关于几类特殊矩阵特征值的讨论.doc

精品文档 1 欢迎下载 学士学位论文 设计 学士学位论文 设计 BachelorBachelor s s ThesisThesis 论文题目 关于几类特殊矩阵特征值的讨论 作者姓名 学号 2008111010243 所在院系数学与统计学院 学科专业名称数学与应用数学 导师及职称傅朝金 教授 论文答辩时间2012 年 5 月 5 日 编号 2012110243 研究类型理论研究 分类号 O151 21 精品文档 2 欢迎下载 学士学位论文 设计 诚信承诺书 中文题目 关于几类特殊矩阵特征值的讨论 外文题目 Discussion on some special classes of matrix eigenvalue 学生姓名学生学号 2008111010243 院系专业 数学与统计学院 数学与应用数学 学生班级0802 班 学学 生生 承承 诺诺 我承诺在学士学位论文 设计 活动中遵守学校有关规定 恪守学 术规范 本人学士学位论文 设计 内容除特别注明和引用外 均为本 人观点 不存在剽窃 抄袭他人学术成果 伪造 篡改实验数据的情况 如有违规行为 我愿承担一切责任 接受学校的处理 学生 签名 年 月 日 精品文档 3 欢迎下载 指导教师承诺指导教师承诺 我承诺在指导学生学士学位论文 设计 活动中遵守学校有关规定 恪守学术道德规范 经过本人核查 该生学士学位论文 设计 内容除 特别注明和引用外 均为该生本人观点 不存在剽窃 抄袭他人学术成 果 伪造 篡改实验数据的现象 指导教师 签名 年 月 日 目录目录 1 引言 1 2 矩阵的特征值与特征向量的定义及其性质 1 3 特值与特征征向量的求法 2 3 1 求数字方阵的特征值与特征向量 2 3 2 已知矩阵 求与之相关的矩阵的特征值 2A 4 与矩阵相关矩阵的特征值 2A 5 矩阵与的特征值的关系 5ABBA 6 矩阵的 KRONECKER 积的特征值 7 7 行 列 转置矩阵的特征值 8 7 1 定义和命题 8 7 2 主要结果 9 精品文档 4 欢迎下载 8 矩阵的特征值与矩阵的共轭转置矩阵的特征值之间的关系 10AAA 8 1 当时 矩阵的特征值的特点 10 A Af B A 8 1 1 酉矩阵的特征值 11 8 1 2 正交矩阵的特征值 11 8 2 当时 矩阵的特征值的特点 13 Af A A 关于几类特殊矩阵特征值的讨论 汤 指导教师 傅朝金 教授 湖北师范学院数学与统计学院 中国 黄石 435002 摘要 物理 力学 工程技术中的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值与特征 向量问题 矩阵的特征值概念以及求矩阵的特征值是高等代数的重要内容之一 这个知识点也是考研的热点 本文将与几类特殊矩阵的特征值有关的结论总结 出来并加以证明 使得某些在平时学习中零散的结论综合在一起 发现这些结 论的内在规律 有效地利用这些规律 就可以方便的求出矩阵的特征值 关键词 矩阵 特征值 特征向量 中图分类号 O151 21 Discussion on some special classes of matrix eigenvalue TANG Yuting Tutor FU Chaojin College of Mathematics and Statistics Hubei Normal 精品文档 5 欢迎下载 University Huangshi Hubei 435002 AbstractAbstract Many problems in the physics mechanics engineering mathematics are attributed to the matrix the eigenvalues and eigenvectors The concept of the eigenvalue of matrix and how to calculate the matrix eigenvalue is an important part of Higher Algebra