高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 5_1 平面向量的概念及线性运算课件

5 1平面向量的概念及线性运算 基础知识自主学习 课时训练 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 向量的有关概念 知识梳理 大小 方向 长度 模 0 0 1个单位 相同 相反 相同 相反 平行 相等 相同 相等 相反 2 向量的线性运算 三角形 平行四边形 b a a b c 3 共线向量定理向量a a 0 与b共线 当且仅当有唯一一个实数 使b a 三角形 a 相同 相反 0 a a a a b 1 一般地 首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量 即 特别地 一个封闭图形 首尾连接而成的向量和为零向量 2 若P为线段AB的中点 O为平面内任一点 则 若点A B C共线 则 1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 向量与有向线段是一样的 因此可以用有向线段来表示向量 2 a 与 b 是否相等与a b的方向无关 3 若a b b c 则a c 4 若向量是共线向量 则A B C D四点在一条直线上 5 当两个非零向量a b共线时 一定有b a 反之成立 1 给出下列命题 零向量的长度为零 方向是任意的 若a b都是单位向量 则a b 向量相等 则所有正确命题的序号是A B C D 考点自测 答案 解析 根据零向量的定义可知 正确 根据单位向量的定义可知 单位向量的模相等 但方向不一定相同 故两个单位向量不一定相等 故 错误 答案 解析 如图 答案 解析 所以 a b t a b ta t b 答案 解析 由向量加法的平行四边形法则 又O是AC的中点 AC 2AO 2 2 题型分类深度剖析 题型一平面向量的概念 例1给出下列四个命题 若 a b 则a b 若A B C D是不共线的四点 则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件 若a b b c 则a c a b的充要条件是 a b 且a b 其中正确命题的序号是A B C D 答案 解析 不正确 两个向量的长度相等 但它们的方向不一定相同 又A B C D是不共线的四点 四边形ABCD为平行四边形 反之 若四边形ABCD为平行四边形 正确 a b a b的长度相等且方向相同 又b c b c的长度相等且方向相同 a c的长度相等且方向相同 故a c 不正确 当a b且方向相反时 即使 a b 也不能得到a b 故 a b 且a b不是a b的充要条件 而是必要不充分条件 综上所述 正确命题的序号是 故选A 向量有关概念的关键点 1 向量定义的关键是方向和长度 2 非零共线向量的关键是方向相同或相反 长度没有限制 3 相等向量的关键是方向相同且长度相等 4 单位向量的关键是方向没有限制 但长度都是一个单位长度 5 零向量的关键是方向没有限制 长度是0 规定零向量与任何向量共线 思维升华 跟踪训练1设a0为单位向量 若a为平面内的某个向量 则a a a0 若a与a0平行 则a a a0 若a与a0平行且 a 1 则a a0 上述命题中 假命题的个数是A 0B 1C 2D 3 答案 解析 向量是既有大小又有方向的量 a与 a a0的模相同 但方向不一定相同 故 是假命题 若a与a0平行 则a与a0的方向有两种情况 一是同向 二是反向 反向时a a a0 故 也是假命题 综上所述 假命题的个数是3 题型二平面向量的线性运算 命题点1向量的线性运算例2 1 2016 临安中学统练三 在平行四边形ABCD中 下列结论中错误的是 答案 解析 答案 解析 命题点2根据向量线性运算求参数 答案 解析 答案 解析 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 1 向量加法或减法的几何意义 向量加法和减法均适合三角形法则 2 求已知向量的和 一般共起点的向量求和用平行四边形法则 求差用三角形法则 求首尾相连向量的和用三角形法则 3 求参数问题可以通过研究向量间的关系 通过向量的运算将向量表示出来 进行比较求参数的值 思维升华 跟踪训练2如图 一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB AD分别交于E F两点 且交对角线AC于点K 答案 解析 题型三共线定理的应用 例4设两个非零向量a与b不共线 证明 又 它们有公共点B A B D三点共线 2 试确定实数k 使ka b和a kb共线 假设ka b与a kb共线 则存在实数 使ka b a kb 即 k a k 1 b 又a b是两个不共线的非零向量 k k 1 0 消去 得k2 1 0 k 1 解答 1 证明三点共线问题 可用向量共线解决 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系 当两向量共线且有公共点时 才能得出三点共线 2 向量a b共线是指存在不全为零的实数 1 2 使 1a 2b 0成立 若 1a 2b 0 当且仅当 1 2 0时成立 则向量a b不共线 思维升华 跟踪训练3 则A A B C三点共线B A B D三点共线C A C D三点共线D B C D三点共线 答案 解析 2 答案 解析 取AC的中点D 连接OD O是AC边上的中线BD的中点 S ABC 2S OAC ABC与 AOC面积之比为2 典例下列叙述错误的是 若a b b c 则a c 若非零向量a与b方向相同或相反 则a b与a b之一的方向相同 a b a b a与b方向相同 向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数 使得b a 容易忽视的零向量 现场纠错系列4 若 a b 则a b 错解展示 纠错心得 在考虑向量共线问题时 要注意考虑零向量 现场纠错 解析对于 当b 0时 a不一定与c平行 对于 当a b 0时 其方向任意 它与a b的方向都不相同 对于 当a b之一为零向量时结论不成立 对于 当a 0且b 0时 有无数个值 当a 0但b 0或a 0但b 0时 不存在 对于 由于两个向量之和仍是一个向量 对于 当 0时 不管a与b的大小与方向如何 都有 a b 此时不一定有a b 故 均错 答案 返回 课时训练 A 相等的向量B 平行的向量C 有相同起点的向量D 模相等的向量 这四个向量的模相等 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A A B CB A B DC B C DD A C D 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 点P在线段AB上B 点P在线段BC上C 点P在线段AC上D 点P在 ABC外部 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 1B 2C 3D 4 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 O为BC的中点 m n 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 取BC的中点D 连接PD AD AB AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 2016 宁波一模 如图 网格纸上小正方形的边长为1 若起点和终点均在格点的向量a b c满足c xa yb x y R 则x y 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如图 取单位向量i j 则a i 2j b 2i j c 3i 4j c xa yb x i 2j y 2i j x 2y i 2x y j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2a pb 2a b a b不共线 2 2 p 1 p 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 答案 解析 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 sinB sinA 0 sinC sinA 0 则sinB sinA sinC 根据正弦定理知b a c ABC是等边三角形 则角B 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 M为 ABC的重心 如图所示 连接AM并延长交BC于点D 则D为BC的中点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1