中考数学 第二部分 重难题型突破 题型三 图形动态探究题课件

题型三图形动态研究题 线段问题 类型一 类型二 图形形状问题 类型三 图形面积问题 类型一线段问题 例 2015岳阳 已知直线m n 点C是直线m上一点 点D是直线n上一点 CD与直线m n不垂直 点P为线段CD的中点 1 操作发现 直线l m l n 垂足分别为点A B 当点A与点C重合时 如图 所示 连接PB 请直接写出线段PA与PB的数量关系 2 猜想证明 在图 的情况下 把直线l向上平移到如图 的位置 试问 1 中的PA与PB的关系式是否仍然成立 若成立 请证明 若不成立 请说明理由 3 延伸探究 在图 的情况下 把直线l绕点A旋转 使得 APB 90 如图 所示 若两平行线m n之间的距离为2k 求证 PA PB k AB 1 思维教练 要判断PA与PB的数量关系 观察图形 已知点P为CD中点 联想到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 通过证明 ABD为直角三角形 即可得到结论 解 PA PB 解法提示 l n ABD是直角三角形 又 点P是AD的中点 PB PA 2 思维教练 要证PA PB 只需证明点P在线段AB的垂直平分线上即可 解 成立 证明 如解图 过点C作CE n于点E 过点P作PF CE于点F PF n 点P是CD的中点 点F是CE的中点 PF垂直平分CE m n AB m AB CE 且AB CE PF垂直且平分AB PA PB 一题多解 如解图 过P作EF AB 交m于点E 交n于点F AB m AB n EF m EF n 四边形EFBA是矩形 AE BF P是CD的中点 PC PD m n PCE PDF 又 EPC FPD PCE PDF ASA PE PF Rt PEA Rt PFB SAS PA PB 3 思维教练 延长AP交直线n于点F 过点A作AE n于点E 易证 AEF BPF 即可得到AF BP AE BF 从而证得PA PB k AB 证明 如解图 延长AP交直线n于点F 过A作AE n于点E m n 点P为线段CD的中点 AP PF APB 90 BP AF BF AB AE n AEF 90 又 AFE BFP Rt AEF Rt BPF AF BP AE BF 又 AF 2AP AE 2k BF AB 2PA PB 2k AB 即PA PB k AB 与线段有关的动态探究题 通常有以下几类 1 探究或者证明两线段的数量关系 1 要证明的线段在某一四边形中 考虑利用特殊四边形的性质 通过量的转换 等量代换进行求证 2 如果所要证明的线段在某个三角形中 考虑利用等腰 直角三角形的性质进行求证 3 如果所要证明的线段在两个三角形中 考虑通过三角形全等的判定及性质进行证明 4 三条线段的数量关系 可转化为两条线段进行探究 导 方 法 指 2 探究或者证明两线段的位置关系 两线段的位置关系通常为平行或垂直 观察图形 根据图形先推断两线段的位置关系是平行或垂直 若平行 则常通过以下方法进行证解 1 平行线判定的定理 2 平行四边形对边平行 3 三角形的中位线性质等 若垂直 则常通过以下方法进行证解 1 证明两线段所在直线的夹角为90 2 两线段是矩形的邻边 3 两线段是菱形的对角线 4 勾股定理的逆定理 5 利用等腰三角形三线合一的性质等方式证明 导 方 法 指 3 求线段的长度 比值时一般多涉及三角形全等和相似的相关证明和性质的运用 具体方法如下 要计算线段比 面积比时 可考虑从以下两方面思考 1 直接利用特殊图形的性质先求出对应线段 面积的值 再求比值 2 通过寻找相似三角形 利用相似三角形的性质求相应的比值 导 方 法 指 类型二图形形状问题 例 2016郴州 如图 矩形ABCD中 AB 7cm AD 4cm 点E为AD上一定点 点F为AD延长线上一点 且DF acm 点P从A点出发 沿AB边向点B以2cm s的速度运动 连接PE 设点P运动的时间为ts PAE的面积为ycm2 当0 t 1时 PAE的面积y cm2 关于时间t s 的函数图象如图 所示 连接PF 交CD于点H 1 t的取值范围为 AE cm 2 如图 将 HDF沿线段DF进行翻折 与CD的延长线交于点M 连接AM 当a为何值时 