and this knowledge is also the hot spots of Entrance Examination This article summes up and proves the conclusions of some special classes of matrix characteristics making some conclusions that are scattered in the normal learning integrated and finding the inherent law of these conclusions If you can use these laws effectively you can easily calculate the eigenvalues of the matrix Keywords Keywords matrix eigenvalue eigenvectors CLCCLC number number O151 21 精品文档 1 欢迎下载 关于几类特殊矩阵的特征值的结论 1 引言 在学习高等代数的过程中 矩阵与特征值是学习的重点与难点 而这个知识点也 是考研的热点 所以本文将与几类特殊矩阵的特征值有关的结论总结出来并加以证明 使得某些在平时学习中零散的结论综合在一起 发现这些结论的内在规律 有效地利 用这些规律 就可以方便的求出矩阵的特征值 为了方便讨论 规定 表示矩阵的逆矩阵 表示矩阵的转置矩阵 1 A A A A 表示矩阵的行列式 表示矩阵的共轭转置矩阵 表示阶单位矩阵 AAA AEn 2 矩阵的特征值与特征向量的定义及其性质 定义 1 设是阶方阵 如果对于数域中的一个数 存在一个维非零向量AnPln 使得 那么称为的一个特征值 为矩阵的属于特征值的一个XAXXl lAXAl 特征向量 性质 1 若为矩阵属于特征值的特征向量 当不全为零时 12 XXAl 12 k k 仍是矩阵的属于特征值的特征向量 1122 k Xk X Al 性质 2 若是矩阵的互不相同的特征值 其对应的特征向量分别是 12 m lll A 则线性无关 即属于不同特征值的特征向量线性无关 12 XX m X 12 m XXX 性质 3 若矩阵的个特征值为 则 ij n n Aa n 12 n lll 112212nnn aaalll 12n Al ll 精品文档 2 欢迎下载 3 特征值与特征向量的求法 3 1 求数字方阵的特征值与特征向量 对于一般的数字方阵可以按以下步骤求矩阵的特征值与特征向量 1 计算特征多项式 fAEA l l 2 计算特征方程在数域中的全部根 它们就是矩阵0EAl P 12 m lll 的特征值 A 3 对于每一个特征值 求出齐次方程组的一个基础解系 i l 0 iE A Xl 则是矩阵的属于特征值的一组线性无关的特征向量 12 t iiir XXX 12 t iiir XXX A i l 则矩阵的属于特征值的所有特征向量是 其中A i l 1122 tt iiiiirir k Xk Xk X 是数域中任意常数 且不全为零 12 t iiir kkk P 12 t iiir kkk 1 2 im 3 2 已知矩阵 求与之相关的矩阵的特征值A 已知矩阵 求与之相关的矩阵的特征值 可以运用后面要叙述的结论进行方便A 的求解 而特征向量可直接按 3 1 中的 3 求解 4 与矩阵相关矩阵的特征值A 命题 1 设是阶方阵的特征值 是属于特征值的特征向量 则有lnAXl 1 是 是常数 的特征值 且是的属于的特征向量 klkAkXkAkl 2 是的特征值 且是的属于的特征向量 2 l 2 AX 2 A 2 l 3 是的特征值 且是的属于的特征向量 k l k AX k A k l 4 是的特征值 l A 5 当可逆时 是的特征值 且是的属于的特征向量 A 1 l 1 A X 1 A 1 l 6 当可逆时 是的特征值 且是的属于的特征向量 A 1 Al AX A 1 Al 7 设 则是的特征值 且是 1 110 mm mm f xa xaxa xa fl f