高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第42讲 直线平面垂直的判定及其性质课件 理

立体几何 第七章 第42讲直线 平面垂直的判定及其性质 栏目导航 1 直线与平面垂直 1 直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面 内的 直线都垂直 就说直线l与平面 互相垂直 任意一条 2 判定定理与性质定理 两条相交直线 a b a b O l a l b 平行 a b 2 平面与平面垂直 1 平面与平面垂直的定义两个平面相交 如果它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 直二面角 2 判定定理和性质定理 垂线 l l 交线 l a l a 1 思维辨析 在括号内打 或 1 直线l与平面 内无数条直线都垂直 则l 2 过一点作已知直线的垂面有且只有一个 3 若两条直线垂直 则这两条直线相交 4 若两平面垂直 则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一平面 5 若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线 则 解析 1 错误 直线l与 内两条相交直线都垂直才有l 2 正确 过一点可以作两条相交直线都垂直于已知直线 而这两条相交直线可确定一个平面 此平面与直线垂直 3 错误 两条直线垂直 这两条直线可能相交 也可能异面 4 错误 两个平面垂直 有一条交线 一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 而不是任意一条直线 5 错误 内的一条直线如果与 内的两条相交直线都垂直才能线面垂直 从而面面垂直 2 设平面 与平面 相交于直线m 直线a在平面 内 直线b在平面 内 且b m 则 是 a b 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件解析 由面面垂直的性质定理可知 当 时 b 又因为a 则a b 如果a m a b 不能得到 故 是 a b 的充分不必要条件 故选A A 3 2017 上海六校联考 已知m和n是两条不同的直线 和 是两个不重合的平面 下面给出的条件中一定能推出m 的是 A 且m B 且m C m n且n D m n n 且 解析 且m m 或m 或m与 相交 故A不成立 且m m 或m 或m与 相交 故B不成立 m n 且n m 故C成立 m n n 且 知m 不成立 故D不成立 故选C C 4 PD垂直于正方形ABCD所在的平面 连接PB PC PA AC BD 则一定互相垂直的平面有 对 解析 平面PAD 平面PBD 平面PCD都垂直于平面ABCD 平面PAD 平面PCD 平面PCD 平面PBC 平面PAD 平面PAB 平面PAC 平面PBD 共有7对 7 5 在三棱锥P ABC中 点P在平面ABC中的射影为点O 1 若PA PB PC 则点O是 ABC的 心 2 若PA PB PB PC PC PA 则点O是 ABC的 心 解析 1 若PA PB PC 由勾股定理易得OA OB OC 故O是 ABC的外心 2 由PA PB PC PA 得PA 平面PBC 则PA BC 又由PO 平面ABC知PO BC 所以BC 平面PAO 则AO BC 同理得BO AC CO AB 故O是 ABC的垂心 外 垂 1 证明直线和平面垂直的常用方法 判定定理 垂直于平面的传递性 a b a b 面面平行的性质 a a 面面垂直的性质 2 证明线面垂直的核心是证线线垂直 而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质 因此 判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 3 线面垂直的性质常用来证明线线垂直 一直线与平面垂直的判定与性质 例1 如图 在正方体ABCDA1B1C1D1中 E为棱C1D1的中点 F为棱BC的中点 1 求证 直线AE 直线DA1 2 在线段AA1上求一点G 使得直线AE 平面DFG 解析 1 证明 由正方体的性质可知 DA1 AD1 DA1 AB 又AB AD1 A DA1 平面ABC1D1 又AE 平面ABC1D1 DA1 AE 2 所求G点即为A1点 证明如下 由 1 可知AE DA1 取CD的中点H 连接AH EH 由DF AH DF EH AH EH H 可证DF 平面AHE AE 平面AHE DF AE 又DF A1D D AE 平面DFA1 即AE 平面DFG 二平面与平面垂直的判定与性质 1 判定面面垂直的方法 面面垂直的定义 面面垂直的判定定理 a a 2 在已知平面垂直时 一般要用性质定理进行转化 在一个平面内作交线的垂线 转化为线面垂直 然后进一步转化为线线垂直 例2 如图所示 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD 且底面各边都相等 M是PC上的一动点 当点M满足 时 平面MBD 平面PCD 只要填写一个你认为是正确的条件即可 解析 四边形ABCD的边长相等 四边形为菱形 AC BD 又 PA 面ABCD PA BD 又 AC PA A BD 面PAC BD PC 当BM PC时 又 BM BD B PC 面BDM 又 PC 平面PCD 面PCD 面BDM BM PC 答案不唯一 例3 已知三棱柱A1B1C1 ABC的侧棱与底面成60 角 底面是等边三角形 侧面B1C1CB是菱形且与底面垂直 求证 AC1 BC 三垂直关系中的探索性问题 解决垂直关系中的探索性问题的方法同 平行关系中的探索性问题 的规律方法一样 一般是先探求点的位置 多为线段的中点或某个三等分点 然后给出符合要求的证明 例4 如图 在三棱台ABC DEF中 CF 平面DEF AB BC 1 设平面ACE 平面DEF a 求证 DF a 2 若EF CF 2BC 试问在线段BE上是否存在点G 使得平面DFG 平面CDE 若存在 请确定G点的位置 若不存在 请说明理由 解析 1 证明 在三棱台ABC DEF中 AC DF AC 平面ACE DF 平面ACE DF 平面ACE 又 DF 平面DEF 平面ACE 平面DEF a DF a 1 如图 PA垂直于圆O所在的平面 AB是圆O的直径 C是圆O上的一点 E F分别是点A在PB PC上的射影 给出下列结论 AF PB EF PB AF BC AE BC 正确命题的个数为 A 1B 2C 3D 4 C 解析 AB是圆O的直径 AC BC 又PA 面ABC 故PA BC 且PA AC A BC 面PAC BC AF 又AF PC 且PC BC C AF 面PBC 故AF PB 又AE PB 且AF AE A 所以PB 面AEF 从而EF PB 故 正确 若AE BC 则可证AE 面PBC 则AE AF 这是不可能的 选C 2 如图 以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕 把 ABD和 ACD折成互相垂直的两个平面后 某学生得出下列四个结论 BD AC BAC是等边三角形 三棱锥D ABC是正三棱锥 平面ADC 平面ABC 其中正确的是 A B C D 解析 由题意知 BD 平面ADC 故BD AC 正确 AD为等腰直角三角形斜边BC上的高 平面ABD 平面ACD 所以AB AC BC BAC是等边三角形 正确 易知DA DB DC 又由 知 正确 由 知 错 故选B B 3 如图 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AB AD AC CD ABC 60 PA AB BC E是PC的中点 证明 1 CD AE 2 PD 平面ABE 4 如图 在四棱锥S ABCD中 平面SAD 平面ABCD 四边形ABCD为正方形 且P为AD的中点 Q为SB的中点 1 求证 CD 平面SAD 2 求证 PQ 平面SCD 3 若SA SD M为BC的中点 在棱SC上是否