第4章-动态电路.ppt

1 第四章动态电路 2 一阶电路的零输入响应 零状态响应 全响应 稳态响应 暂态响应 本章内容及重点 1 动态元件的伏安关系 3 一阶电路的三要素法 4 阶跃函数和阶跃响应 5 二阶电路的响应 2 动态电路概述 动态电路 含储能元件L C KCL KVL方程仍为代数方程 而元件方程中含微分或积分形式 因此描述电路的方程为微分方程 记忆电路 电阻电路 电路中仅由电阻元件和电源元件构成 KCL KVL方程和元件特性均为代数方程 因此描述电路的方程为代数方程 即时电路 一 电阻电路与动态电路 3 对动态电路 当电路结构或元件参数突然发生变化时 使电路由原来的工作状态转变到新的工作状态 这种转变往往需要经历一个过程 这个过程称为过渡过程 二 什么是电路的过渡过程 即电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程 S未动作前 S接通电源后进入另一稳态 i 0 uC 0 i 0 uC US 初始状态 过渡状态 新稳态 4 三 过渡过程产生的原因 1 电路中含有储能元件 内因 能量不能跃变 2 电路结构或电路参数发生变化 外因 支路的接入 断开 开路 短路等 参数变化 换路 5 本章在时域中分析动态线性时不变电路的过渡过程 其分析方法是根据基尔霍夫定律和元件的伏安关系 列微分方程 求其解答 重点学习下面三方面的问题 1 过渡过程中响应随时间变化的规律 2 影响过渡过程进程的电路因素 3 在引入一些重要概念的基础上 总结出简化分析方法 6 4 1动态元件 电容 电感 线性时不变电容元件 如果该曲线是q u平面上通过原点的一条直线 且不随时间变化 则该电容元件称为线性时不变电容元件 电路符号 一 电容元件 电容元件的定义 一个二端元件 如果在任何时刻t 它所存储的电荷q t 和它两端的电压u t 之间的关系能用q u平面上的一条曲线所确定 则称该二端元件为电容元件 与电容有关两个变量 C q对于线性电容 有 q Cu 1 元件特性 C称为电容器的电容 电容C的单位 F 法 Farad 法拉 常用 F pF等表示 1F 106 F 1012pF 线性电容的q u特性是过原点的直线 C q u tg 2 线性电容的电压 电流关系 u i取关联参考方向 微分形式 积分形式 通常假设t t0为计时起始时刻 上式可写为 式中 电容充放电形成电流 1 u 0 du dt 0 则i 0 q 正向充电 电流流向正极板 2 u 0 du dt 0 则i 0 q 正向放电 电流由正极板流出 3 u 0 du dt 0 则i 0 q 反向充电 电流流向负极板 4 u0 则i 0 q 反向放电 电流由负极板流出 讨论 在任意时刻t 电容的电流i与该时刻电压u的变化率成正比 与u的大小无关 微分形式 3 当电容的电流i t 为有限值时 电容电压u t 不能跃变 4 当u为常数 直流 时 du dt 0 i 0 电容在直流电路中相当于开路 电容有隔直作用 5 表达式前的正 负号与u i的参考方向有关 当u i为关联方向时 i Cdu dt u i为非关联方向时 i Cdu dt 2 t时刻的电容电压u t 与t时刻以前电容电流的 全部历史 有关 即电容具有 记忆 其电流的作用 因此 电容又称为记忆元件 积分形式 3 电容的储能 电容是无源元件 它本身不消耗能量 从t0到t电容储能的变化量 非线性电容 例4 2在图4 3 a 所示的电路中 电流源is t 的波形如图4 3 b 所示 求电容电压uc t 功率p t 和储能 c t 并绘出它们的波形 解 假设电容电压初始状态uc 0 为U 即uc 0 5 uc 0 U写出电容电流i t 的表达式为 由积分形式的伏安关系可求得各时段的电压 电压波形如图4 3 c 所示 电容元件吸收的功率为 功率波形 略 电容的储能 略 16 线性时不变电感元件 如果该曲线是 i平面上通过原点的一条直线 且不随时间变化 则该电感元件称为线性时不变电感元件 即 任何时刻 电感元件的磁链 与电流i成正比 二 电感元件 电感元件的定义 一个二端元件 如果在任何时刻t 其磁链 t 与通过它的电流i t 之间的关系能用 i平面上的一条曲线所确定 则此二端元件为电感元件 电路符号 17 与电感有关两个变量 L 对于线性电感 有 Li 1 元件特性 N 为电感线圈的磁链 L称为自感系数 电感L的单位 