AX 精品文档 3 欢迎下载 的属于的特征向量 f A fl 证明 1 因为 所以 故是AXXl kA Xk AXk XkXll kl 是常数 的特征值 且是的属于的特征向量 kAkXkAkl 2 因为 所以 故是的特征AXXl 22 A XA AXA XAXXlll 2 l 2 A 值 且是的属于的特征向量 X 2 A 2 l 3 用第一数学归纳法证明 对进行归纳证明 方法同 2 k 4 因为 所以与的特征值相同 EAEAEAlll A A 5 因为可逆 所以 而 即A0l 111 XA AXAAXAXl 所以是的特征值 且是的属于的特征向量 11 A XXl 1 l 1 A X 1 A 1 l 6 因为 所以由 1 可知 是的特征值 且是的属于 1 AA A 1 Al AX A 的特征向量 1 Al 7 因为 所以 AXXl 1 110 mm mm f A Xa AaAa Aa E X 11 110110 mmmm mmmm f A Xa A XaAXa AXa EXaaaaXlll 故 即是的特征值 且是的属于的特征 f A XfXl fl f AX f A fl 向量 命题 2 设是阶方阵的个特征值 设 12 n lll nAn 1 110 mm mm f xa xaxa xa 则是的所有特征值 12 n ffflll f A 证明 用数学归纳法对的阶数进行归纳证明 存在可逆矩阵 使得nT 1 21 n TAT l l l 当时 则存在可逆矩阵及 使 1n 1 Al 1E 1 1E 1 1 EAEl 精品文档 4 欢迎下载 假设当阶数为时 结论成立 1n 那么当阶数为时 取的特征值及的一个特征向量 将扩充为的nA 1 l 1 l 1 X 1 X n P 一组基 令 则可逆 且使得 此 12 n XXX 112 n TXXX 1 T 1 T 11 11 1 0 TAT A l 处 1 A 为阶矩阵 11nn 由归纳假设知 存在可逆矩阵 使得 2 T 2 31 21 2 n TAT l l l 其中是的个特征值 23 n lll 1 A1n 令 则 那么 3 2 10 0 T T 1 1 3 2 10 0 T T ll 1111 11 3113 122212 10 10 0000 TTAT T ATTTAT l l l 1 1 211 31131313 n TTA TTTTA TT L L OM 由上可知 与相似 则是的个特征值 记为 l l l 1 2 n L L OM Alll 12 n LAn 12 n lll 令 则 结论得证 13 TTT 1 21 n TAT l l l 由结论可知 对阶方阵 存在可逆矩阵 使得nAT 精品文档 5 欢迎下载 1 21 n ATT l l l 则 且是的所 1 21 n f f f ATT f l l l 12 n ffflll f A 有特征值 5 矩阵与的特征值的关系ABBA 命题 3 设是矩阵 是矩阵 则的特征多项式与的Amn Bnm AB AB flBA 特征多项式有如下关系 BA fl 1 nm ABBA ffllll 证明 先把要证明的 1 式改写为 2 nm mn EABEBAllll 用构造法 设 令 0l 1 n m EB H AE l 对两边取行列式得 11 1 0 0 nnn mmm EBEEB EABAEAE ll l 11 m mm HEABEAB ll l 3 再对两边取行列式得 111 0 0 nnn mmm EEBEBAB AEAEE lll 11 n nn HEBAEBA ll l 4 故由 3 4 得 11 mn nm mnmn EABEBAEABEBA ll llllll 精品文档 6 欢迎下载 5 上述等式是假设了 但 5 式两边均为的次多项式 有无穷多个值0l lnm 使它们成立 从而 5 式一定是恒等式 故命题 3 得证 0l 由命题 3 可以得到以下几个推论 推论 1 当 均为阶方阵时 与有相同的特征值 ABnABBA 证明一 由命题 3 可知 nn EABEBAllll 当时 0l EABEBAll 当时 0l 11 nn EABABA BB