四边形PAMH为菱形 并求出此时点P的运动时间t 3 如图 当点P出发1s后 AD边上另一动点Q从E点出发 沿ED边向点D以1cm s的速度运动 如果P Q两点中的任意一点到达终点后 另一点也停止运动 连接PQ QH 若a cm 请问 PQH能否构成直角三角形 若能 请求出点P的运动时间t 若不能 请说明理由 1 思维教练 t的最小值为0 t的最大值与AB的长有关 要求AE的长 将y与t的关系式表示出来 结合图 即可求解 解 1 解法提示 由2t 7 得 从图象可知 当t 0 5时 y 0 5 即0 5 0 5 AE 解得AE 1 2 思维教练 根据PF AM和翻折的性质得到AM MF 可得DF AD a 要求t的值只能放在直角三角形中 用勾股定理解决 而各边长可通过菱形的性质和翻折的性质用t表示即可求解 解 由翻折的性质可知 PFA MFA 而当四边形PAMH为菱形时 PF AM PFA MAF MFA MA MF MD AF DF AD 4cm a 4 MH PA 2t DM t 在Rt ADM中 AM2 AD2 DM2 16 t2 若四边形PAMH为菱形 则AP2 AM2 4t2 16 t2 解得 t 负值舍去 当a 4时 四边形PAMH为菱形 此时点P的运动时间t为s 3 思维教练 将相关线段用含t的式子表示出来 通过分类讨论 PQH 90 PHQ 90 QPH 90 分别运用相似三角形的比例关系式求出t值即可 解 由题意得 AP 2t AQ 1 1 t 1 t DQ 4 t DH PA 当 PQH 90 时 PQA HQD HQD QHD 90 PQA QHD 又 A HDQ 90 PQA QHD 解得t 2 当 PHQ 90 时 DH FQ QDH HDF DH2 DF DQ 当 QPH 90 时 这种情况不存在 综上 当t 2或t 时 PQH为直角三角形 与图形形状有关的动态探究题 通常见有以下几种类型 一 探究等腰三角形的问题具体方法如下 1 分情况讨论 当所给条件中没有说明哪条边是等腰三角形的底 哪条边是等腰三角形的腰时 这时要对其进行分类讨论 假设某两条边相等 得到三种情况 2 求边长 在每种情况下 用题设中已设出自变量 时间t或线段长x 表示出假设相等的两条边的长或第三边的长 3 建立关系式并计算根据等腰三角形的性质 勾股定理或相似三角形的性质列等量关系式 根据等量关系求出t值或x值即可 导 方 法 指 二 探究直角三角形的问题具体方法如下 1 分情况讨论 当所给的条件不能确定直角顶点时 分情况讨论 分别令三角形的某个角为90 2 求边长 在每种情况下 用题设中已设出自变量 时间t或线段长x 表示出三边的长 3 验证求解 用相似三角形的性质或勾股定理进行验证并求解出结论成立时的t值或x值即可 导 方 法 指 类型三图形面积问题 例 2016益阳 如图 在 ABC中 ACB 90 B 30 AC 1 D为AB的中点 EF为 ACD的中位线 四边形EFGH为 ACD的内接矩形 矩形的四个顶点均在 ACD的边上 1 计算矩形EFGH的面积 2 将矩形EFGH沿AB向右平移 F落在BC上时停止移动 在平移过程中 当矩形与 CBD重叠部分的面积为时 求矩形平移的距离 3 如图 将 2 中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1 将矩形E1F1G1H1绕G1点按顺时针方向旋转 当H1落在CD上时停止转动 旋转后的矩形记为矩形E2F2G1H2 设旋转角为 求cos 的值 例题图 1 思维教练 要求矩形EFGH的面积 需求EF GF的长 利用中位线的性质可得EF DF 从而在 FGD中可求得GF 即可得解 解 在 ABC中 ACB 90 B 30 AC 1 AB 2 A 60 又 D是AB的中点 AD 1 CD AD AB 1又 EF是 ACD的中位线 EF AD CD DF在 ACD中 AD CD A 60 ADC 60 在 FGD中 GF DF sin60 S矩形EFGH EF GF 2 思维教练 分情况讨论 当矩形与 CBD重叠部分为三角形和四边形时 分别令重叠部分面积为即可求解 解 由第 1 问 易得GD DF 设矩形平移的距离为x 则0 x 如解图 当矩形与 CBD重叠部分为三角形时