高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9_9圆锥曲线的综合问题第3课时定点定值探索性问题课件理苏教版

9 9圆锥曲线的综合问题 第3课时定点 定值 探索性问题 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 题型分类深度剖析 题型一定点问题 解答 1 求椭圆的标准方程 几何画板展示 设椭圆的焦距为2c 由题意知b 1 且 2a 2 2b 2 2 2c 2 又a2 b2 c2 a2 3 2 若 1 2 3 试证明 直线l过定点并求此定点 证明 由题意设P 0 m Q x0 0 M x1 y1 N x2 y2 设l方程为x t y m 1 2 3 y1y2 m y1 y2 0 由题意知 4m2t4 4 t2 3 t2m2 3 0 将 代入 得t2m2 3 2m2t2 0 mt 2 1 由题意mt 0 mt 1 满足 得直线l方程为x ty 1 过定点 1 0 即Q为定点 圆锥曲线中定点问题的两种解法 1 引进参数法 引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量 再研究变化的量与参数何时没有关系 找到定点 2 特殊到一般法 根据动点或动线的特殊情况探索出定点 再证明该定点与变量无关 思维升华 解答 1 求椭圆C的方程 几何画板展示 解答 因为l为切线 所以 2t 2 4 t2 2 2 2 0 即t2 2 2 0 设圆与x轴的交点为T x0 0 因为MN为圆的直径 当t 0时 不符合题意 故t 0 所以T为定点 故动圆过x轴上的定点 1 0 与 1 0 即椭圆的两个焦点 题型二定值问题 例2如图 已知椭圆C 点B是其下顶点 过点B的直线交椭圆C于另一点A 点A在x轴下方 且线段AB的中点E在直线y x上 1 求直线AB的方程 解答 由已知得B 0 2 设E 则A 2 2 2 把A的坐标代入椭圆方程 得 即x 3y 6 0 2 若点P为椭圆C上异于A B的动点 且直线AP BP分别交直线y x于点M N 证明 OM ON为定值 证明 设M m m N n n P x0 y0 得 x0 3 m 1 y0 1 m 3 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 1 求代数式为定值 依题意设条件 得出与代数式参数有关的等式 代入代数式 化简即可得出定值 2 求点到直线的距离为定值 利用点到直线的距离公式得出距离的解析式 再利用题设条件化简 变形求得 3 求某线段长度为定值 利用长度公式求得解析式 再依据条件对解析式进行化简 变形即可求得 思维升华 跟踪训练2 2016 扬州模拟 如图 在平面直角坐标系xOy中 点F 0 直线l x 点P在直线l上移动 R是线段PF与y轴的交点 RQ FP PQ l 1 求动点Q的轨迹C的方程 解答 依题意知 点R是线段FP的中点 且RQ FP RQ是线段FP的垂直平分线 点Q在线段FP的垂直平分线上 PQ QF 又PQ是点Q到直线l的距离 故动点Q的轨迹是以F为焦点 l为准线的抛物线 其方程为y2 2x x 0 2 设圆M过A 1 0 且圆心M在曲线C上 TS是圆M在y轴上截得的弦 当M运动时 弦长TS是否为定值 请说明理由 解答 弦长TS为定值 理由如下 几何画板展示 题型三探索性问题 1 求椭圆E的方程 解答 由已知 点C D的坐标分别为 0 b 0 b 2 设O为坐标原点 过点P的动直线与椭圆交于A B两点 是否存在常数 使得为定值 若存在 求 的值 若不存在 请说明理由 证明 几何画板展示 当直线AB的斜率存在时 设直线AB的方程为y kx 1 A B的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 其判别式 4k 2 8 2k2 1 0 x1x2 y1y2 x1x2 y1 1 y2 1 1 1 k2 x1x2 k x1 x2 1 当直线AB斜率不存在时 直线AB即为直线CD 解决探索性问题的注意事项探索性问题 先假设存在 推证满足条件的结论 若结论正确则存在 若结论不正确则不存在 1 当条件和结论不唯一时要分类讨论 2 当给出结论而要推导出存在的条件时 先假设成立 再推出条件 3 当条件和结论都不知 按常规方法解题很难时 要开放思维 采取另外合适的方法 思维升华 跟踪训练3 2016 苏锡常镇四市调研 在平面直角坐标系xOy中 已知椭圆C a b 0 的左 右焦点分别为F1 F2 右顶点 上顶点分别为A B 原点O到直线AB的距离等于ab 解答 1 若椭圆C的离心率等于 