高考数学一轮复习第七章立体几何第40讲空间点直线平面之间的位置关系课件理

立体几何 第七章 第40讲空间点 直线 平面之间的位置关系 栏目导航 1 平面的基本性质 1 公理1 如果一条直线上的 在一个平面内 那么这条直线在此平面内 2 公理2 过 的三点 有且只有一个平面 3 公理3 如果两个不重合的平面有 公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 两点 不在一条直线上 一个 4 公理2的三个推论推论1 经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面 推论2 经过两条 直线有且只有一个平面 推论3 经过两条 直线有且只有一个平面 相交 平行 平行 相交 任何 2 异面直线所成的角 定义 设a b是两条异面直线 经过空间任一点O作直线a a b b 把a 与b 所成的 叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 范围 3 平行公理 平行于 的两条直线互相平行 4 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角 3 直线与平面 平面与平面之间的位置关系 1 直线与平面的位置关系有 三种情况 2 平面与平面的位置关系有 两种情况 锐角 或直角 同一条直线 相等或互补 相交 平行 在平面内 平行 相交 1 思维辨析 在括号内打 或 1 两个不重合的平面只能把空间分成四个部分 2 两个平面 有一个公共点A 就说 相交于A点 并记作 A 3 两个平面ABC与DBC相交于线段BC 4 已知a b是异面直线 直线c平行于直线a 那么c与b不可能是平行直线 5 没有公共点的两条直线是异面直线 解析 1 错误 当两个平面平行时 把空间分成三部分 2 错误 由公理3知应交于过点A的一条直线 3 错误 应相交于直线BC 而非线段 4 正确 因为若c b 则由已知可得a b 这与已知矛盾 5 错误 异面或平行 2 若空间三条直线a b c满足a b b c 则直线a与c A 一定平行B 一定相交C 一定是异面直线D 一定垂直解析 因为b c a b 所以a c 即a与c垂直 D 3 下列命题正确的个数为 经过三点确定一个平面 梯形可以确定一个平面 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 A 0个B 1个C 2个D 3个解析 错误 正确 C 4 已知直线a和平面 l a a 且a在 内的射影分别为直线b和c 则直线b和c的位置关系是 A 相交或平行B 相交或异面C 平行或异面D 相交 平行或异面解析 依题意 直线b和c的位置关系可能是相交 平行或异面 D 5 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是AB AD的中点 则异面直线B1C与EF所成的角的大小为 解析 连接B1D1 D1C 则B1D1 EF 故 D1B1C为所求 又B1D1 B1C D1C D1B1C 60 60 用平面的基本性质证明共点 共线 共面的方法 1 证明点或线共面问题的两种方法 首先由所给条件中的部分线 或点 确定一个平面 然后再证其余的线 或点 在这个平面内 将所有条件分为两部分 然后分别确定平面 再证两平面重合 2 证明点共线问题的两种方法 先由两点确定一条直线 再证其他各点都在这条直线上 直接证明这些点都在同一条特定直线上 3 证明线共点问题的常用方法是 先证其中两条直线交于一点 再证其他直线经过该点 一平面的基本性质及应用 例1 以下四个命题中 正确命题的个数是 不共面的四点中 其中任意三点不共线 若点A B C D共面 点A B C E共面 则A B C D E共面 若直线a b共面 直线a c共面 则直线b c共面 依次首尾相接的四条线段必共面 A 0B 1C 2D 3 B 二空间两条直线的位置关系 判断空间两条直线的位置关系的方法 1 异面直线 可采用直接法或反证法 2 平行直线 可利用三角形 梯形 中位线的性质 公理4及线面平行与面面平行的性质定理 3 垂直关系 往往利用线面垂直的性质来解决 例3 如图所示 正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别是A1B1 B1C1的中点 问 1 AM和CN是否是异面直线 说明理由 2 D1B和CC1是否是异面直线 说明理由 三两条异面直线所成的角 两异面直线所成角的作法及求解步骤 1 找异面直线所成的角的三种方法 利用图中已有的平行线平移 利用特殊点 线段的端点或中点 作平行线平移 补形平移 2 求异面直线所成的角的三个步骤 作 通过作平行线 得到相交直线 证 证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角 算 通过解三角形 求出该角 例4 已知正方体ABCD A1B1C1D1 1 求AC与A1D所成角的大小 2 若E F分别为AB AD的中点 求A1C1与EF所成角的大小 1 下列命题中正确的个数是 过异面直线a b外一点P有且只有一个平面与a b都平行 异面直线a b在平面 内的射影相互垂直 则a b 底面是等边三角形 侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 直线a b分别在平面 内 且a b 则 A 0B 1C 2D 3 A 解析 对于 当点P与两条异面直线中的一条直线确定的平面与另一条直线平行时 就无法找到过点P且与两条异面直线都平行的平面 故 错误 对于 在如图1所示的三棱锥P ABC中 PB 面ABC BA BC 满足PA PC两边在底面的射影相互垂直 但PA与PC不垂直 故 错误 对于 在如图2所示的三棱锥P ABC中 AB BC AC PA 2 PB PC 3 满足底面ABC是等边三角形 侧面都是等腰三角形 但三棱锥P ABC不是正三棱锥 故 错误 对于 直线a b分别在平面 内 且a b 则 可以平行 故 错误 所以正确命题的个数为0 选A D 3 两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是 A 两条相交直线B 两条平行直