ABAEBAll 故与有相同的特征值 ABBA 证明二 当有零特征值 即 AB0l 因为 01100 nn EBABAB AA BEAB 所以 也是的特征值 0l BA 当有非零的特征值 设是任意非零的特征值 则存在特征向量 使ABlAB 0X X 得 0ABXX Xl 用同时左乘上式两边得 令 则可得 B 0BA BXBXXl YBX BAYYl 其中 否则由假设得 这与矛盾 所以是0Y 0XABXAYl 0 0Xl Y 属于特征值的特征向量 而是的任意非零特征值 所以的任意非零特征BAllABAB 值都是的特征值 BA 综上所述的任意特征值都是的特征值 ABBA 同理可证的任意特征值都是的特征值 BAAB 所以与有相同的特征值 ABBA 推论 2 设是矩阵 是矩阵 且 则与有相同的非零Amn Bnm mn ABBA 特征值 证明 不妨设 由命题 3 的证明的 5 式知mn nmn m mnmn EABEBAEABEBAlllllll 上述等式是假设了 但上式两边均为的次多项式 有无穷多个值使它成0l ln 立 从而上式一定是恒等式 0l 精品文档 7 欢迎下载 所以与有相同的非零特征值 且阶数较高的还有个零特征值 ABBABAnm 6 矩阵的 Kronecker 积的特征值 命题 4 设 分别为的特征值 则为的特征 m mn n ACBC l m A Bl mAB 值 证明 设 故 0 0 mn XCXYCY 0XY ABXYAXBYXYXYlml m 所以为的特征值 l mAB 由命题 4 可得以下推论 推论 1 设 及分别为矩阵的特征值 m mn n ACBC 12 m lll 12 n m mm A B 则为的特征值 其中 st l mAB 1 2 sm 1 2 tn 推论 2 设 及分 m mn ns s ACBCPC 12 m lll 12 n m mm 12 s rrr 别为矩阵的特征值 则为的特征值 其中 A B P ijk l mrABP 1 2 im 1 2 jn 1 2 ks 命题 5 设 分别为的特征值 设 m mn n ACBC rs lm A B 为复数形式 则个数是 0 l ij ij i j f x yc x y 0 l ij ij i j f A Bc AB mn rs flm 的特征值 其中 f A B1 2 rm 1 2 sn 证明 设为的特征值的特征向量 为的特征值的特征向量 则有 r XA r l s YA s m 其中 则 ii rrrrrr AXXA XXll jj ssssss BYYB YYmm 0 r X 0 s Y 0 l ij rsijrs i j f A BXYcABXY 0 l ij ijrs i j cABXY 0 l ij ijrs i j cA XB Y 精品文档 8 欢迎下载 0 l ij ijrsrs i j cXYl m rsrs fXYlm 即是的特征值 其中 rs flm f A B1 2 rm 1 2 sn 由命题 5 可以得以下推论 推论 设 分别为的特征值 则是矩阵的 m mn n ACBC rs lm A B rs lm A B Kronecker 积的特征值 其中 nm AEBE 1 2 rm 1 2 sn 7 行 列 转置矩阵的特征值 在本节中 为了方便讨论 规定表示矩阵的转置 表示次对角线上的 T AA n JJ 元素全为 1 其余元素全为 0 的阶方阵 即n 001 010 100 J 7 1 定义和命题 行 列 转置矩阵是一种特殊的矩阵 在整个矩阵理论体系中具有十分重要的作 用 高等代数主要讨论了矩阵的转置 对矩阵的行 列 转置很少涉及 所以下面给 出矩阵行 列 转置的定义以及一些相关的结论 定义 2 设 则矩阵的行转置矩阵与列转置矩阵分别记为 m n ij AaR A RC AA 即 12 1 12 21 21222 11121 mmmn mmmn R n n aaa aaa A aaa aaa 11 111 22 121 1 1 11 1 11 nn nn C mnmnm mnm nm aaa aaa A aaa aaa 若 则称为行 列 