求椭圆C的方程 几何画板展示 即bx ay ab 0 化简得a2 b2 1 即a2 3b2 2 若过点 0 1 的直线l与椭圆有且只有一个公共点P 且P在第二象限 直线PF2交y轴于点Q 试判断以PQ为直径的圆与点F1的位置关系 并说明理由 解答 几何画板展示 得 b2 a2k2 x2 2ka2x a2 a2b2 0 则 2ka2 2 4 b2 a2k2 a2 a2b2 0 点F1在以PQ为直径的圆上 由题设 直线l与椭圆相切且l的斜率存在 设直线l的方程为y kx 1 点P在第二象限 k 1 把k 1代入方程 得x2 2a2x a4 0 解得x a2 从而y b2 P a2 b2 又a2 b2 1 a2 b2 c2 点F1在以PQ为直径的圆上 典例 16分 椭圆C a b 0 的左 右焦点分别是F1 F2 离心率为 过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1 1 求椭圆C的方程 2 点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点 连结PF1 PF2 设 F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M m 0 求m的取值范围 3 在 2 的条件下 过点P作斜率为k的直线l 使得l与椭圆C有且只有一个公共点 设直线PF1 PF2的斜率分别为k1 k2 若k2 0 证明为定值 并求出这个定值 设而不求 整体代换 思想与方法系列23 规范解答 思想方法指导 几何画板展示 对题目涉及的变量巧妙地引进参数 如设动点坐标 动直线方程等 利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组 再化为一元二次方程 从而利用根与系数的关系进行整体代换 达到 设而不求 减少计算 的效果 直接得定值 返回 2 设P x0 y0 y0 0 所以直线PF1 PF2的方程分别为 3 设P x0 y0 y0 0 则直线l的方程为y y0 k x x0 返回 课时作业 1 求椭圆的标准方程 所以a2 c2 1 解得a 2 解答 1 2 3 4 5 证明 1 2 3 4 5 设直线l1的方程为y kx 1 得 4k2 1 x2 8kx 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 求椭圆C的标准方程 解答 1 2 3 4 5 a2 5 b2 1 1 2 3 4 5 证明 1 2 3 4 5 设点A B M的坐标分别为A x1 y1 B x2 y2 M 0 y0 点F的坐标为 2 0 显然直线l的斜率存在 设直线l的斜率为k 则直线l的方程是y k x 2 得 1 5k2 x2 20k2x 20k2 5 0 1 2 3 4 5 故 1 2为定值 1 2 3 4 5 1 求椭圆E的标准方程 解答 由 解得a2 6 b2 4 1 2 3 4 5 2 若斜率为k的直线l过点A 0 1 且与椭圆E交于C D两点 B为椭圆E的下顶点 求证 对于任意的k 直线BC BD的斜率之积为定值 证明 1 2 3 4 5 设直线l y kx 1 C x1 y1 D x2 y2 得 3k2 2 x2 6kx 9 0 易知B 0 2 1 2 3 4 5 所以对于任意的k 直线BC BD的斜率之积为定值 1 2 3 4 5 1 求椭圆C的方程 解答 又 MF1F2为正三角形 且MF1 MF2 a 1 2 3 4 5 2 垂直于x轴的直线与椭圆C交于A B两点 过点P 4 0 的直线PB交椭圆C于另一点E 证明 直线AE与x轴相交于定点 证明 1 2 3 4 5 由题意知 直线PB的斜率存在 且过点P 4 0 设直线PB的方程为y k x 4 B x1 y1 E x2 y2 则A x1 y1 得 3 4k2 x2 32k2x 64k2 12 0 1 2 3 4 5 将y1 k x1 4 y2 k x2 4 代入 式 将 式代入 式 整理得x 1 直线AE与x轴相交于定点 1 0 1 2 3 4 5 5 2016 南京模拟 已知半椭圆 x 0 与半椭圆 xb c 0 如图 设点F0 F1 F2是相应椭圆的焦点 A1 A2和B1 B2是 果圆 与x y轴的交点 1 若 F0F1F2是边长为1的等边三角形 求 果圆 的方程 解答 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 若A1A2 B1B2 求的取值范围 解答 由题意 得a c 2b 1 2 3 4 5 3 一条直线与果圆交于两点 两点的连线段称为果圆的弦 是