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文档简介

第四章线性方程组 第一节线性方程组解的情况的判定 一 线性方程组的其它表示形式 二 线性方程组有解的判定条件 三 线性方程组的解的情况的判定及解法 线性方程组 一 线性方程组的其它表示形式 1 线性方程组的向量表示 2 线性方程组的矩阵表示 为线性方程组的系数矩阵 记为 称矩阵 称矩阵 为线性方程组的增广矩阵 记为 二 线性方程组有解的判定条件 问题 证 必要性 从而 这与原方程组有非零解相矛盾 充分性 任取一个自由未知量为 其余自由未知量为 证 必要性 则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程 即可得方程组的一个解 充分性 证毕 其余个作为自由未知量 把这行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量 小结 齐次线性方程组 系数矩阵化成行最简形矩阵 便可写出其通解 非齐次线性方程组 增广矩阵化成行阶梯形矩阵 便可判断其是否有解 若有解 化成行最简形矩阵 便可写出其通解 例1求解齐次线性方程组 解 三 线性方程组的解的情况的判定及解法 即得与原方程组同解的方程组 由此即得 例 求解非齐次线性方程组 解 对增广矩阵B进行初等变换 故方程组无解 例 求解非齐次方程组的通解 解对增广矩阵B进行初等变换 故方程组有解 且有 所以方程组的通解为 例 解证 对增广矩阵B进行初等变换 方程组的增广矩阵为 由于原方程组等价于方程组 由此得通解 例 设有线性方程组 解 其通解为 这时又分两种情形 非齐次线性方程组 齐次线性方程组 四 小结
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