对称矩阵 RC AA AA A 若 则称为行 列 反对称矩阵 RC AA AA A 精品文档 9 欢迎下载 若 则称为行列对称矩阵 RC AA A 由定义 2 可以得到以下命题 命题 6 1T JJJ 2RC JJJE 命题 7 设 则有以下结论 m nn k ARBR 1 RC mn AJ A AAJ 2 RC RC AA AA 3 RC RC kAkAkAkAkR 4 TCTR RTCT AAAA 5 RC RC ABA BABAB 7 2 主要结果 命题 8 设为阶方阵 则与相似 则与有相同的特征值 n n AR n R A C A R A C A 证明 由命题 6 与命题 7 知 又因为为阶可逆矩阵 RC AJAJAJJJA J Jn 且 从而 所以与相似 则与有相同的特 1 JJ 1RCC AJA JJA J R A C A R A C A 征值 推论 设为阶方阵 则有以下结论 n n AR n 1 当是行对称矩阵时 则与有相同的特征值 A C AA A C A 2 当是列对称矩阵时 则与有相同的特征值 A R AA A C A 命题 9 设为阶方阵 则与有相同的特征多项式和特征值 n n AR n R A C A 证明 设是的任意特征值 则l R A R EAEJAEEJAElll 222 J JJAJJJJAJ Jll 2 C JJJAJEAll 即 RC EAEAll 所以与有相同的特征多项式 从而有相同的特征值 R A C A 精品文档 10欢迎下载 推论 设为阶方阵 则有以下结论 n n AR n 1 当是行对称矩阵时 则与有相同的特征多项式和特征值 AA R A 2 当是列对称矩阵时 则与有相同的特征多项式和特征值 AA C A 命题 10 设为阶方阵 则有相同的可逆性 n n AR n RC A AA 证明 由命题 6 与命题 7 知 即 RC AJAJ AA JAJA RC AAJ A 所以当可逆时 又因 从而 均A0A 0J 0 RC AAJ A RC A AA 可逆 当不可逆时 从而 则均不逆 A0A 0 RC AAJ A RC A AA 综上所述有相同的可逆性 RC A AA 命题 11 设为阶方阵 且可逆 则与相似 从而有相同 n n AR nA 1 R A 1 C A 的特征值 证明 由命题 10 知 当可逆时 均可逆 根据命题 6 和命题 7 可得A RC AA 1 11 R AJAJAE 1 1 C JAJJJA J 11 111CC JAJJAJ 所以与相似 从而有相同的特征值 1 R A 1 C A 8 矩阵的特征值与矩阵的共轭转置矩阵的特征值之间的关系AAA 8 1 当时 矩阵的特征值的特点 A Af B A 命题 12 设 当 为矩阵的 1 110 mm mm f xa xaxa xa A Af B lA 特征值 为矩阵的特征值 且至少存在一个非零向量 是属于特征值的特hBXXl 征向量 也是属于特征值的 特征向量 则即 h fl lh flh 精品文档 11欢迎下载 证明 等式两边同时取共轭转置得AXXl AXXl AXXl X AXl 将与等式两边相乘得 即X AXl AXXl X AAXXXll 因为矩阵满足 故由命题 1 中 7 可知X A AXXXll A A Af B X f B XX fXfX XXXhhll 又因为 则 故 1 2 0 n x x X x 12n Xx xx 1 122 0 nn X Xx xx xx x 将两边同时消去得 即 fX XX Xhl l X X fl lh flh 推论 当 时 为矩阵的特征值 则有 即 A AkE kR lAkl l kl 证明 设为矩阵的特征值 为属矩阵的特征值的特征向量 且为属lAXAlX 矩阵的特征值 1 的特征向量 令 由命题 12 知 E f xk 1fkl l 即 kl 8 1 1 酉矩阵的特征值 定义 3 对阶复矩阵 如果满足 则称为酉矩阵 nAAA AAAE A 命题 13 酉矩阵的特征值的模为 1 A 证明 令命题 12 的推论中的 有 所以 1k A AE 1l 8 1 2 正交矩阵的特征值 定义 4 如果阶实数矩阵满足 