H 亨 Henry 亨利 1H 103mH 106 H 线性电感的 i特性是过原点的直线 L tg 线性电感的韦 安特性 2 线性电感电压 电流关系 u i取关联参考方向 根据电磁感应定律与楞次定律 微分形式 积分形式 通常假设t t0为计时起始时刻 上式可写为 讨论 1 u的大小取决于i的变化率 与i的大小无关 微分形式 2 t时刻的电感电流i t 与t时刻以前电压的 全部历史 有关 也就是说 电感元件有 记忆 其电压的作用 所以也称为记忆元件 积分形式 4 当i为常数 直流 时 di dt 0 u 0 电感在直流电路中相当于短路 5 表达式前的正 负号与u i的参考方向有关 当u i为关联方向时 u Ldi dt u i为非关联方向时 u Ldi dt 3 当电感电压u t 为有限值时 电感中的电流i t 不能跃变 3 电感的储能 电感是无源元件 它本身不消耗能量 从t0到t电感储能的变化量 非线性电感 电容元件与电感元件的比较 电容C 电感L 变量 电流i磁链 关系式 电压u电荷q 结论 1 元件方程是同一类型 2 若把u i q C L i u互换 可由电容元件的方程得到电感元件的方程 3 C和L称为对偶元件 q等称为对偶元素 23 4 2动态电路方程及其解 一阶电路 包含一个独立动态元件的电路为一阶电路 如 动态电路中含一个电容或一个电感 含有多个同类动态元件但可以等效为一个动态元件的电路 也是一阶电路 该电路特性由一阶微分方程描述 二阶电路 包含两个独立动态元件的电路为二阶电路 如 动态电路中包含一个电容和一个电感 或两个电容 或两个电感 该电路特性由二阶微分方程或两个联立的一阶微分方程描述 动态电路的阶数 高阶电路 高阶微分方程所描述的电路 状态变量 在电路中的诸多变量中 电容电压uc t 和电感电流iL t 具有特别重要的地位 因为它不仅决定了t时刻电路的储能 而且能与激励一起决定着t时刻其他变量的数值 故称电容电压和电感电流为状态变量 动态电路的状态变量 24 选节点4为参考节点 则un1 24V 一 一阶电路方程的建立 整理 得 右图所示的电路中 列出电容电压uc t 的动态方程 采用节点分析法 25 将除电容支路外的电路用戴维南定理等效 等效电路见右图 过程略 整理 得 采用戴维南等效法 且 任意一个一阶电路 由戴维南定理或诺顿定理可等效为下图 26 由KVL 代入上式 右图所示的RC电路中 t 0时开关S闭合 分析t 0时的电容电压uc t 上式即为右图所示的RC电路中 以uc t 为变量的微分方程 27 右图所示的RL电路中 t 0时开关S闭合 列出t 0时电感电流iL t 的微分方程 由KCL 代入上式 上式即为右图所示的RL电路中 以iL t 为变量的微分方程 28 上述两例微分方程中的变量都是状态变量 方程中的变量也可以为非状态变量 如右图电路中ic t 的方程 由KCL 两边微分 得 比较式4 23 4 26 4 30 一阶电路微分方程的一般形式为 由VCR 29 二 一阶微分方程的求解 一阶微分方程的完全解为 其中yh t 为式4 32的齐次方程 的通解 称齐次解 yp t 为式4 32非齐次方程的一个特解 30 下面简述式4 32的求解过程 1 求齐次解yh t 设式4 34的齐次解为 代入齐次方程式4 34 得 式中 S称微分方程的特征根或固有频率 因此 齐次解为 式中 K是由初始条件所决定的系数 2 求特解yp t 见课本表4 1 P97 31 3 利用初始条件y 0 确定yh t 中的常数K 因此 一阶线性微分方程的齐次解为 在t 0时 得到 一阶线性微分方程的完全解为 32 式中y t 是线性一阶电路中任一电压响应或电流响应 其中y 0 是该响应的初始值 在分析电路问题时 往往把换路的时刻选为t 0 分析问题的计时起点也选在换路时刻 我们假定换路不需要时间 通常把换路前瞬间表示为t 0 而换路后瞬间表示为t 0 因此 初始值是指t 0 时的值y 0 yp t 是微分方程的的一个特解 yp 0 是特解的初始值 是指t 0 时的值 记为yp 0 A为电路的固有频率 它是由电路结构和元件参数决定的常数 对一阶电路 令 1 A 称 为时间常数 式4 39重写如下 33 4 3一阶电路的三要素及三要素分析法 一阶电路的数学描述是一阶微分方程 其解的一般形式为 本章中 激励电源是直流电源 一阶微分方程的特解为常数Q 4 