn k 222 故 knk SnS 2 Nnk 第 15 页 共 19 页 2 cn adn n cn nS b n n 2 2 2 2 2 1 cn adn c adn c adn n 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 cn adn c adn 2 2 2 1 2 2 1 若是等差数列 则型 n bBnAnbn 观察 式后一项 分子幂低于分母幂 故有 即 而 0 0 2 2 1 2 cn adn c 0 2 2 1 adn c 2 2 1 adn 故 0 c 经检验 当时是等差数列 0 c n b 24 已知等差数列 n a的前n项和为 n S 公差 50 0 53 SSd且 1341 aaa成等比数列 求数列 n a的通项公式 设 n n a b 是首项为 1 公比为 3 的等比数列 求数列 n b的前n项和 n T 答案 解 依题意得 12 3 50 2 54 5 2 23 3 11 2 1 11 daada dada 解得 2 3 1 d a 1212 1 23 1 1 nanndnaa nn 即 1 3 n n n a b 11 3 12 3 nn nn nab 12 3 12 37353 n n nT nn n nnT3 12 3 12 3735333 132 第 16 页 共 19 页 nn n nT3 12 32323232 12 n n n n n 32 3 12 31 31 3 23 1 n n nT3 25 已知数列 n a的前n项和为 n S 若数列 n a是等比数列 满足 231 32aaa 2 3 a是 2 a 4 a的等差中项 求数列 n a的通项 公式 是否存在等差数列 n a 使对任意 nN 都有 2 2 1 nn aSnn 若存在 请求出所有满足条 件的等差数列 若不存在 请说明理由 答案 解 设等比数列 n a的首项为 1 a 公比为q 依题意 有 2 2 32 342 231 aaa aaa 即 2 42 1 3 2 2 1 3 1 1 2 1 qaqqa qaqa 由 1 得 023 2 qq 解得1 q或2 q 当1 q时 不合题意舍 当2 q时 代入 2 得2 1 a 所以 nn n a222 1 假设存在满足条件的数列 n a 设此数列的公差为d 则 方法 1 2 11 1 1 2 1 2 n n and a ndnn 得 2 22222 111 331 22 2222 d na ddnaa ddnn 对 nN 恒成立 则 2 2 1 22 11 2 2 3 2 2 31 0 22 d a dd aa dd 解得 1 2 2 d a 或 1 2 2 d a 此时2 n an 或2 n an 故存在等差数列 n a 使对任意 nN 都有 2 2 1 nn aSnn 其中2 n an 第 17 页 共 19 页 或2 n an 方法 2 令1n 2 1 4a 得 1 2a 令2n 得 2 212 240aaa 当 1 2a 时 得 2 4a 或 2 6a 若 2 4a 则2d 2 n an 1 n Sn n 对任意 nN 都有 2 2 1 nn aSnn 若 2 6a 则8d 3 14a 3 18S 不满足 2 33 23 31 aS 当 1 2a 时 得 2 4a 或 2 6a 若 2 4a 则2d 2 n an 1 n Sn n 对任意 nN 都有 2 2 1 nn aSnn 若 2 6a 则8d 3 14a 3 18S 不满足 2 33 23 31 aS 综上所述 存在等差数列 n a 使对任意 nN 都有 2 2 1 nn aSnn 其中2 n an 或2 n an 26 设数列 n a的前n项和为 n S 满足 2 1 nn aSAnBn 0A 1 若 1 3 2 a 2 9 4 a 求证数列 n an 是等比数列 并求数列 n a的通项公式 2 已知数列 n a是等差数列 求 1B A 的值 答案 第 18 页 共 19 页 27 已知各项均为正数的两个数列 n a和 n b满足 22 1 nn nn n ba ba a Nn 1 设 n n n a b b 1 1 Nn 求证 数列 2 n n b a 是等差数列 2 设 n n n a b b 2 1 Nn 且 n a是等比数列 求 1 a和 1 b的值 答案 解 1 n n n a b b 1 1 1 1 222 1 nnn n nn n n abb a ab b a 第 19 页 共 19 页 2 1 1 1 nn nn bb aa 2 2222 1 1 11 nnnn nnnn bbbb nN aaaa 数列 2 n n b a 是以 1 为公差的等差数列 2 00 nn a b 2 2 22 2 nn nnnn ab ab ab 1 22 12 nn n nn ab 知0q 下面用反证法证明 1q 若1 q