则称为正交矩阵 nAA AAAE A 命题 14 正交矩阵的特征值的模为 1 A 证明 由定义知正交矩阵是酉矩阵 由命题 13 可得正交矩阵的特征值的模为A 1 推论 1 正交矩阵的实特征值只能为 1 或A1 精品文档 12欢迎下载 证明 为正交矩阵的特征值 由命题 14 知 由于为实数 故只能lA1l ll 为 1 或 1 由上可知 由于正交矩阵的特征值的模为 1 且 故正交矩阵的特征A1A A 值可能为 3 种 1 或 且复特征值是成对出现的 即同时1 cossin i ei q qq l l 为矩阵 的特征值 A 推论 2 阶正交矩阵的行列式与其特征值之间的关系如下nA 1 若 则一定有特征值 1A A1 2 若 且为奇数 则一定有特征值 1 1A nA 证明一 运用命题 12 及其推论进行证明 设阶正交矩阵在复数范围内的个特征值分别为 由于nAn 12 n lll 则的特征值由两类构成 一类是模为 1 的共轭虚数 另一类是 1 或 12 n Al ll A 1 1 由 可知的特征值中除了成对出现共轭虚数外 一定有实特征值1A A 否则特征值会出现如下结构 此时1 1122 1 1 1 kk llllll 1122 11 kk Al l l ll l 则矛盾 所以一定有特征值 A1 2 由 且为奇数 可知的特征值中除了成对出现的共轭虚根外 还1A nA 应存在奇数个实特征根 为了保证 这奇数个实特征根不能全为 至少有一1A 1 个 1 所以一定有特征值 1 A 证明二 从正交矩阵的定义出发 可以证明如下 1 用特征值的定义证明 AEAA AEAAEA A EAAEA AEA 故 则一定有特征值 20EA 0EA A1 精品文档 13欢迎下载 2 用同样的方法可以证明 EAA AAAE AAE A 1 n AEAAE AEA 因为为奇数 故 则一定有特征值 1 n20EA 0EA A 8 2 当时 矩阵的特征值的特点 Af A A 命题 15 设 为矩阵的特征值 且 1 110 mm mm f xa xaxa xa lA 则有 Af A fll 证明 为矩阵的属于特征值的特征向量 则有 等式两边同时取XAlAXXl 共轭转置得 AXXl AXXl X AXl 因为为矩阵的特征值 由命题 1 中 7 可知是的特征值 且是lA fl f AX 的属于的特征向量 则有 等式两边同时左乘得 f A fl f A XfXl X X f A XX fXX A XfX Xll 因为 所以 X AXl X XfX Xll 又因为 则 故 1 2 0 n x x X x 12n Xx xx 1 122 0 nn X Xx xx xx x 将两边同时消去得 X XfX Xll X X fll 定义 5 对阶复矩阵 若 则称为埃尔米特 Hermite 称阵 nAAA A 推论 1 为埃尔米特 Hermite 称阵 则的特征值全为实数 AA 证明 因为为阶埃尔米特 Hermite 称阵 则 AnAA 令 则 设为矩阵的特征值 由命题 15 知 f xx Af A lA 精品文档 14欢迎下载 故为实数 即的特征值全为实数 flll lA 定义 6 对阶实数矩阵 若 则称为实对称阵 nAAA A 推论 2 为实对称阵 则的特征值全为实数 AA 证明 由定义知 实对称阵是埃尔米特矩阵 由命题 15 的推论 1 知 的特征值A 为全实数 定义 7 对阶实数矩阵 若 则称为实反对称阵 nAAA A 推论 3 为实反对称阵 则的特征值为 0 或纯虚数 AA 证明 因为为阶实反对称矩阵 则 AnAA 令 则 设为矩阵的特征值 由命题 15 知 f xx Af A lA flll 因为 所以为 0 或纯虚数 ll l 精品文档 15欢迎下载 参考文献 1 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组 高等代数 M 第 3 版 北京 高等教育出版 社 2003 290 293 296 297 377 378 2 郭竹梅 关于几类特殊矩阵特征值的结论及应用 J 宜春学院学报 2011 33 4 31 32 3