42可改写为 34 一 换路定律 开闭定则 当t 0 时 qC 0 qC 0 uC 0 uC 0 当i t 为有限值时 qC CuC 电荷守恒 换路瞬间 若电容电流保持为有限值 则电容电压 电荷 换路前后保持不变 电压连续 35 当t 0 时 0 0 iL 0 iL 0 当u t 为有限值时 LiL 磁链守恒 换路瞬间 若电感电压保持为有限值 则电感电流 磁链 换路前后保持不变 电流连续 36 小结 2 换路定律是建立在能量不能突变的基础上 1 一般情况下电容电流 电感电压均为有限值 换路定律成立 换路定律 3 在换路瞬间 其它非状态变量 如 ic t uL t iR t 等 在换路前后瞬间是可以跃变的 不遵守换路定律 37 二 初始值y 0 的计算 求初始值的一般方法 1 由换路前电路求uc 0 和iL 0 2 由换路定则 得uC 0 和iL 0 对状态变量 3 作0 等效电路 4 由0 电路求所需的u 0 i 0 对非状态变量 电容用电压为uC 0 的电压源替代 电感用电流为iL 0 的电流源替代 特别的 uC 0 0 iL 0 0时 38 例1 求uC 0 iC 0 t 0时打开开关S 由换路定则 uC 0 uC 0 8V 则 0 等效电路 解 39 例4 6如图所示 开关S闭合 电路已处于稳态 t 0时开关S断开 求开关断开后的初始值uc 0 ic 0 i1 0 u1 0 u2 0 t 0 时的等效电路见课本 电容开路 则 解 t 0 时的等效电路见图 c 40 三 稳态值y 的计算 在t 时 因为直流作用 电感视作短路 当t 稳态时 其等效电路为电阻电路 作出t 的等效电路 然后按电阻电路计算各个稳态值 电容视作开路 41 例4 5如图所示电路 t 0时开关闭和 闭合前电路已处于稳态 求图中所标定的各变量换路前和换路后的稳态值 解 换路后的稳态电路如下图 开关S闭合 电容开路 电感短路 由分压公式得 换路前稳态值的计算略 42 四 时间常数 的计算 RC电路 RL电路 Ri为换路后从动态元件两端看进去的戴维南等效电阻或诺顿等效电阻 L Ri RiC 43 三要素分析法例题 44 例1 已知 t 0时合开关S 求换路后的uC t 解 五 一阶电路三要素分析法例题 45 例2 已知 电感无初始储能t 0时合S1 t 0 2s时合S2 0 t 0 2s t 0 2s 解 求换路后的电感电流i t 46 例3 已知 u t 如图示 iL 0 0 求 iL t 并画波形 解 0 t 1iL 0 0 t 0iL t 0 iL 1A iL t 1 e t 6A 5 1 5 6s 用分段函数表示 47 1 t 2 iL 0 iL t 2 0 154 2 e t 1 6 2 1 846e t 1 6A t 2iL 2 iL 2 2 1 846e 2 1 6 0 437A iL 2A iL t 0 437e t 2 6A 6s 6s iL 1 iL 1 1 e 1 6 0 154A 48 49 已知t 0时 电容处于零状态 t 0时闭合开关S求 uc i1 例4 解 戴维南等效 50 4 4动态电路的响应 一 零输入响应 激励 电源 为零 由初始储能引起的响应 1 RC电路的零输入响应 C对R放电 例4 12 右图电路中 已知uC 0 U0求 uc t i t t 0 所求响应为零输入响应 由三要素法 解 初始值uC 0 uC 0 U0稳态值uC 0 RC 51 从理论上讲t 时 电路才能达到稳态 但实际上一般认为经过3 5 的时间 过渡过程结束 电路已达到新的稳态 RC 具有时间的量纲 称 为时间常数 52 2 RL电路的零输入响应 例4 13 右图电路中 t 0时开关S闭合 求 uR t iL t 所求响应为零输入响应 由三要素法 解 53 1 iL uL以同一指数规律衰减到零 2 衰减快慢取决于L R 量纲 亨 欧 韦 安 欧 韦 伏 伏 秒 伏 秒 L R RL电路的时间常数 3 5 过渡过程结束 54 解 iL 0 iL 0 35 0 2 175A I0 uV 0 875kV 现象 电压表烧坏 预防措施 例 右图电路中 t 0时开关S断开 求 iL t 并说明开关断开瞬间 电压表有什么危险 如何避险 与129页4 14类似 55 零输入响应小结 1 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应 