高考数学二轮复习专题四立体几何第2讲空间中的平行与垂直的证明问题课件文

第2讲空间中的平行与垂直的证明问题 高考定位1 以选择题 填空题的形式考查 主要利用平面的基本性质及线线 线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断 属基础题 2 以解答题的形式考查 主要是对线线 线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题 且多以棱柱 棱锥 棱台或其简单组合体为载体进行考查 难度中等 真题感悟 2016 全国 卷 如图 已知正三棱锥P ABC的侧面是直角三角形 PA 6 顶点P在平面ABC内的正投影为点D D在平面PAB内的正投影为点E 连接PE并延长交AB于点G 1 证明 G是AB的中点 2 作出点E在平面PAC内的正投影F 说明作法及理由 并求四面体P DEF的体积 1 证明因为P在平面ABC内的正投影为D 所以AB PD 因为D在平面PAB内的正投影为E 所以AB DE 且PD DE D 所以AB 平面PED 又PG 平面PED 故AB PG 又由已知可得 PA PB 从而G是AB的中点 2 解在平面PAB内 过点E作PB的平行线交PA于点F F即为E在平面PAC内的正投影 理由如下 由已知可得PB PA PB PC 又EF PB 所以EF PA EF PC PA PC P 因此EF 平面PAC 即点F为E在平面PAC内的正投影 考点整合 1 直线 平面平行的判定及其性质 1 线面平行的判定定理 a b a b a 2 线面平行的性质定理 a a b a b 3 面面平行的判定定理 a b a b P a b 4 面面平行的性质定理 a b a b 2 直线 平面垂直的判定及其性质 1 线面垂直的判定定理 m n m n P l m l n l 2 线面垂直的性质定理 a b a b 3 面面垂直的判定定理 a a 4 面面垂直的性质定理 l a a l a 热点一空间平行 垂直关系的证明 例1 2016 山东卷 在如图所示的几何体中 D是AC的中点 EF DB 1 已知AB BC AE EC 求证 AC FB 2 已知G H分别是EC和FB的中点 求证 GH 平面ABC 证明 1 因为EF DB 所以EF与DB确定平面BDEF 连接DE 因为AE EC D为AC的中点 所以DE AC 同理可得BD AC 又BD DE D 所以AC 平面BDEF 因为FB 平面BDEF 所以AC FB 2 设FC的中点为I 连接GI HI 在 CEF中 因为G是CE的中点 所以GI EF 又EF DB 所以GI DB 在 CFB中 因为H是FB的中点 所以HI BC 又HI GI I 所以平面GHI 平面ABC 因为GH 平面GHI 所以GH 平面ABC 探究提高垂直 平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型 1 证明线面 面面平行 需转化为证明线线平行 2 证明线面垂直 需转化为证明线线垂直 3 证明线线垂直 需转化为证明线面垂直 4 证明面面垂直 需转化为证明线面垂直 进而转化为证明线线垂直 训练1 如图 在四棱锥P ABCD中 AB AC AB PA AB CD AB 2CD E F G M N分别为PB AB BC PD PC的中点 求证 1 CE 平面PAD 2 平面EFG 平面EMN 图1 图2 所以EF 平面PAD 因为CF EF F 故平面CEF 平面PAD 又CE 平面CEF 所以CE 平面PAD 2 因为E F分别为PB AB的中点 所以EF PA 又AB PA 所以AB EF 同理可证AB FG 又EF FG F EF 平面EFG FG 平面EFG 因此AB 平面EFG 又M N分别为PD PC的中点 所以MN DC 又AB DC 所以MN AB 所以MN 平面EFG 又MN 平面EMN 所以平面EFG 平面EMN 热点二利用平行 垂直关系判断点的存在性 1 在平面PAD内找一点M 使得直线CM 平面PAB 并说明理由 2 证明 平面PAB 平面PBD 所以四边形AMCB是平行四边形 从而CM AB 又AB 平面PAB CM 平面PAB 所以CM 平面PAB 说明 取棱PD的中点N 则所找的点可以是直线MN上任意一点 探究提高探求点的位置常常是线段的中点 三等分点等 关键是通过垂直 平行关系寻找线线平行 2 证明在平面ABC内 过点B作BN AC 垂足为N 在平面PAC内 过点N作MN PA交PC于点M 连接BM 由PA 平面ABC知PA AC 所以MN AC 由于BN MN N 故AC 平面MBN 又BM 平面MBN 所以AC BM 热点三平面图形翻折中的平行 垂直关系 例3 2016 全国 卷 如图 菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O 点E F分别在AD CD上 AE CF EF交BD于点H 将 DEF沿EF折到 D EF的位置 探究提高 1 解决折叠问题的关键是搞清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变 哪些不变 抓住翻折前后不变的量 充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口 2 把平面图形翻折后 经过恰当连线就能得到三棱锥 四棱锥 从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决 1 空间中点 线 面的位置关系的判定 1 可以从线 面的概念 定理出发 学会找特例 反例 2 可以借助长方体 在理解空间点 线 面位置关系的基础上 抽象出空间线 面的位置关系的定义 2 垂直 平行关系的基础是线线垂直和线线平行 常用方法如下 1 证明线线平行常用的方法 一是利用平行公理 即证两直线同时和第三条直线平行 二是利用平行四边形进行平行转换 三是利用三角形的中位线定理证线线平行 四是利用线面平行 面面平行的性质定理进行平行转换 2 证明线线垂直常用的方法 利用等腰三角形底边中线即高线的性质 勾股定理 线面垂直的性质 即要证两线垂直 只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可 l