是一个指数衰减函数 2 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 RC RL电路 L R3 同一电路中所有响应具有相同的时间常数 4 一阶电路的零输入响应和初值成正比 56 二 零状态响应 储能元件初始能量为零 在激励 电源 作用下产生的过渡过程 1 RC电路的零状态响应 例4 14 右图电路中 uC 0 0 t 0时开关S打开 求 uc t ic t iR t uC 0 uC 0 0 所求响应为零状态响应 由三要素法 解 57 2 RL电路的零状态响应 iL 0 0 零状态响应小结 时间常数与激励源无关 RC电路 RC RL电路 L R 1 线性一阶网络的零状态响应与激励成正比 58 三 全响应 非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应 一阶电路的全响应及其两种分解方式 1 全响应 强迫响应 稳态解 固有响应 暂态解 uC US 以RC电路为例 见98页 解答为uC t uC uC 非齐次方程 uC Ae t RC uC 0 US A U0 A U0 US t 0 强迫响应 固有响应 uC 0 U0 59 强迫响应 稳态解 固有响应 暂态解 完全响应 固有响应 暂态响应 强迫响应 稳态响应 60 2 全响应 零状态响应 零输入响应 零状态响应 零输入响应 uC1 0 0 uC2 0 U0 uC 0 U0 61 全响应小结 1 全响应的不同分解方法只是便于更好地理解过渡过程的本质 2 零输入响应与零状态响应的分解方法其本质是叠加 因此只适用于线性电路 3 零输入响应与零状态响应均满足齐次定理 但全响应不满足 62 4 5一阶电路的阶跃响应 一 阶跃函数 1 单位阶跃函数的定义 2 延迟单位阶跃函数 t0 3 阶跃函数 63 利用阶跃函数和延迟阶跃函数可以方便地表示某些信号 例1 t t t0 例2 64 利用阶跃函数可以描述下图的开关动作 65 二 阶跃响应 当激励为单位阶跃函数 t 时 电路的零状态响应称为单位阶跃响应 简称为阶跃响应 用g t 表示 当单位阶跃函数作用于电路时 相当于单位直流电源接入电路 所以求阶跃响应就是求单位直流源 1V电压源或1A电流源 接入电路时的零状态响应 如果电路的输入是幅度为A的阶跃信号 则根据零状态的比例性 齐次定理 可知 该电路的零状态响应为Ag t 66 以上结论对任意函数激励作用下的零状态响应都成立 如 图4 41 由于时不变电路 元件参数不随时间变化 因此若单位阶跃函数作用下的响应为g t 则在延时单位阶跃函数作用下响应为g t t0 这一性质称为时不变性 67 阶跃函数的激励下的响应的函数表示 68 例4 16 如图电路 a 所示 激励uS的波形如图 b 求iL t 的零状态响应 解 激励uS可表示为 利用三要素公式求单位阶跃响应 令uS t t 有 iL t 的单位阶跃响应为 69 根据电路的线性和时不变性 在图 a 所示的uS作用下 其零状态响应为 或者写为 70 正弦激励下的一介电路响应难点 71 4 6正弦激励下一阶电路的响应 以RC电路为例 已知us t Usmcos t u uc 0 U0求 uc t 由4 23式知 电路方程为 首先确定稳态响应 方程的特解 ucp t ucp t 是与激励同频率的正弦量 见97页表4 1 于是设 用三要素法求uc t 72 整理上式 得 比较系数 得 稳态响应 特解 为 73 取Usm 311V 314rad s u 77 4o R 1K C 10 6F uc 0 U0 200V 电路响应为 固有响应 暂态响应 强迫响应 稳态响应 由三要素公式 74 uc t 和i t 的波形见4 45 图中可以看出 暂态一般来说是短暂的 换路后 电路很快就进入了稳态 进入稳态后 电路响应是与激励同频率的正弦波 从上例可看出 即使简单的RC一阶电路 求其稳态响应也是很繁琐的 在下章将分析正弦稳态的简便方法 即相量分析法 75 4 7二阶电路分析 二阶电路 当电路中含有两个独立的动态元件时 描述电路响应的方程是二阶线性常微分方程 一 二阶电路方程及固有频率 RLC串联电路如图 以电容电压为响应 列写该电路响应的方程 由KVL 把元件的VCR代入上式 76 由电路的两个初始条件 可求解4 63 其特征方程为 特征根 电路的固有频率 为 式中 称为衰减常数 称